M.S.KA. Page 12 AG/ SERIE N°1 : DISTANCES.

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Exercice 1: Inégalité triangulaire.

Sans faire la figure, dites dans chacun des cas ci-dessous si les points A, B et C sont alignés

(Préciser O·RUGUHGHO·DOLJQHPHQWGHVSRLQWV.

1^ier cas : AB= 12 AC= 5 BC= 7.

2^iéme cas : AB= 7,6 AC= 2,5 BC=10,2.

3^iéme cas : AB= 2010 AC= 10 BC= 210.

4^iéme cas : AB= 0,5 AC= 1,06 BC=0,56.

Exercice 2: Inégalité triangulaire.

Dans chacun des cas ci-dessous sans faire la figure dite si le triangle DEF existe.

1^ier cas : DE= 5 EF= 2 DF= 2,5.

2^iéme cas : DE= 7,5 EF= 5 DF = 4.

3^iéme cas : DE= 14,2 EF= 19 DF= 4,2.

4^iéme cas : DE= 105,6 EF= 104,6 DF = 102,4.

Exercice 3: Inégalité triangulaire.

Soit ABC un triangle et M un point intérieur à ce triangle. La droite (AM) coupe [BC] en I.

1.a) Démontrer : IC + IB = BC et IA < IC + CA.

b) En déduire que : IA + IB < CA + CB.

2. Démontrer que : MA + MB < IA + IB.

(Utiliser le triangle BMI).

3. Déduire de ce qui précède que : MA + MB < CA + CB.

Exercice 4: Inégalité triangulaire.

1. Construire un triangle quelconque ABC, et choisis un point R sur le segment [BC].

On note p le périmètre du triangle ABC.

2. Démontrer que AR <

2 p

Exercice 5: Régionnement du plan.

Soient A et B deux points distincts du plan.

1. &RQVWUXLUHO·HQVHPEOH(1 des points M du plan tels que : AM = AB.

2. 7UDFHUO·HQVHPEOH(2 des points N du plan tels que : AN = BN.

3. &RORULHUHQEOHXO·HQVHPEOH(3 des points M du plan tels que : AM < BM et AM < AB.

Exercice 6: Régionnement du plan 1. Marquer trois points A, B et C tels que : AB = 5cm ;; AC = 8cm et BC = 3cm.

Que peut-on dire ces trois points ?

2. Colorier la partie du plan où les points sont à la fois plus prés de C que de A et plus éloignés de B que de C.

Exercice 7: Régionnement du plan

Soit A et B deux points du plan tels que: AB= 4cm.

1. 7UDFHUHQEOHXO·HQVHPEOHGHVSRLQWV0GXSODQWHOV que : AM =BM.

2. &RORULHUHQEOHXO·HQVHPEOHGHVSRLQWV0GXSODQ tels que : AM <BM.

3. Placer un point C tel que: AC=3cm et BC=5cm.

4. &RORULHUHQURXJHO·HQVHPEOHGHVSRLQWV0GXSODQ tels que : BM < CM.

5. +DFKXUHUO·HQVHPEOHGHVSRLQWV0WHOVTXH : AM < BM < CM.

Exercice 8: Distance de deux parallèles.

1. On donne (D) et un point B situé à 1cm de (D).

2. Construire les droites (D1) et (D2) parallèle à (D) et situées à 2cm du point B.

3. Quelle est la distance des droites (D1) et (D2) ? 4. Quelle est la distance de (D) à chacune des droites

(D1) et (D2) ?

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Exercice 9: Positions relatives de cercle.

1 est un cercle de centre O1 et de rayon R1 ;; 2 un cercle de centre O2 et de rayon R2. Compléter le tableau ci-dessus.

R1 9 8,2 6,4 10 5

R2 14 7,5 4,9 23 18

O1O2 12 15,7 15,6 13 24

R1 + R2 2

1

R

R

Position relative de 1 et 2 Rappels 1: « Cas extérieur »

-Si O1O2 = R1 + R2 alors C1 et C2 sont tangents extérieurement.

-Si O1O2 < R1 + R2 alors C1 et C2 sont sécants extérieurement.

-Si O1O2 R1 + R2 alors C1 et C2 sont disjoints extérieurement Rappels 2: « Cas intérieur »

-Si O1O2 = R1 - R2 alors C1 et C2 sont tangents intérieurement.

-Si O1O2 R1 - R2 alors C1 et C2 sont sécants intérieurement.

-Si O1O2 < R1 - R2 alors C1 et C2 sont disjoints intérieurement Exercice 10: Approfondissement

1. Sur le segment [AB], placer les points I, C et O tel que : AI = 1cm ;; AC= 2cm et BO= 3cm.

2. a) Tracer en vert le cercle 1(A ;; AC).

b) Tracer en vert le cercle 2(B ;; BO).

c) Tracer en vert le cercle 3(I ;; IO).

3. Déterminer les positions relatives des cercles : 1 et 2;; 1 et 3 ;; 2 et 3.

Justifier chacune des réponses.

4. &RORULHUO·HQVHPEOHGHVSRLQWV0GXSODQWHOTXH : AM < AC et MI IO.

Exercice 11: bissectrice.

Soit un cercle C (M ;; 2cm) la droite (d1) est tangent à (C) en A . La droite (d2) est tangente à (C) en B. Les droites (d1) et (d2) se coupent en C.

Démontrer que le point M appartient à la bissectrice GHO·DQJOH$&%

Exercice 12: Positions relatives de cercle.

/HVERXFOHVG·RUHLOOHGHODSHWLWe Sassoum sont formées

de petits cercles 1 ;; 2 et 3

tels que : 1 (I ;; r = 0,2);; 2 (J ;; r = 0,3) et 3(K;; r = 0,5). Les points I, J et K sont alignés dans cet ordre.

Quelle est la position relative des cercles : 1. 1 et 2 ? Justifier la réponse.

2. 2 et 3 ? Justifier la réponse.

3. 1 et 3 ? Justifier la réponse.

Exercice 13: PRVLWLRQG·XQHGURLWHHWG·XQFHUFOH Soit O ;; I ;;J ;;K /GHVSRLQWVG·XQHGURLWHGWHOTXH : OI= 4cm ;; OJ = 6cm ;; OK = 8cm ;; OL = 5cm O



O





1. Construire le cercle de centre O, de 5cm de rayon.

2. Tracer les perpendiculaires en I ;; J ;; K ;; L à la droite (d).

3. Quelle est la position relative de chacune de ces droites par rapport au cercle ?

Exercice 14: bissectrice et médiatrice.

ABC est triangle. La droite (d) est la parallèle à (BC) qui passe par A. La médiatrice de [AB] coupe la droite (d) en P.

1. Démontrer que les angles PAB et CBA ont des mesures égales.

2. Démontrer que PAB est isocèle en P.

3. Démontrer que la droite (AB) est bissectrice de O·DQJOH3%&.