Classes de terminales S1-S2 Année scolaire 2008-2009
http://www.taye.fr/
Devoir de mathématique n°1 Enseignement de spécialité
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Exercice 1
Répondre par vrai, faux ou "on ne peut pas répondre" aux affirmations suivantes:
1) Soit une fonction définie sur dont la courbe admet en une asymptote d'équation 2 3.
a) lim ( ) b)
f
x
f C y x
→+∞ f x
+ ∞ = +
= +∞
ℝ
[ ]
est une fonction croissante.
c) est une fonction positive.
d) lim ( ) 2 3.
e) lim ( ) 2.
2) Soit la fonction définie sur [ 1;1] par: ( ) 1 . 1 a) est dérivable sur [ 1;1].
b) n'
x
x
f f
f x x f x
x
f f x x
x f
f
→+∞
→+∞
− =
=
− = +
−
− est pas dérivable en 1 c) '(0) 1
1 4
d) '
2 3
e) La courbe f possède une demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées au point d'abscisse 1.
f f
C
−
=
=
−
Exercice 2
(
2)
1) est un entier naturel. On pose 5 a) Démontrer que est pair.
b) Démontrer que est un multiple de 3.
2) Démontrer que, pour tout entier naturel , 10 divise
Les cinq questions sont indépendantes
n a n n
a a
n
= +
5 .
3) Soit un entier naturel supérieur ou égal à 3.
démontrer que: 5 est multiple de 2 si, et seulement si, 3 9.
4) Le reste de la division euclidienne de l'entier naturel par 17 est 8, cel n n
n
n n n ou n
m
−
+ − = =
2 3
ui de l'entier naturel est 12.
Déterminer le reste de la division euclidienne par 17 de , de et de .
5) a)Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel , 2 1 est divisible par 7.
b) D
n
n
m n mn m
n +
−
3 1
éduisez-en que 2 n+ −2 est un multiple de 7.
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Exercice 3
2
A) Soit un nombre réel de [0; [
En étudiant le sens de variation de fonctions bien choisies:
établir successivement les inégalités suivantes:
1) sin . (ici on peut poser ( ) sin )
2) 1 co
2 x
x x u x x x
x
+∞
≤ = −
− ≤
3
2 4
3
2 2 4
s .
3) sin .
6
4) cos 1 .
2 24
B. Déduire de ce qui précède que:
1. Pour tout : sin . 6
2. Pour tout : 1 cos 1 .
2 2 24
1 sin
C. En déduire un encadrement de puis lim 1 cos
x
x x x
x x
x
x x x x x
x x x
x x
x x
− ≤
≤ − +
∈ − ≤ ≤
∈ − ≤ ≤ − +
−
− ℝ
ℝ
0
1 sin 1 cos
x
x
+ x
→
−
−
Exercice 4
A) Etude d'une fonction auxilliaire:
La fonction est définie sur par: ( ) 2 2 7.
1) Etudier les limites de en et en .
2) Etudier le sens de variation de sur et dresser son tableau de va
g g x ex x
g
g
= + −
− ∞ + ∞
ℝ
ℝ riations.
3) Justifier que l'équation ( ) 0 admet une solution unique dans tel que 0, 94 0, 941.
4) Etudier le signe de sur . B) Etude d'une fonction :
est la fonction définie sur par: ( ) 2 g x
g
f f x x
α α
= < <
= −
ℝ ℝ
ℝ
(
5 1) ( ). sa courbe dans un repère orthonormal.
1) Etudier le signe de sur .
2) Etudier les limites de en et en .
3) Calcule '( ), vérifier que '( ) et ( ) ont le même signe.
4) Dresser le t
x
e Cf
f f
f x f x g x
− −
− ∞ + ∞
ℝ
( )
2ableau de variations de .
2 5
5) Démontrer l'égalité ( )
2 7
6)a) Démontrer que la droite d'équation 2 5 est asymptote à en . b) Préciser la position par rapport à .
f f
f f
D y x C
C D
α α
α
= −
−
= − + ∞
