Espaces fonctionnels

F'rançoise Demengel et Gilbert Demengel

Espaces fonctionnels

Utilisation dans la résolut ion des équations aux dérivées

partielles

S A V O I R S A C T U E L S

EDP Sciences/ CNRS EDITIONS

F. Demengel

Département de Mathématiques,

Université de Cergy-Poritoise/Sairit-Martin, 2 avenue Adolphe Chauvin, 95302 Cergy-Pontoise Cedex.

E-mail : Francoise.Dernenge1Qmath.u-cergy.fr G. Denicrigel

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E-mail : gilbert.derriengel(Qorange.fr

@ 2007, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtahœuf, 91944 Les Ulis Cedex A

et

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ISBN EDP Sciences 978-2-86883-996-1 ISBN CNRS É»ITIONÇ 978-2-271-06581-0

TABLE DES MATIÈRES

Avant.propos . . . vii

Analyse du contenu du livre . . . viii

Organisation du livre . . . xi

...

Préambule sur l’ellipticité . . . 1

Définitions générales . . . 1

Problèmes aux limites . . . 3

Équations non traitées dans le cadre de ce cours . . . 5

1

.

Rappels de topologie et d’analyse fonctionnelle . . . 7

1.1. Espaces vectoriels topologiques . . . 7

1.2. Formes linéaires, dual topologique, topologie faible . . . 14

1.3. Espace des fonctions continues sur un ouvert de

RN

. . . 26

1.4. Distributions sur un ouvert de

RN

. . . 29

1.5. Espaces L P . lorsque p E [l, fm] . . . 40

49 1.6. Exercices sur le chapitre 1 . . . 2

.

Les espaces de Sobolev

.

Théorèmes d’injection . . . 61

2.1. Définitions et premières propriétés . . . 61

2.2. Injections de Sobolev pour W m i P ( I R N ) . . . 72

2.3. Généralisation & d’autres ouverts . . . 87

2.4. Injections compactes lorsque l’ouvert est borné . . . 98

2.5. Trace sur la frontière d’un ouvert

C1

. . . 103

2.6. Exercices sur le chapitre 2 . . . 107

3

.

Traces des fonctions des espaces de Sobolev . . . 117

3.1. Espaces W’-’/”>p(RNp1), pour p

>

1 ... 118

3.2. Cas du bord d’un ouvert autre que EXN-’ x 10, ^CO[ . . . 133

3.3. Trace des fonctions de W1.’(0) . . . 135

3.4. Densité de C’(8R) dans W’pl/P.p(dR) ... 137

3.5. Traces d’ordre supérieur . . . 148

3.6. Théorèmes d’iri.jections continues . Injections compactes . . . 166

3.7. Exercices sur le chapitre 3 . . . 171

iv TABLE DES MATIÈRES

4

.

Espaces de Sobolev fractionnaires . . . 181

4.1. Distributions tempérées et transformation de Fourier . . . 181

4.2. Les espaces de Sobolev H " ( R N ) . . . 183

4.3. Les espaces W ' J ' ( 0 ) pour O

<

s

<

1 . . . 191

4.4. Théorèmes d'injection pour les W ' J ' ( 0 ) ... 212

4.5. Injections compactes pour les W".p(R), R borné

. . .

218

4.6. Les espaces W S J ' ( 0 ) , avec s E ]O, +CO[ . . . 220

4.7. Appendice : théorème de convexité de Riesz . . . 222

4.8. Exercices sur le chapitre 4 . . . 226

5

.

EDP elliptiques : techniques variationnelles

.

231 5.1. Présentation de quelques résultats utiles ... 231

5.2. Rappels d'analyse convexe . . . 232

5.3. Résolution d'EDP linéaires elliptiques de type Dirichlet

.

238 5.4. Régularité des solutions précédentes

...

245

5.5. Problèmes de Neumann . . . 253

5.6. Problèmes de Dirichlet et de Neuniann non homogènes 5.7. Problème de l'élasticité . . 5.8. L'équation du p-laplacien 5.9. Principes du maximum pour des EDP elliptiques . . . 268

5.10. Problèmes coercifs sur des espaces non réflexifs . . . 283

5.11. Surfaces minimales

.

. 285

5.12. Exercices sur le chapitre 5 . . . 288

6

.

Distributions à dérivées mesures 6.1. Rappels sur les mesures. conver ... 302

6.2. Extension d'u 6.3. Espace de fori 6.4. Distributions 6.5. Distributions à gradient dans

M'(n)

6.6. Fonctions à déformation 6.7. Espaces de fonctions à dé 6.9. Formules de Green génér 6.10. Fonctions dc 6.11. Exercices sur le chapitre 6 6.8. L'espace des fonctions à déformations mesures . . . . . . 362

7

.

Sur l'inégalité de Korn dans L p . . . 373

7.1. Harrnoriicité . Moyennes

.

Fonction maximale de Hardy . . . 374

7.2. Transformation de Hilbert dans R ... 388

7.3. Les opérateurs de Riesz dans

RN

... 401

7.4. Inégalité de Korn dans W ' > p ( 0 ) , R étant borné . . . 409

7.5. Exercices sur le chapitre 7

...

420

TABLE DES MATIÈRES V

Appendice sur la régularité . . . 437

A.2. Estimations W'>k et W1.

"

dans le cas p 3 2 . . . 443

Bibliographie . . . 457

Index des notations . . . 461

A.1. Estimation de type L" . . . 438

Index terminologique . . . 463

AVANT-PROPOS

Cet ouvrage a pour objectif de présenter un outil de travail pour les étudiants orientés vers l’étude des équations aux dérivées partielles, aussi bien ceux de mastère en mathématiques pures ou appliquées que ceux qui abordent une thèse dans ce domaine. I1 rassemble des résultats d’analyse fonctionrielle qui permettent de cornprendre la nature et les propriétés des fonctions intervenant dans ces équations, ainsi que les contraintes auxquelles on les soumet pour que ces fonctions soient qualifiées de solutions. Le livre présente des méthodes modernes de résolution pour une classe de ces pro- blèmes et interprète les solutions obtenues en étudiant leur régularité.

Rappelons que le doniairie daris lequel on envisage une équation aux dé- rivées partielles est un ouvert de I R N . Cette équation est une relation que doit vérifier sur R la fonction inconnue u et ses dérivées partielles (cf. le pré- ambule qui suit). Eri outre, on impose à cette fonction I L et éventuellement à certaines de ses dérivées (voir dans le préambule les problèmes de Dirichlet et de Neumann), d’être égales à des fonctions domiécs sur la frontière 30 de l’ouvert considéré : ces relations sont appelées conditions au bord.

La recherche d’une telle fonction fait l’objet de ce qui est appelé un problème aux limites dont la Physique fournit de iiombreiises illiistrations.

Si on considère les dérivations au sens habituel à l’intérieur de l’ouvert, l’analyse classique s’avère insuffisante pour la résolution de tels problèmes et cette lacune est confirmée par les résultats expérimentaux. En effet, ceux-ci préseriterit parfois pour solutions des fonctions dont les irrégularités excluent leur appartenance à des espaces de fonctions dérivables au sens classique. En outre la Physique fournit des exemples où le second membre f de l’équation donnée admet des discontinuités.

Considérons l’exemple simple, dans IR, de l’équation différentielle

où f est discontinue au point t = O. Alors, une solution éventuelle ne peut être de classe C2 sur IR. On peut cependant chercher une solution

AVANT-PROPOS

V l l l ...

de classe C1 ayant une dérivée y” presque partout, ou encore une dérivée y”

qui est une dérivée de la fonction y’ au sens des distributions. EII suppo- sant, que f soit encore moins régulière, mais qu’elle puisse cependant &re considérée comme une distribution notée [ f ] , on est ainsi amené à chercher des solutions qui sont des distributions [u], ce qui veut dire qu’alors, pour toute fonction p indéfiniment différeiitiable dans

IR

à support compact, on a ( [ u ] , p” - p’

+

^{‘p) =}

([fi,

^9). Ces solutions, que 1,011 peut envisager, même lorsque f est régulière, sont dites aussi des solutions faibles de l’équation.

Tout, cela suggère, en substituant à la dérivabilité liabituelle la dériva- bilité au seils des distributions, le concept de solution faible pour les EDP générales et conduit à l’étude de certains espaces de fonctions dont les dé- rivées au sens des distributions s’identifient à des fonctions de puissance p-ièmes sonimables. Apparaissent ainsi les espaces de Sobolev Wm’P (O) qui ont la propriété d’être des espaces normés complcts, auxquels s’appliquent donc les théorèmes classiques d’analyse forictioririelle.

Daris le cas où des conditions au bord sont à satisfaire, les fonctions de ces espaces n’étant définies que dans l’ouvert, il apparaît également la nécessité de lcs prolonger & la frontière de [ I . L’existence de tels prolorige- ments dépendant a priori de la régularité de cette frontière, on étudie plus particulièrement l’espace W m , p ( (1) quand l’ouvert R admet pour frontière une variété diff6reritiable ou différentiable par morceaux. Cela permet

,

pour les fonctions de ces espaces, d’interpréter, en accord avec la Physique, les conditions au bord dans les équations proposées.

Ainsi, dans de noiribrcuses situations, la grande souplesse de la dériva- tion au sens des distributions arnèrie à énoncer les problèmes aux limites sous des formes équivalentes, plus favorables à l’établissement de théorèmes d’existence et d’unicité.

Bien entendu, tous les résultats obtenus réclament des préliminaires. Ils concernent les espaces fonctionnels utilisables, tout particulièrenient les es- paces normés, la complétude, les densités, la généralisation de la notion de fonction et l’int6gration. C’est l’objet du chapitre 1.

Analyse du contenu du livre

0 Le chapitre 1 s’intitule Rappels de topologie et d’analyse fonctionnelle.

On y rappelle d’abord la défiriitioii des espaces vectoriels t,opologiques, parmi eux l’exemple important des espaces Iiorniés, surtout des espaces de Banach, et les tkiéorèrries de Baire, de l’image ouverte, de Banach-Steinhaiis, de Hahn-Banach sont énoncés. La notion d’application linéaire continue y précède l’introduction du dual topologique d’un espace tiorrtié. Pour faire

ANALYSE DU CONTENU DlJ LIVRE ix

apparaître les différents sens usuels des convergences concertiant, les suites de fonctions, sens nioiris strict que celui par exemple de la convergence uni- forme, on définit les topologies faibles siir un espace et sur son tliial. On définit aussi les espaces réflexifs, eri particiilier les espaces de Hilbert, et les espaces uniformément corivexes dorit de rionibreiix exerriples au cours du livre exploitent les propriétés. Une étude de l’espace des fonctions coriti- nues sur iiii ouvert de

RN

précède le rappel (les définitions (les espaces de distribiitioris, de leiir topologie, des opérations qiie l’on y définit, airisi que les propriétés de convergence des suites. Le chapit,re se terrnirie par l’étude (les espaces Lp(R), de leur complétude, de leur réflexivité, de la densité des fonctions régiilières.

Cette dernière partie du chapitre constitue aiiisi une introduction aux espaces (le Sobolev qui font l’objet des chapitres suivants.

0 Lc chapitre 2 concerne les espaces de Sobolev, lesquels fournissent un cadre fonctionnel coriveriable pour la plupart des problèmes aux limites ellip- tiques (ci. préambule) de la Physique. Une partie irnportarit,e de ce chapitre est réservée aux tliéorènies d’injection de Sobolev. On y présente d’abord la riotiori de dérivation des fonct,ions au sens faible (ou généralisé) qui est, en fait, la dérivation au sens des distributions. À l’aide de l’intervention des espaces L P , cela permet de définir les espaces de Sobolev W””p(f2). Les conséquences des propriétés de LI’(

n)

fournissent des résultats de derisité des forict,ions régiilières dans les espa< W”’>p(f2). Le théorème le pliis irripor- t,arit de ce chapitre est le tliéorèmc d’injection tlc Sobolcv qui précise l’appar- teriarice des éléments de W ” ‘ ~ ~ ’ ( n ) & des espaces L‘l(R), avec q > p , voire à des espaces de fonctions continues lipschitziennes ou holdériennes. Cert,aines dc ccs irijcctions sont compactes. Ces résiiltats de compacité ^~ valahles pour des ouverts bornés constituent uii argurrierit clef pour rriontrer l’existeiice de solutions pour des problèmes de niinirriisatioii coercifs ( c j . chapitre 5 ) . La deuxième partie du chapitre étudie la possibilit,é de prolonger les fonctions de W77L.p(i2) eii des éléments de W v 7 ) p ( R N ) , ce qui suppose iine régularité sur la frontière 30. À cette occasion, on définit les ouverts lipsctiitzieiis et, les ouverts de classe C”’. Ce chapitre se terrnirie par un théorème de trace qui permet, sur de tels ouverts de prolonger 71, E WlJ’(f2) sur la frontière eri ilrie fonction de L P ( d f l ) , ce qui généralise la notion de restriction ii 30 pour des fonctions qui ne sont définies cri principe qiic clans l’ouvert 12. Ce tliéo- rèrrie apparaît donc très utile dans la forniiilation des conditioris au bord d’un problème aux limites.

0 Le chapitre 3 se consacre à l’étude de l’image de cette application trace définie sur W’J’(f2) lorsque l’ouvert est régulier. Dans le livrc, c’mt un premier exemple d’un espace de Sobolev fractionnaire W’ - ‘ / P J J ( 8 0 ) .

X AVANT-PROPOS

Le chapitre contient également la mise en place de formules de Green et de théorèmes d’injection. Notons d’ailleurs que ceux-ci peuvent se déduire des résultats d’injection sur les espaces de Sobolev d’exposants entiers dont ils proviennent.

0 Le chapitre 4 traîte des espaces fractionnaires plus généraux W S J ) ( O ) (s réel non entier). On y montre des résultats d’injection et d’injection compacte.

0 Au chapitre 5, on utilise tous les ingrédients théoriques déjà présen- tés pour montrer l’existence de solutions à des EDP elliptiques. Deux ex- ceptions cependant, le problème des surfaces minimales et le problème de l’élasticité linéaire dans le cas des petites déformations. Pour le premier, les justifications théoriques, dans le cadre des fonctions de niesures, sont présen- tées dans le chapitre suivant. Le second exige la connaissance des inégalités de Kor~i, lesquelles font l’objet d u thème étudié dans le chapitre 7. Dans beaucoup de situations, les théorèmes d’existence concernant ces EDP ellip- tiques s’obtiennent en forniulant les problèmes aux limites sous une forme variatiorinelle. Les solutions apparaissent alors comme assurant la minimisa- tion d’une fonctionnelle convexe et coercive. On étudie ensuite la régiilarité des solutions de certains parmi ces problèmes, en utilisant par exemple des méthodes d’approximation de la dérivée par des différences finies, ou des méthodes d’estimation a priori. On termine le chapitre par des propriétés qualitatives de ces EDP, à savoir le principe du maximum, dans sa fornie faible puis un principe du maximum fort.

0 Dans le chapitre 6, on étudie des espaces apparentés à ceux de Sobolev et notamment l’espace des distributions, dont le tenseur des dérivées, lequel est symétrique, encore appelé tenseur des déformatzons, est, pour p E [ I , ^CO[.

dans L p ( s 1 ) . Le cas p 1 ainsi que celui des espaces dont la déformation est une mesure bornée sont aussi étudiés. On donne notamment des théorèmes d’injection analogues à ceux des espaces de Sobolev classiques, ainsi que des résultats d’existence d’une trace sur le bord lorsque l’ouvert est assez régulier. Enfin, une section est réservée à l’étude des fonctions de mesure.

0 Le chapitre 7 propose au lecteur, en se plaçant dans le cadre de l’analyse harmoniqiie, un itinéraire aboutissant à une preuve des inégalités de Korii dans W’J’.

0 L’ouvrage se termine par un appendice concernant la rbgularité des solutions des problèmes de y-laplacien. On y établit, en coniplément du chapitre 5, des résultats plus techniques, auxquels on parvient par des mé- thodes d’estimation a priori.

ORGANISATION DlJ LIVRE xi

Organisation du livre

Chacun des chapitres est suivi d’une série d’exercices. Des indications sont données, dans la majorité des cas, pour leur solution. Le niveau de ces exercices est variable. Pour certains d’entre eux, affectés du symbole

[*I,

il s’agit de précisions apportées à un résultat doriné au cours du chapitre, d’une illustration de ce résultat par une application où des calculs expli- cites peuvent être proposés, ou encore d’une autre démonstration d’un tel résultat. Pour d’autres, affectés du symbole

[**I,

il s’agit, dans le cadre de l’ouvrage. d’apporter des compléments sur un tliènie donné. Dans certains cas. ces thènies d’étude sont présentés en diniension N ^: 1 ou N = 2, cas dans lesquels on peut mieux niettrc en évidence la nature des problèmes posés et la spécificité des méthodes envisagées. Dans ces petites dimensions, ces méthodes peuvent aussi conduire à des calculs explicites, pouvant se révéler favorables à une meilleure compréhension des notions étudiées.

PRÉAMBULE SUR L'ELLIPTICITÉ

Définitions générales

Les définitions peuvent être dorinées pour des fonctions à valeurs com- plexes. mais, daris ce qui suit, elles concernent seulement les fonctions à valeurs réelles.

Définition 0.1. Un opérateur différentiel à N variables et de degré rri est une application

A

qui associe à toute fonction f définie dans un ouvert f2 de

RN

et dérivable jusqu'aii rang m, une autre fonction A f , définie sur R , ai1 moyen d'une fonction F selori la forniule :

A f ( z ) = F ( f ( r ) , & f ( z ) , . . .

,a;:\ ,,,,

^{S U N} f ( r ) ,

.).

1 N

L'opérateur A est dit linéaire si la fonction F est un polynôme du premier degré par rapport à chacune des dérivées D" où a , ordre de la dérivation est un N-uplet d'entiers a l , a2, . . .

,

^{O N} de somme 1011 =

E,

^01,

<

^{rn ; autrement}

dit si :

N

= c N ( z ) ( D a f ) ( x )

+

^cO(z),

l"l<m

où les fonctions c, et ch sont appelés les coefficients de l'opérateur

A.

Urie équation aux dérivées partielles est une identité Af ⁼ O. Elle est dite linéaire si l'opérateur A est linéaire, linéaire homogène si, en outre, ch = O.

Une équation est dite quasi-linéaire si

A f ( x ) = c a ( z , u , .

. . ,

DBU)D"u

+

^{cO(x, U ) ,}

1 ^a 1 ^{< n i}

où les N-uplets

p

satisfont à I,û

<

la1 ^- 1.

Définition 0.2. Urie solution de l'équation dans un ouvert RI

c

R est une fonction ,f suffisamment dérivable dans R' telle que : 'v'x E RI, A f ( : c ) = O.

2 PRÉAMBULE SUR L’ELLIPTICITÉ

On s’intéresse surtout dans l’ouvrage aux équat,ions aux dérivées par- tielles linéaires de degré 2 . L’équation s’écrit alors, la fonction g = -ch étant appelée le second nienibre de l’équation :

N

Une équation aux dérivées partielles linéaire et de degré 2 est dite ii coeffi- cients constants si les fonctions c,,k et c, se réduisent à des constantes.

À l’équation linéaire (E), on associe, pour tout x E R. le polynôme. noté

P(E),,

du second degré en N indéterminées {X,} dont les coefficients sont ces fonctions, à savoir :

N

Soit P(E)(’) la partie homogène du second degré de ce polynôme. c’est-à- dire :

P ( E ) ? ) ( X ) = c , , k ( Z ) X j X k . l < j < k < N

Définition 0.3. Soit une équation linéaire de degré 2 . On considère la matrice carrée C ( x ) de dimension ( N , N ) réelle, symétrique, dont les coefficients sont les c j , k ( x ) . La partie homogène précédente s’écrit alors, à l’aide de la matrice colonne

[XI

des N indéterminées X,, sous la forme : P ( E ) ( 2 ) ( X ) = On dit que 1’EDP est ellzptzque ^(LU poznt ^T E R si les valeurs propres de la matrice C ( x ) (qui sont ici réelles) sont ou bien toutes strictement négatives, ou bien toutes strictement positives

“XIC(4[Xl.

En changeant le signe des deux membres de l’équation, on se ramène alors à une matrice C ( x ) qui est définie-positive.

Si on suppose que x H C ( x ) est continue sur R supposé connexe et si, quel que soit

x

E R, le noyau de C ( x ) est réduit à O, on dit que 1’EDP est elliptique dans 0. Cela revient à dire, en changeant éventuellement lcs signes des membres de l’équation, que cette matrice C ( x ) est toujours définie- positive.

Soient alors , A, ( x ) et Ahl(x), les valeurs propres minimale et maximale de C ( x ) , avec A m ( x )

>

O. On dit que 1’EDP est strictement elliptique s’il existe une constante A0

>

O telle que : V x E R , Am,(x)

3

Ao.

Enfin, elle est dite uniformément elliptique dans R si, de plus, la fonction

2 H Ahf(x)/Am(x) est bornée dans 0.

PROBLÈMES A U X LIMITES 3

Dans le cab où les Coefficients c J , k sont des constantes, la stricte ellipticité est équivalente à l’uniforme ellipticité.

Notons que ces définitions ne concernent que la partie liornogèrie de de- gré 2 de ( E ) . Pour limiter l’importance de la partie homogène de degré l , on fait quelquefois des hypothèses siIr les coefficients c,(z), par cxerriple en irriposant aux fonctions : T H ~c,(z)I/X,(a) d’être bornées dans R.

Exemple 0.4. L’équation de dcgré 2 en une variable y”fa(x)y’+b(z)y = g(z) est une équation elliptique.

Daris le cas de deux variables, iiiie équation du type :

aa;,f(z‘

Y) +

2ba:,f (T Y)

+ ca;,f(., Y) + (Q&f + Ba,f)(T,

y) = g(z,

Y)’

où 1’011 suppose IL

>

O, est elliptique si et seulement si h2 ^~ ac

<

O. C’est le cas pour l’opérateur laplacien où a = c = 1 et b = O.

I1 est évident que, pliis généralement, l’opérateur laplacien en N variables, Par contre, les équations qui interviennent eri théorie des ondes, à savoir, qui s’écrit

af

⁼

en dimension 2 , l’équation

a:2.f,

est elliptique.

J

d 2 U d 2 U a 2 ; 2 dy2 = f ’ ne sont pas elliptiques.

Pour 1’Pquatioii à coefficients variables

la coriditiori d’ellipticité n’est vérifiée que daris les ouverts ne rencontrant aucun des deiix axes de coordonnées.

Problèmes aux limites

Citons, parmi les problèmes qui sont régis par des EDP, ceux qui sont les plus connus.

Problèmes d e Dirichlet. Ces prob1i:rries sont associés & l’opérateur différeri- tiel elliptique constit,ué par le laplacien. Daris IC cas N = 2 , le problèrrie, clas- siqiieIrierit dit de DirichIlet, associé & un ouvert borné 62 et ti une forictiori f continue sur la frontière 3 R , consiste à déterminer une fonction liarrrioriique dans 12 qui se prolorige sur la frontière dR en la fonction f .

4 PRGAMBULE SUR L’ELLIPTICITÉ

Par extension’ ce problème en dimension N s’énonce ainsi :

Trouver une fonction u deux fois dérivable dans l’ouvert

R c

IR2 de frontière

r

telles que, f étant donnée sur

R

et g étant donnée sur

r,

^{on ait :}

Au = f dans

R

et ulr = g .

Tout en conservant l’opérateur A, la modification des conditions au bord’ en faisant intervenir iiotamnient, la dérivée normale sur la frontière

dR,

conduit à d’autres problèmes.

Problèmes de Neurnann. Érionpis-le dans le cas où N est quelconque :

Soit

r

un ouvert borné à bord régulier, par exemple continûment différeri- tiable, sur lequel on est. donc en mesure de définir une normale extérieure

?II.

Soient f une fonction donnée sur 61 et aussi une fonction g donnée sur ï . Le problème consiste en la recherche d’une fonction 7~ tclle que :

Au = f dans ( 2 , et, sur

r

^:

^üzu

⁼ 9 .

Problè,mes de Newton. On se donne 1111 ouvcirt Cl, de frontière régulière

I?‘

une fonction f définie dans R , deux autres fonctions g et h définies sur

r.

Le problème consiste en la recherche d’une fonction u telle que :

Au = f dans f l > et, sur

r

^{: ûnu}

+

^{h‘u = g.}

On peut généraliser ces problèmes, sans reprendre les définitions précé- dentes. Par exemple, en remplaçant, l’opérateur A par son carré au sens des opérateurs A2 = A ^O A , on peut envisager :

Prohlèm,es du bi-laplacien A2. La fonction f étant donnée sur R et les fonctions ,yi et g 2 étant données sur

I?,

il s‘agit de trouver 71, telle que :

A2u = f dans 61, et’ sur

r

^: u = g, et 1 3 s ; ’ ~

= s a .

On définit aussi des problèmes, où les conditions limites s’apparent,ent à celle du problème de Neumann, pour l’opérateur A2 et des problèmes analogues où on reniplace l’opérateur A2 par l’opérateur ^ti H A2u

+

^{I L .}

On peut, aussi généraliser ces problèmes par l’introduct,ion d’équations q,uasi-linéaires. Donnons quelques exemples :

Problerri,es $IL p-laplacien. C’est un exemple d’équation 11011 linéaire, mais quasi-linéaire. Le réel p étant tel que 1

<

p

<

+cm, le problème consiste en la recherche de u telle que :

Cette équation est d u type diiiergen~e et c‘est cette écriture qui est favorable à l’application dcs méthodes de résolution, niais montrons que c’est bien une équation quasi-linéaire. En développant l’opérateur du premier inenibre coniine la clivergeiice di1 produit d’un scalaire par un vecteur, on obtient,

ÉQTJATIONS NON TRAITÉES D A N S LE CADRE DE CE COURS 5

d’abord formellement (par exeniple, lorsque p

>

2 , en évitarit les points où le gradient s’annule), l’expression :

1V~i1~-’Aali

+ ^Vu.

V ( / V U / ~ - ’ ) .

À l’aide ensuite de la formule V(IVuIP-’) = ( ~ - ~ ) ~ V U I P - ~ V U V V I L et de la définition du gradient d’un vecteur. l’équation s’écrit en effet sous la fornie quasi-linéaire :

IVu~”-4(IVui’a,,u

+

^{( p -} 2 ) a 7 J 7 L i 3 7 u a 4 = f

ProhlPme des surfaws rnanamales. C’est encore une équation quasi-linéairc, qui peut être vue comnie une extension du précédent exemple lorsqiie p ⁴ 1.

I1 s’agit de la recherche de u telle que :

On l’explicite sous sa forme quasi-linéaire

Exemple (d’équation non linéaire et quasi-linéaire). Un exemple qui pourra être traité par les résultats de cet ouvrage est le suivant, où p

>

1 et X

>

O, réel :

AU

= X / U ~ P - ’ U dans (2 et ulan = O.

Terminons ce préarnbule en précisant les limites qui sont assignées & cet, ouvrage.

Équations non traitées dans le cadre de ce cours

Équations non, linkaires qui ne sont pas du type divergence. Dans cette catégorie, figure toute une classe d’équations aux dérivées partielles pour lesquelles le concept de solutions faibles, qui ne peut plus être utilisé, est remplacé par celui de solutions de viscosité. C’est le cas pour

I V U I ~ A ~ L = f .

où Q est un réel

>

-1. Nous n’abordons pas ce type d’équations dans le cadre de ce cours. Notons cependant que, dans le cas d’équations sous forme divergerice, coinnie ci-dessus pour le p-laplacien, la notion de solutions dc viscosité et ccllc de solutions faibles coïncident grâce à des résultats de régularité. Le lectern pourra consulter à ce sujet les t,ravaux de Ishii 1261, Ishii-Lions [27], Bcrestycki Nirenberg Varliadan 141, Guy Barles [3] et, plus récerninrnt, Busca Esteban Quaas [SI, Birindelli-Dt:rrierigel [ 5 ] .

6 PKÉAMBULE SUR L’ELLIPTICITÉ

Équations hyperboliques. Elle ne sont pas traitées par les méthodes de ce cours. Notons que les équations hyperboliques ont en général le défaut de présenter (< trop >> de solutions. Citons l’une des plus connues, l’équation de Burgers : ua,u = f . Seules sont considérées coirinie physiques ^~~ parce que stables sous certaines perturbations ^~ les solutions dites entropiques au selis de Oleinik. Ce sont aussi les solutions qui sont obtenues comnie limites de solutions d’une équation régularisée de niariière elliptique. Nous rie traitons pas ces équations ici. Le lecteur pourra consulter les ouvrages de Oleinik, Serre, ... Enfin :

Équations paraboliques. C’est le cas de nonibreuses équations d’kvolution.

Citons les plus connues, parmi celles qui sont linéaires. L’équation de la chaleur s’kcrit :

3tu ^-

au

= f

avec, ilon seulement des conditions aux limites, triais aussi des conditions initiales, c’est-à-dire des conditions imposées à la solution u au temps t = O.

Le problème de Korteweg-De Vries est régi par l‘équation linéaire sur I W f x R :

&u ^~ u s z = f

et, en outre! une condition initiale. De telles équations se généraliserit d’ailleurs en équations i ion linéaires, comme celle, par exemple de Korteweg-De Vries-Burgers :

1Lt - u35

+

^{u3,u = f .}

CHAPITRE 1

RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Ce chapitre est consacré à des rappels d’analyse fonctionnelle, priricipa- lernent dans les espaces de Banach. La plupart des résultats sont seulement enoncés. Mais le lecteur trouvera leurs démonstrations, cornrrie c’est le cas pour le théorème de Hahn-Banach, dans les ouvrages spécialisés d’analyse forict ionnelle.

Les techniques de résolution des équatioiis aux dérivées partielles ellip- tiques utilisant très fréquerrinient la notion de compacité dans les espaces LP, ou plus généralement la notion d’espace réflexif, quelques pages sont consa- crkes à la réflexivité ; en particulier, à la compacité, pour la topologie faible, des bornés d’un espace réflexif, et à la relation entre les espaces LP et LI)‘ où p et p’ satisfont aux propriétés : p E [ I , +m], p’ E [ i , +m] et i / p + i/p’ = 1.

D’autres rappels coricerrient les distributions.

1.1. Espaces vectoriels topologiques

Soit X un espace vectoriel sur

K (R

ou

C).

Les parties de

X

convexes, ou équilibrées ou absorbantes jouent un rôle important dans la définition d’une topologie sur

X

compatible avec la structure algébrique de X . Définition 1.1. Soit X un espace vectoriel sur R. Soit A

c

X .

~ La partie A est dite équilibrée si : V A E R,

1x1 <

¹

+

XA

c

A . Elle est dite absorbante si :

V ‘ Z E X , i l r > O , V X E R , I X I < ~ * X X E A .

Définition 1.2 (espaces vectoriels topologiques, ou e.v.t. pour simplifier). Ce sont des espaces vectoriels sur

IK

(où R est soit

R,

soit

C),

munis d’une topologie pour laquelle la multiplication externe et, l’addition sont continues.

8 C H A P I T R E 1. R A P P E L S DE T O P O L O G I E ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Uri exemple d’e.v.t. dont la topologie est simple à étudier est celui d’un espace vectoriel norrné.

Dé$nition 1.3 (norme sur un W-espace vectoriel X). Soit X un espace vecto- riel sur le corps K. Une norme dans X est une application f de X dans R+

qui satisfait aux conditions suivantes :

Y 2 E X ,

Y C E K , Y.€X, f(C.1 = I C I f ( X ) ’

Y ( 2 ’ Y ) E

x 2 ,

f(.) = O ^I 2 = O ,

f

(.

+

^’y) G ^{f ( 2 )}

+ f

(Y)

Un espace vectoriel muni d’une norme est appelé espace vectoriel normé ou, pour abréger un n o m i é ou un e.v.71.

À la norme est associée la distance d telle que d ( i c l . 2 2 ) = 11~1 -2211. Ainsi, un normé X est un espace métrique et il est facile de vérifier que les opéra- tions de multiplication externe et d’addition vectorielle sont continues pour la topologie associée à la norme. Un espace normé est donc un e.v.t. Remar- quons que, dans uti tel espace, la famille {B~,,},>o des boules ouvertes de centre Ox constitue un système fondamental de voisinages convexes de O X , ce qui veut dire que tout voisinage de O X contient un élément de {Bo,T}.

Par translation, cette propriété restc vraie en tout point de X .

On dit, plus généralement, qu’un e.v.t. est localement convexe, si tout point de cet espace possède un système fondanierital de voisinages convexes (voir la proposition 1.5 qui suit).

Remarque 1.4. Si on abandonne le premier axiome (axiome de séparation) de la définition précédente, l’application f est dite une semi-norme. Un espace muni d’une semi-norme est encore un e.v.t., et c’est un espace localement convexe. I1 n’est pas séparé.

E n raison de l’importance que ces espaces représentent en a,nalyse fonc- tionnelle, on détaille leur topologie, soit par la description d’une base de voisinages de l’origine, soit par une famille de semi-riornies :

Proposition 1.5. Soit

i?

une famille d e parties d’un W-espace vectoriel X qui satisfait aux conditions suivantes :

(1) la famille B est une base de filtre, ce qui signifie qu’elle ne contient pas l’ensemble vide et que :

Y ( A , B ) E B 2 , 3 C E B, C

c

A n B ;

( 2 ) toute partie appartenant ^à B est convexe, équilibrée et absorbante;

(3) V A E

i?,

_{V r}

>

O, 3 B E 8 , B

c

r A .

1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES 9

Alors, I3 est u n e base (ou système fondamental) de voisinages de O X pour u n e topologie d’e.1.c. s u r X. Pour cette topologie, V est donc un iioisinage de ^~t’ E X s’il existe U E B tel que x

+

U

c

V .

Proposition 1.6 (semi-normes engendrant une-topologie d’e.1.c.) Soit { r l ~ } ~ ~ * u n e famille de semi-norm,es dans un IK-espace vectoriel X . On suppose qu’elle est séparante et filtrante, ce qui signifie :

(1) pour tout ^.7: E X , il existe X E A tel que V A ( Z )

#

O ;

( 2 ) pour tout couple (X,,X,) ^t (A)2, les fonxtions V A , et r]x2 admettent, dans la famille, u n e borne supérieure, à savoir :

E A, V A

3

V A , et 71x 3 r/x2.

Alors, l’ensemble de toutes les boules fermées {BA,T} associées aux serni- normes de la famille, définies donc par BA.,, = {x E X

I

7 l x ( 2 )

<

r } , constitue u n e base de voisinages de Ox pour u n e topologie d’e.1.c. skparé sur X.

I1 est aisé de montrer que cette famille de boules satisfait aux conditions de la proposition 1.5 et que la topologie est séparée puisque, xo étant lion nul et X tel que q ~ ( z 0 )

#

O, la boule fermée BA,,., où r = , r l ~ ( x o ) / 2 , rie contient pas xo.

Exemple 1.7 (d’espaces localement convexes). I1 s’agit de définir une structure d’e.1.c. sur l’espace X = E k ( ] a , b [ ) des fonctions f de classe C k dans un intervalle ouvert ] a , hi de

R.

Cet exemple sera géiiéralisi. plus loin, l’intervalle étant alors remplacé par 1111 ouvert R de R N .

Considérons les fonctions q m , k , dépendant des entiers m,

<

^IC et des corri- pacts K de R inclus dans ] a , O[, qui sont définies par :

Pour chaque couple (m, K ) , il s’agit d’une serni-norme. On a airisi une famille de serrii-normes sur X . Cette famille, munie de l’ordre sur les fonctions réelles, est filtrante et sépararite :

E K ~ effet, pour tous couples ( K I , Ka) et ( m i , m2), les fonctions q , , , ~ , et q , , , ~ ~ admettent une borne supérieure dans la famille, à savoir ici, q m , ~ où K = KI ^ü Kz et rn ⁼ max(m1, mz).

D’autre part, pour toute fonction f dans X , avec f

#

O, il existe rn et K tels que % n , K ( f )

#

0.

10 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

La proposition précédente montre alors que l’ensemble

B

de toutes les boules fermées associées aux semi-normes précédentes est un système fori- damental de voisinages de OX pour une topologie d’e.1.c. séparé sur X .

Notoiis, d’une manière générale, que la topologie d’un e.1.c. quelconque peut être construite à l’aide d’une famille de semi-normes (voir 1451).

1.1.1. Propriété de Baire et applications Espaces de Bazre.

Définition 1.8. Un espace topologique E est appelé un espace de Bazre s’il satisfait à l’une ou l’autre des propriétés équivalentes suivantes :

(1) Pour toute famille dénombrable {Un}ncw d’ouverts partout denses ( 2 ) Pour toute famille dénombrable {F,},,w de fermés de E d’intérieur de E , à savoir

vide, la réunion

UnEN

^F,, est d’intérieur vide dans E .

= E , l’intersection Un est partout dense dans E .

Théorème 1.9. Soit X un espace de B m a c h , c’est-à-dire un espace n o r m é complet. Alors X est un espace de Baire.

La preuve de ce théorème est proposée avec des indications en exercice (voir aussi [46]). Les applications en sont nombreuses et importantes, no- tamment celles qui concernent les applications linéaires continues.

1.1.2. Applications linéaires continues d’un normé dans un autre Dans ce qui suit, les e.v.t. considérés simultanément orit le même corps de base K. Rappelons la Caractérisation de la continuité d’une application linéaire, laquelle conduit à la définition de la norme d’une telle application :

La continuité en tout point de f , application linéaire du norrné X dans le norrné Y , résulte de la continuité de f au point T = O et celle-ci s’exprime par l’une ou l’autre des deux propriétés suivantes qui sont équivalentes :

(1) I1 existe M

>

O tel que :

v x E

x,

I l . C l l X

6

1 ===+ llf(.)llY

6

M . (2) Il existe Ad

>

O tel que :

v x E X . _llf(.)llY 6 nfllzllx

Notons que, par la linéarité, la borne supérieure de l l f ( x ) I / y sur la boule unit6 de X se réduit. en fait, à la borne supérieure sur {l/xllzy = 1). c’est- à-dire sur la sphère-unité. Cette caractérisation aboutit à la construction d’une norme pour ces applications linéaires continues :

1.1. ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES 11

Définition 1.10. Les espaces vectoriels topologiques X et Y étant donnés, on désigne par C ( X , Y ) l’espace des applications linéaires et continues de X dans Y . Lorsque L E C ( X , Y ) où X et Y sont des espaces normés, on note :

I I ~ l l L < X , Y ) = SUP l l L ( Z ) l l Y .

X t X

I l x l l x = l

L’application L ^H ilLilL<x,y) est une norme, dite norme d’opérateur, qui dote ainsi l’espace C ( X , Y ) d’une topologie naturelle d’e.v.11.

Proposition 1.11. S i X est un e.v.n et si Y est u n Banach, l’espace C ( X , Y ) , muni d e la norme précédente, est un Banach.

Une preuve est proposée dans l’exercice 1.1 de ce chapitre.

En particulier, c’est vrai pour Y = R considéré coinine espace vectoriel sur lui même, rriurii de la valeur absolue. Cette propriété est utilisée plus loin dans ce chapitre.

Lorsque X et Y sont de dimension finie, l’espace C ( X , Y ) est de diriien- sion finie et coïncide avec l’espace des applications linéaires de X daris Y dont la topologie est celle, canonique, d’un espace vectoriel de diniension finie. Lorsque X et Y sont de dimension infinie. cettr. coïncidence n’est plus vérifiée.

Théorème 1.12 (de l’image ouverte). Soit T une applicatior~ linéaire continue surjective d ’ u n espace de B a n a c h X dans un espace de Banach, Y , alors l’image d’un ouvert est u n ouvert d e Y .

Preuve du théorrme 1.12.

O Cette preuve suit les arguments de [46]. On commence par montrer que si U est iin voisiriage de O daris X , il existe un voisinage V de O daris Y tel que :

V c T ( U ) .

En effet, soit B(0, r )

c

U et W = B(0, r / 2 ) . 011 a X = ( n W ) et donc :

T ( X ) = Y =

UnEW*

T ( n W ) . L’espace de Banach Y étant ainsi recouvert par la faniille dénombrable des fermés T ( n W ) , la propriété de Baire fournit l’existence de l’un de ces fermés, T ( n o W ) qui est d’intérieur non vide. I1 existe donc un ouvert Vi dans Y tel que VI

c

T ( n 0 W ) . Urie homothétie dans Y étant continue, le fermé T ( W ) contient l’erisenible &VI qui est aussi un ouvert de Y . Soit y() tel que B(yo,6)

c

T(W). Alors B(0.b)

c

T ( W ) - y o

c

T ( W )

+

^T(W)

c

T ( U ) . Le voisinage V = B(g0,

S)

satisfait donc à la propriété annoncée.

~~~

12 C H A P I T R E 1. R A P P E L S D E T O P O L O G I E ET D‘ANALYSE FONCTIONNELLE

Venons-en ii la preuve di1 théorème :

0 Pour simplifier, on note X , et Y, les houles de centre O et, de rayon E ,

respectivement daris X et Y . Soient ~i = ~ / et 2 { 7 7 i } ~ une suite de réels strictement positifs telle que YVA

c

T ( X , , ) . On peut supposer que cet,te suite teiid vers O.

Soit y E Y,,,,. Puisque E T ( X , , ) , on peut choisir xo E XE,, tel que :

II?/

^- TnII 6 v i . ) ) y - Txo ^- s x 1 / /

<

^r/2.

Puisque y - Tzo E

YJ1

il existe x1 E X,, tel que :

Par récurrence on construit airisi une suite x,, E X E , , telle que ( l Y - C T X i ( ( < % .

j < n

Les inégalités //xj

I I ~ <

^E/2.7 impliquent ~ / . c j / l x

<

e / 2 ‘ ~ 1 . 11 en résulte que la suite

{ E j G ,

^{xj} est} une suite de Cauchy. L’espace X étant U r i Ba- nach, cette suite converge vers x, élénierit de X , lequel vérifie :

3

En outre, on a : Tn: = y. Firialcment, y étant arbitraire dans Y&, or1 a obtenu que l’image par T de la boule de centre O et de rayon 2~ contient la boule de centre O et de rayon qo daris Y , ce qui établit que l’image de

l’application T est ouverte.

O

Théorème 1.13 (Banach-Steinhaus).

neaires continues d’un espace de B a n a c h X dans wri espace nomné Y . u n e constar& G, telle que :

Soit { u , ~ } u n e s u i t e d’applications li- Alors, s i pour tout x de X , la suite {u,,,(x)} converqe dans Y , il existe

vn

^E

^N,

llunllL(x,Y)

c.

Prmve d u théorè,me 1.13 (cf. [46]).

O La convergeiice simple doririée daris l’hypothèse implique l’existence d’une limite u(x) quel que soit

x.

L’application u de X dans Y est linéaire.

Eri remplaçant u, par ‘uTL - u, on se ramène au cas où, quel que soit x,

71,,(2) + O.

Alors, si ^E

>

O est donné, n

>

N , on a : I/un(x)IIx

<

boule ferniée dans X , on a :

X =

pour tout 11: E X il existe N tel que pour tout

E . En d’autres termes, B’(O,E) désignant une

I . l . ESPACES VECTORIELS TOPOLOGIQUES 13

Quel que soit N , l’ensemble FN =

n77>,N

^{u;l(B’(O, E ) )} est un fermé, coniiric intersection de fermés puisque un est continue pour tout n. Par la propriété de Baire qui s’applique dans X puisque celui-ci est complet, il existe No tel que FN,, cst d’intérieur non vide. Soit .CO et 6 tcls que

B(x:o, 6)

n u n y ~ ’ ( O ,

&)I.

TL> NII

Doric V r t 3 No

B(O,S) c ^IL,’ (B’(O,2€)), et pour tout ^ri 3 _No

On en déduit le résultat. cl

Remarque 1.14. Sous lcs hypothèses du théorème, l’application linéairc limite

71 = u, est continue.

En effet, la continuité de u,, implique :

V‘n. E

x,

lIU,(‘n.)llY

<

I/71,,/IL(X,Y)II~llx

<

^CIIJIIX.

La continuité de la norme 1l.llY permet d’obtenir, cri passant à la limite dans le premier membre, l’inégalité : 11u(.r)11

<

C l l ~ l l x . caracterisarit la mitinuit6 de IL.

Exemple Z.Z.5 (d’application du théorème de Banach-Steinhaus). Soit {A,,,}

une suite de complexes telle que, pour t,oute suite sorrirnable {xn}‘ la série

E:”

x r L x T L est convergente. Montroris qu’alors supntW IX,/

<

^+CO.

Soit X ⁼ 1 l’espace des suites complexes :c = { x T L } soiniriahles. Cct lxnl est un Banach ( c f . exercice 1.3).

A?LxTL. La espace, muni de la norme llx;l\ =

Soit u p l’application linéaire dt: X dans R définie par !up(.) = forme uT> est continue puisque :

cette iriégaliti: prouvant aussi que ~ ~ u p ~ ~ L ~ t ~ , c )

<

s u p o ~ 7 a G p lATL/. En fait, si cette borne est atteinte <:ri *no, en choisissant :>: de composantes

5 , = S:;,,, on prouve 1’i:galité IIupll = supO<,L<p

lAnl.

Par hypothèse,

la suitje {uT,(:x)} converge quel que soit 5 . Donc, d’après le théorèine de Banacli-Steinhaus, la suite des normes (I!up

II

L ( t ~

,e)

est bornée, ce qui montre que sup,LEw IX,/

<

^$00.

14 C H A P I T R E 1. RAPPELS D E T O P O L O G I E ET D’ANALYSE FONCTIONNELLE

Bien entendu, la réciproque de cette propriété est vraie. D’ailleurs, à partir de cette caractérisation, on peut prouver que C ( t l , C ) =

em,

espace des suites complexes bornées.

Remarque 1.16. Sous les hypothèses du théorème, il n’est pas vrai en général que la suite { u n } converge vers u dans l’espace C ( X , Y ) (cf. exercice 1.6).

1.2. Formes linéaires, dual topologique, topologie faible

1.2.1. Dual topologique d’un e.v.t., théorème de Hahn-Banach Définition 1.17 (dual topologique). Une forme linéaire continue sur un R- espace vectoriel topologique X est une application linéaire de X dans R, continue pour la topologie de X et celle de R. On note X’ l’espace vectoriel constitué de ces formes.

Lorsque X est de dimension finie, il est clair que X’ est r6duit au dual algébrique et que X‘ est de même dimension que X , un moyen de le voir étant de se donner une base { e i } de X et de lui associer la base duale constituée des formes linéaires e: définies par

Dans le cas où X est un e s p x e nornié de dimension infinie, le dual est aussi de dimension infinie. Un moyen de le voir est d’utiliser le théorème de Hahn-Banach, forme analytique, que nous énonçons ci-après sans dé- monstration. Dans la foulée, nous donnons aussi la forme géométrique de ce théorème, car cette version, permet non seulement de montrer certains théorèmes de ce chapitre, mais sera un argument clef dans la théorie des fonctions convexes développée dans le chapitre 6.

Théorème 1.18 (Hahn-Banach). Soient X u n espace vectoriel sur K, M un sous-espace vectoriel de X et p une semi-norme sur X . Soit m’ une forme linéaire sur

Al?

telle que Im’(z)l

6

^p(z) pour tout z appartenartt à M . Alors il existe une forme linéaire x‘ sur X , telle que :

= 6:.

V m E M , z’(m) = m’(rn) et V z E X ; lz’(x)l

<

p ( z ) . En particulier, si X est u n espace riormé, la semi-norme choisie étant alors la norme

l l . l l ~ ,

toute forme linéaire, m‘ continue sur le sous-espace M mun,i de cette norme, peut être prolongée en une forme linéaire continue sur X qui a la m ê m e norme.

Le lecteur peut consulter 1461 pour une preuve. Ce théorème peut être énoncé dans le cas d’un e.v.t. quelconque sous la forme dite géométrique :

Théorème 1.19 (Hahn-Banach (forme géométrique)). Soit X un e.v.t. sur R.

Soient C u n convexe ouvert n o n vide de X et M un sous-espace vectoriel

1.2. FORMES LINÉAIRES. D U A L TOPOLOGIQUE, TOPOLOGIE FAIBLE 15

de X ne rencontrant pas C . Alors il existe un hyperplan H , c’est-à-dire un sous-espace de X d e codimension 1, qui est fermé, qui contient A l et qui ne rencontre pas C .

La relation entre ces deux énoncés s’explique, en partie du moins, par la propriété suivante :

Proposition 1.20. Dans u n e.v.t. X sur K, un hyperplan H , défini au moyen d’une forme linéaire f sur X et d’un scalaire a E K par H = {x E X

1

f (x) = a } , est fermé s i et seulement si la forme f est continue sur X . 1.2.2. Cas d’un norme et de son dual. Topologies sur ces espaces

Topologzes fortes.

Définition 1.21. Soit X un K-espace nornié. L’espace C ( X ,

W)

est noté X’.

I1 est appelé le dual topologique de X . C’est donc I’ensenible des formes linéaires continues sur X ou encore l’ensenible des fornies linéaires f sur X telles que :

3 K

>

O, ^{Q X} E X , _If(r)l

<

K l l ~ i l ~ . On a une norme naturelle sur X’ définie par

À l’aide de l’étude précédente de l’espace C ( X , Y ) , on note que X ’ . muni de la norme Il.llxt, est un espace de Banach (que X soit un Banach ou non).

La topologie de la norme sur X est dite topologie forte de X . La topologie de la norme précédente sur X‘ est dite topologie forte de X‘.

Notons, pour cette norme, deux conséquences du théorème de Haliri- Banach, l’une d’entre elles justifiant que le dual X’ n’est pas réduit à {O} :

Proposition 1.22.

(I)

Si x E X , x

#

O , il existe un élément x’ E X’ tel que : Ilz’IlX~ = 1 et ( 2 ) La norme sur X peut être définie par i l x l l ~ = s i q x , ~ ~ ~ l ~ ( x ’ ,

.)I.

(5” X) = Ilxllx.

Grace à la dualité qui existe entre X et, sori dual X ’ , on peut définir d’autres topologies plus faibles (ou moins fines) que les topologies dites fortes, ce qui signifie que les ouverts relatifs à ces nouvelles topologies sont aussi des ouverts pour la topologie forte.

16 CHAPITRE 1. RAPPELS DE TOPOLOGIE ET D’ANALYSE? FONCTIONNELLE

Topologie faible sur

X .

Pour tout z’ E X’, la fonction z H

I

^{(z’, z)}

I

^{est une}

senii-norme. Soit 3’ l’ensemble des parties finies de X ’ . Posons alors, pour tout F’ E 3’ :

Ces fonctions constituent une faniille de semi-norines sur X . On vérifie les hypothèses de la proposition 1.6 (cf. voir aussi l’exercice 1.5) :

0 La famille est filtrante. En effet, si on pose F’ ⁼ F{ ^ü F i , 011 obtient, pour i E {1,2}, l’inégalité q F /

0 La famille est séparante. E n effet, si 2 0 E X , avec 5 0

#

O, la pro- position 1.5 précédente fournit l’existence de d E X’ tel que r l ~ ~ , ) ( ~ ) =

Cette faniille de semi-normes définit donc sur X une topologie d’e.1.c.

séparé, que l’on note a ( X , X ’ ) et qui est dite la topologie faible de

X.

Ainsi, la faniille I3 des parties de X définies, à partir des éléments z g E X , des parties finies F’ de X’ et des réels E

>

O, par :

qF;.

I ( Q ’ ~ ’ ) l #

0.

B Z , 3 , ~ f , E ^zz { X €

x I v d

^€ F’, ^{l(Z’,X -} X g ) l

<

^{E } ,}

constituent une base pour cette topologie sur X (cf. exercice 1.5).

On remarque qu’un ensemble B Z o , F f ,E est une intersection finie d’images réciproques d’ouverts de R par les applications continues 2’ du riormé X dans K. Tout ouvert faible de X est ainsi un ouvert du riormé X , autrement dit, la topologie de la riorme est plus fine que la topologie faible.

Topologie faible-étoile sur

X’.

De façon symétrique, on considère la famille des senii-normes indexée par les parties finies de X :

vz’

E X’, T p ( X ’ ) = sup ~ ( X ’ J ) ~ . Z E F

De façon analogue A ce qui précède, elle est filtrante. Si, d’autre part, ^2’

#

O, ce qui exprime la non nullité de la forme linéaire

d ,

il existe q, E X tel que q{r,,)(z’)

#

O, ce qui établit que la famille est séparant,e.

L’ensemble

B’

de parties de X’ définies, à partir de E X’, de F partie finie de X et de E

>

O, par :

est une base pour une topologie d’e.1.c. séparé sur X ’ , notée o ( X ’ , X ) et ap- pelée topologie faible-étoile de

X’.

Elle est plus faible que celle du normé X’.

Notons que le norrné X’ possède un dual topologique, noté X” et qu’ainsi il est doté d’une troisième topologie, à savoir la topologie faible p ( X ’ , X”).

Notons aussi que les topologies fortes peuvent être définies de façon ana- logue en remplaçant les parties finies par les parties bornées de X’ ou de X .