MP 2020-21
Kholles de Mathématiques — programme n ◦ 7
Semaine du lundi 9 au vendredi 13 novembre 2020
Attention désormais tous les énoncés sont démontrés.
Les résultats admis seront explicitement indiqués.
Chapitre 7 : Réduction des endomorphismes
Dans ce chapitre les espaces vectoriels en jeu sont de dimension finie.
1. Diagonalisation.
1. Définition d’un endomorphisme diagonalisable.
Définition : endomorphisme diagonalisable (existence d’une base de diagonalisation).
Proposition : CNS de diagonalisabilité, par l’existence d’une base de vecteurs propres ou par la supplémentarité des espaces propres.
Définition : décomposition spectrale d’un endomorphisme diagonalisable.
2. Caractérisation de la diagonalisabilité par la dimension des sous-espaces propres.
Théorème : un endomorphisme est diagonalisable ssi la somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de l’espace ambiant.
Corollaire : un endomorphisme est diagonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé et la dimension de chaque sous-espace propre est égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante.
Corollaire : une condition simple de diagonalisabilité est qu’un endomorphisme possèden valeurs propres dis- tinctes, oùnest la dimension de l’espace ambiant.
3. Caractérisation de la diagonalisabilité par le polynôme minimal.
Théorème : un endomorphisme est diagonalisable ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples.
Corollaire : un endomorphisme est diagonalisable ssi il annule un polynôme scindé à racines simples.
Remarque : diagonalisabilité de la restriction à un sous-espace stable d’un endomorphisme diagonalisable.
Exemples : les projections et les symétries sont diagonalisables.
4. Matrice carrée diagonalisable
Définition : matrice carrée diagonalisable.
Exemple numérique.
2. Trigonalisation.
1. Définition.
Définition : endomorphisme trigonalisable (existence d’une base de trigonalisation).
Proposition : caractérisation de la trigonalisabilité d’un endomorphisme par l’existence d’un drapeau de sous- espaces stables.
2. Caractérisation de la trigonalisabilité par le polynôme minimal ou le polynôme caractéristique.
Théorème : un endomorphisme est trigonalisable ssi son polynôme minimal (ou son polynôme caractéristique) est scindé.
Corollaire : caractérisation de la trigonalisabilité par l’annulation d’un polynôme scindé.
Corollaire : tout endomorphisme d’unC-espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable.
3. Matrice carrée trigonalisable.
Définition : matrice carrée trigonalisable : définition.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 1/2 29 août 2020
MP 2020-21
3. Applications.
1. Commutant d’un endomorphisme ou d’une matrice.
Proposition : rappels sur les polynômes d’endomorphismes.
Détermination du commutant d’une matrice sur un exemple.
2. Puissances d’une matrice.
Calcul de la puissancen-ième d’une matrice carrée, sur un exemple.
3. Suites récurrentes linéaires.
Dérécursification d’une suite récurrence linéaire du typeun+3 =aun+2+bun+1+cun, avec(u0, u1, u2)donné, sur un exemple.
4. Équations algébriques d’inconnues matricielles.
Résolution d’une équation algébrique matricielle sur un exemple dansM3(C).
5. Déterminant et trace des puissances d’une matrice.
Proposition : déterminant et trace de la puissance d’une matrice en fonction de son spectre.
4. Trigonalisation à l’aide des sous-espaces caractéristiques.
1. Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes.
Définition : endomorphisme nilpotent, indice de nilpotence.
Exemple : l’opérateurD de dérivation dansKn[X].
Proposition : un endomorphisme est nilpotent ssi il est trigonalisable et de spectre réduit à0.
Proposition : si u est nilpotent d’indice p et si x est un vecteur de E tel que up−1(x) 6= 0, alors la famille (x, u(x), . . . , up−1(x))est libre.
Corollaire : l’indice de nilpotence d’un endomorphisme est inférieur (ou égal) à la dimension de l’espace ambiant.
Si l’indice est égal àn, la matrice dans une base adaptée est une matrice nilpotente de Jordan.
Définition : matrice nilpotents, indice de nilpotence.
Proposition : propriétés des matrices nilpotentes.
2. Sous-espaces caractéristiques.
Définition : sous-espaces caractéristiques (SEC).
Théorème : propriétés des sous-espaces caractéristiques (contenant les sous-espaces propres, u-stables, sup- plémentaires, de dimension l’ordre de multiplicité la VP associée ; la restriction à un SEC est somme d’un endomorphisme diagonalisable et d’un nilpotent).
Corollaire : trigonalisation à l’aide des SEC.
Exemple numérique.
Remarque : la décomposition de Dunford et la réduction de Jordan sont hors-programme.
Semaine suivante : familles sommables.
Fénelon Sainte-Marie – La Plaine-Monceau 2/2 29 août 2020
