Automne2011Resp:S.Mousset Math´ematiquespourlesSciencesdelaVieAnalyse–Primitives/Int´egration

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Math´

ematiques pour les Sciences de la Vie

Analyse – Primitives / Int´

egration

Automne 2011

Resp : S. Mousset

(2)

Table des mati`

eres

1 Généralités

2 Propri´et´es

(3)

Plan d´

etaill´

e

1 Généralités

Notion de primitive

Exemples de primitives connues

(4)

Notion de Primitive

Soit F une fonction d´erivable telle que F0 = f .

F D´eriver −→ ←− Int´egrer f

F est une primitive de f ⇔ F0 = f

Si F est une primitive de f , alors F + K l’est aussi. L’ensemble des primitives de f est not´e

Z

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Plan d´

etaill´

e

1 Généralités

Notion de primitive

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Exemples de primitives

Voir formulaire http://mathsv.univ-lyon1.fr

Dérivée Primitive xα, où α ∈ R \ {−1} x α+1 α + 1 1 x ln |x | ln x x ln x − x ex ex cos x sin x sin x − cos x

(7)

Exemples de primitives

D´eriv´ee Primitive 1 x2_{+ 1} arctan x 1 √ 1 − x2 arcsin x 1 sin x ln | tan x 2|

(8)

Exemples de primitives

Dérivée Primitive u0 um, où m ∈ N \ {0, 1} −1 (m − 1)um−1 u0 √ u 2 √ u u0 u ln |u| u0cos(u) sin(u) u0sin(u) − cos(u)

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Plan d´

etaill´

e

1 Généralités

Notion de primitive

(10)

Interpr´

etation g´

eom´

etrique

Calculer l’aire A d´elimit´ee par la courbe d’une fonction continue f ayant pour primitive F entre x = a et x = b.

On d´ecoupe l’aire en n intervalles

de taille constante ∆x = a−b_n

On peut ´ecrire n X k =1 ∆xfm,k ≤ A ≤ n X k =1 ∆xfM,k

Lorsque n → ∞, ces sommes convergent vers Z b a f (x ) dx = [F (x )]b_a = F (b)−F (a) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x y = sin ( x )

(11)

Interpr´

etation g´

eom´

etrique

On d´ecoupe l’aire en n intervalles de taille constante ∆x = a−b_n On peut ´ecrire n X k =1 ∆xfm,k ≤ A ≤ n X k =1 ∆xfM,k

Lorsque n → ∞, ces sommes convergent vers Z b a f (x ) dx = [F (x )]b_a = F (b)−F (a) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 10 intervalles x y = sin ( x )

(12)

Interpr´

etation g´

eom´

etrique

(13)

Interpr´

etation g´

eom´

etrique

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Valeur moyenne

Soit f une fonction continue sur [a, b].

La valeur moyenne de f sur [a, b] est 1 b − a Z b a f (x ) dx Exemple : C (t ) = C0e−λt 1 τ Z τ 0 C0e−λtdt = C0 τ −1 λe −λt τ 0 = C0 λτ 1 − e−λτ 0 1 2 3 4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x y = C0 e xp ( − λ t )

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Table des mati`

eres

1 Généralités

2 Propri´et´es

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Plan d´

etaill´

e

2 Propri´et´es

Relation de Chasles

Inégalités et intégration

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Relation de Chasles

Soit f une fonction continue sur I

∀(a, b, c) ∈ I3, Z c a f (t ) dt = Z b a f (t ) dt + Z c b f (t ) dt Cons´equences : Z a a f (t ) dt = 0 Z b a f (t ) dt = − Z a b f (t ) dt

(18)

Plan d´

etaill´

e

2 Propri´et´es

Relation de Chasles

(19)

Soit f et g deux fonctions continues sur [a, b] (avec a < b) Si ∀x ∈ [a, b], f (x ) ≥ 0 alors Z b a f (x ) dx ≥ 0 Si ∀x ∈ [a, b], f (x ) ≤ g(x ) alors Z b a f (x ) dx ≤ Z b a g(x ) dx

(20)

Plan d´

etaill´

e

2 Propri´et´es

Relation de Chasles

(21)

Int´

egrales de fonctions paires/impaires

Si f est paire, alors Z a −a f (x ) dx = 2 Z a 0 f (x ) dx

Si f est impaire, alors Z a

−a

(22)

Table des mati`

eres

1 Généralités

2 Propri´et´es

(23)

Plan d´

etaill´

e

3 M´ethodes de calcul

D´ecomposition en somme

Changement de variable

Décomposition en éléments simples

(24)

D´

ecomposition en somme

Principe Z (αf (x ) + βg(x )) dx = α Z f (x ) dx + β Z g(x ) dx

(25)

Plan d´

etaill´

e

(26)

Changement de variable

Principe On pose x = Φ(t ) d’o`u dx = Φ0(t )dt Z Φ(b) Φ(a) f (x ) dx = α Z b a (f ◦ Φ)(t )Φ0(t ) dt

(27)

Changement de variable

Exemple On veut calculer Z b a √ x − 1 x dx On pose t =√x − 1 ⇔ x = t2+ 1 x = a ⇔ t =√a − 1 x = b ⇔ t =√b − 1 x = t2+ 1 ⇒ dx = 2t dt Z b a √ x − 1 x dx = Z √ b−1 √ a−1 t t2_{+ 1}2t dt = Z √ b−1 √ a−1 2t2 t2_{+ 1}dt = Z √ b−1 √ a−1 2 − 2 t2_{+ 1} dt = 2 [t − arctan t ] √ b−1 √ a−1 = 2√ x − 1 − arctan√x − 1b a

(28)

Plan d´

etaill´

e

(29)

Fractions rationnelles

Une fraction rationnelle est une fonction qui est le rapport de deux fonctions polynomes. Z f (x ) dx = Z A(x ) B (x )dx

où A(x ) et B (x ) sont deux polynomes. Principe : Réduire f en “éléments simples” pour obtenir :

f (x ) = Q (x ) + R(x ) B (x ) On cherche ensuite les λi tels que

R(x ) B (x ) = X i λi x − ri

(30)

Exemple

On veut calculerR _{x (x −1)}1 dx 1 x (x − 1) = a x + b x − 1 = a(x − 1) + bx x (x − 1) = (a + b)x − a x (x − 1)

Par identification, on obtient −a = 1 et a + b = 0, soit a = −1 et b = 1. Z ₁ x (x − 1)dx = Z ₋₁ x + 1 x − 1 dx

(31)

Plan d´

etaill´

e

(32)

Int´

egration par parties

Principe

D´eriv´ee d’un produit de fonctions uv .

(uv )0 = u0v + uv0 ⇔ u0v = (uv )0− uv0

En intégrant de part et d’autre de l’égalité :

Z (u0v )(x ) dx = Z (uv )0(x ) − (uv0)(x ) dx Soit _Z (u0v )(x ) dx = uv (x ) − Z (uv0)(x ) dx

(33)

Int´

egration par parties

Exemple Que vautR ln x dx ? On pose : u0(x ) = 1 ⇐ u(x ) = x v (x ) = ln x ⇒ v0(x ) = 1_x

La formule de l’int´egration par partie donne :

Z ln x dx = x ln x − Z x1 x dx = x ln x − Z dx = x ln x − x + K

(34)

Int´

egration par parties

Quand l’utiliser ?

Produits de fonctions

Simplifier des produits de fonctions à intégrer (éventuellement, plusieurs IPP)

R P(x )ex_{dx o`}_{u P est un polynˆ}_ome.

R P(x ) sin x dx ou R P(x ) cos x dx o`u P(x ) est un polynˆome.

Faire apparaˆıtre une propri´et´e simple : R ex_{sin x dx (2IPP}

(35)

Exemple d’IPP successives

calcul deR ex

sin x dx

Premi`ere int´egration par parties : Z exsin x dx = Z (u₁0v1)(x ) dx u₁0(x ) = ex ⇐ u₁(x ) = ex v1(x ) = sin x ⇒ v10(x ) = cos x IPP1 :R (u₁0v1)(x ) dx = [(u1v1)(x )] −R (u10v1)(x ) dx Z exsin x dx = [exsin x ] − Z excos x dx

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Exemple d’IPP successives

calcul deR ex

sin x dx = [exsin x ] −R ex

cos x dx

Deuxi`eme int´egration par parties : Z excos x dx = Z (u₂0v2)(x ) dx u₂0(x ) = ex _{⇐ u} 2(x ) = ex v2(x ) = cos x ⇒ v20(x ) = − sin x IPP2 :R (u0 2v2)(x ) dx = [(u2v2)(x )] −R (u20v2)(x ) dx Z exsin x dx = [exsin x ] − [excos x ] − Z −exsin x dx Soit : Z exsin x dx = e x_{(sin x − cos x )} 2 + K