Statistical Physics 3 18 December 2009

Statistical Physics 3 18 December 2009

S´erie 13

Exercice 1

Lors de la s´erie pr´ec´edente, nous avons vu que le point d’´equilibre instable de la transformation de renormalisation est donn´e par v ^∗ avec R(v ^∗ ) = v ^∗ et R ⁰ (v ^∗ ) > 1 o`u R(v) = h <sup>−1</sup> ( f (v)) est la transfor- mation de renormalisation. Pr`es du point critique nous avons que v _n+1 − v ^∗ = R ⁰ (v ^∗ )(v _n − v ^∗ ). D’autre part, comme le syst`eme est renormalisable, nous avons pour la longueur de corr´elation:

b ξ (v n+1 − v ^∗ ) = ξ (v n − v ^∗ )

a) Combien vaut b pour la renormalisation du Sierpinsky Gasket?

b) En utilisant le fait que proche du point critique v _n − v ^∗ = at et que la longueur de corr´elation se comporte comme ξ (t) ∼ |t| ^−ν , calculer l’exposant critique en fonction de R ⁰ (v ^∗ ) (reprenez les d´eveloppements du cours).

Il est utile de remarquer que R ⁰ (v ^∗ ) en plusieurs dimensions se g´en´eralise aux valeurs propres de la matrice des premi`eres d´eriv´ees de R. Dans ce cas les valeurs propres | λ | > 1 sont appel´ees “relevant eigenvalues”. D’autre part notons que la relation ξ ∼ |t| <sup>−ν</sup> se d´erive aussi `a partir du groupe de renor- malisation.

Exercice 2

a) Trouver comment change le nombre de sites N → N ⁰ `a chaque it´eration de R pour le Sierpinsky Gasket.

b) D´eduire la propri´et´e suivante de l’´energie libre par site f = ⁻¹ _N ln(Z) du Sierpinsky gasket:

f (K) = g(K) + b ^−d f (K ⁰ )

o`u g(K) est une fonction homog`ene, f (K ⁰ ) est l’´energie libre d’un Sierpinsky Gasket avec une constante K ⁰ = R(K) et N ⁰ sites et b est le facteur d’´echelle de la renormalisation. On omet volontairement le facteur β dans l’´energie libre car _β ^β

∼ 1 + α t ² ce qui ne modifie en rien les exposants critiques. En particulier comprendre ce qu’est d. Cette transformation de l’´energie libre apparaˆıt pour tout syst`eme renormalisable.

c) En se plac¸ant pr`es du point critique (K − K <sup>∗</sup> = at << 1) et en ne regardant que la partie sin- guili`ere de l’´energie libre (on laisse tomber g(K)), montrer que l’on peut retrouver le scaling de l’´energie libre `a partir de la transformation de renormalisation, avec un λ d´ependant de b:

f (t) = λ ⁻¹ f ( λ ^s t)

d) Lors de la d´erivation des exposants critiques (s´erie 9), nous utilisions le fait que λ peut ˆetre quel- conque. Dans le cas du groupe de renormalisation, le degr´e de libert´e manquant est introduit en r´ep´etant un nombre n de fois la transformation de renormalisation. En d´eduire l’exposant critique de la chaleur sp´ecifique α (poser R ⁰ (v ^∗ ) = b ^y avec y un nombre r´eel).

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