TRI 33

(1)

Exercices résolus de mathématiques.

TRI 33

EXTRI330-EXTRI339

http://www.matheux.c.la

Jacques Collot

Benoit Baudelet – Steve Tumson

Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans

(2)

EXTRI330 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2011

Dans le trapèze isocèle , on donne les bases et et la hauteur . On demande :

1. La longueur des côtés et ;

2. Les angles et en radians avec 4 chiffres après la virgule;

3. Le rayon d

ABCD a b h

l AD BC

A D

R u cercle circonscrit. On rappelle que dans un triangle quelconque on a : 2

sin sin sin

XYZ

x y z

R X  Y  Z 

Nous reprenons la solution proposée par l’université. Prof J.F.Debongnie et P. Duysinx.

http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-precedentes

(3)

(4)

EXTRI331 – FACSA, ULG, Liège, juillet 2011.

3 3

Résoudre l'inéquation

sin sin 3 cos cos 3 3 3

2 2 8

Dessiner l'ensemble des solutions sur le cercle trigonométrique.

x      x     x      x    

Nous reprenons la solution proposée par l’université. Prof J.F.Debongnie et P. Duysinx.

http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-precedentes

(5)

Le 4 février 2012

(6)

EXTRI332 – FACSA, ULG, Liège, Septembre 2011.

Dans un triangle , on a la relation suivante entre les angles et .

1 cot cot cot cot

2 2 2 2

Que vaut l'angle ?

ABC B C

B C B C

A

  

Nous reprenons la solution proposée par l’université. Prof J.F.Debongnie et P. Duysinx.

http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-precedentes

Le 4 février 2012

(7)

EXTRI333 – FACSA, ULG, Liège, Septembre 2011.

2 2

Résoudre l'équation : sin 3 x  cos x  1

Nous reprenons la solution proposée par l’université. Prof J.F.Debongnie et P. Duysinx.

http://www.facsa.ulg.ac.be/cms/index.php?page=questions-des-sessions-precedentes

Le 4 février 2012

(8)

EXTRI334 – FACSA, ULG, Liège, Septembre 2011.

0

On se donne un cercle de rayon . Par le centre, on fait passer des rayons de gauche à droite, distants chacun d'un angle , 0 90 . Soit le point de concours du premier rayon avec la circonférence.

r

     A

0 1

1 1 1 2

2

A partir de ce point on trace, le segment perpendiculaire au deuxième rayon en . A partir de , on trace le segment perpendiculaire au troisième rayon en , et ainsi de suite.

A A

A A A A

A



0 1 1 2 1

1. Appelons la longueur ... . Que vaut cette longueur?

1 cos 2. Montrer que la limite pour une infinité de segments est donnée par

sin 3. Dans le cas où 30 , montrer que est l

n

A A A A A A

n n

r





  

 

 

   L

L

L a somme du diamètre du cercle et du côté du triangle équilatéral inscrit à ce cercle.



Nous reprenons la solution proposée par l’université. Prof J.F.Debongnie et P. Duysinx.

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(9)

Le 4 février 2012

(10)

EXTRI335 – FACSA, ULG, Liège, Septembre 2011.

On considère le pentagone irrégulier . On place en un système d'axes orthonormés avec l'axe selon l'horizontale et l'axe vertical pointant vers le point .

On donne les longueurs et les

ABCDE A XY

X AE Y B

1 2 3 4

angles suivants : 40 cm, 35 cm, 40 cm, 30 cm.

70 , 84 , 62 .

On demande de calculer avec quatre chiffres après la virgule les données suivantes:

Les coordonnées et des points , , , La

l l l l

X Y A B C D

   

        



 longueur , distance le long de l'axe des entre et

₅

Les angles et .

l X A E

  

Nous reprenons la solution proposée par l’université. Prof J.F.Debongnie et P. Duysinx.

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(11)

(12)

EXTRI336 – EPL, UCL, LLN, Juillet 2012.

Dans un quadrilatère , on donne les longueurs des côtés opposés et , les angles en et sont égaux à 90° et l'angle aigu en égal à .

Réprésentez la figure géométrique et reportez-y le

ABCD AB a CD c

B C A

 



 s notations.

Calculez le périmètre en fonction de , et .

Calculez la valeur de pour 1.5 dm, 1 dm et 45 .

On désire découper ce quadrilatère dans un disque de diamètre minimal.

Donnez la

p a c

 

     



formule de ce diamètre et la formule de la perte de la découpe en fonction de , et . a c 

Solution proposée par Nicole BERCKMANS

 

1 1 2 2

tan ; ; cos ;

2 2 2 2

5 1 1 2 2

tan . 3

cos 2 2 2 2 2

x a c

x y

a c y

a c p a c a c

 

      



           



(13)

 

   

     

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

Diamètre 2 tan

Surface du cercle tan 1

4 Surface du trapèze . 1 tan 2

2 2

Chute 1 2 tan

4 2

R a x a a c

R a a c

a c

x a c

a c

a a c

      

  

       

    

   

        

Le 7 juillet 2012

(14)

EXTRI337 – EPL, UCL, LLN, Juillet 2012.

 

²

Résoudre dans    , : sin 3 x  2sin x  sin x  0 Solution proposée par Nicole BERCKMANS

 

2

3 2

2

sin 3 2 sin sin 0

3sin 4 sin 2 sin sin 0

sin 4 sin 2 sin 2 0

sin racines : 0, ,

4 sin 2 sin 2 racines : , 5 ,

2 6 6

5 0

6 6 2

sin 0 0 0

4 sin 2 sin 2 0 0 0 0

Produit 0 0 0 0 0 0

R

x x x

x x x x

x x x

x

x x

  

    

    

 

  

    

  

   

       

         

    

éponse : 5 , 0, ,

6 6 2 2

   

          

     

     

Le 31 janvier 2012

(15)

EXTRI338 – EPL, UCL, LLN, Juillet 2012.

Pour les affirmations suivantes, cochez laquelle de ces affirmations est la vraie.

la moyenne des angles d'un quadrilatère non croisé est toujours égale à 60°

toujours égale à 90°

aucune de ces deux rép

 

2

onses

Dans l'intervalle 0 , l'équation sin 2 2 possède exactement.

2 1 tan

0 solution 1 solution 2 solutions L'expression sin est identiquement égale à

sin cos cos cos sin cos cos cos sin - cos

a a

a

a b c

a b c a b c a b c

   



 

  cos cos

sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin cos sin sin sin cos sin sin sin cos cos cos cos

Si dans un triangle non dégénéré (les trois sommets ne sont pas alignés) on a que sin

a b c

a b c a b c a b c a b c

ABC A

  

 1 sin sin

, alors 2 cos cos

30 60 est indéterminé

B C

A A A



   

Solution proposée par Nicole BERCKMANS

 

2 2

1) Toujours égale à 90°.

2 tan 2

2) Une solution car : sin 2 d'où dans 0, :

1 tan 1 tan 2 4

3) Si 0 alors sin 0. Réponse 2.

4) sin 2 sin cos

2 2

2 sin cos

1 2 2

sin (par S

2 2 cos cos

2 2

a a a

a a

a b c a b c

A A

A i

B C B C

A B C B C

 

 

        

      



 

   impson)

(16)

Le 31 janvier 2012

(17)

EXTRI339 – EPL, UCL, LLN, Juillet 2012.

On veut créer un parterre de tulipes et de jonquilles selon le croquis ci-dessous.

Les tulipes occupent la surface en forme d'étoile délimitées par les traits pointillés, tandis que les jonquilles occupent le reste de la surface délimitée par la courbe pleine.

On donne les distances et .

La courbe pleine est composée d'arcs de cercles centrés en , , , et . L'étoile e

R AO CO EO GO IO r BO DO FO HO JO B D F H J

         

st règulière, c'est-à-dire que .

1) Donnez l'aire occupée par les tulipes en fonction de et . 2) Donnez l'aire occupée par les jonquilles en fonction de et . 3) Calcul

AB BC CD DE EF FG GH HI IJ JA

T R r

J R r

        

ez et à un dm près pour les données suivantes :

2

10 m, 6 m.

Indiquez sur le croquis les variables intermèdiaires utilisées.

T J R  r 

Solution proposée par Nicole BERCKMANS

2 2

2

Aire de l'étoile : 10 aire du triangle de base et de hauteur sin 36

360 1

car on a un angle au centre .10. sin 36 176.34 m 17634 dm .

10 2

Le rayon d'un secteur circulaire est :

T AOB AO R h r

T Rr

R

   

      

  

²

2 cos 36 6.2384

(Voir figure ci-dessous).

r Rr

  

(18)

1 février 2012