Stabilité et isochronisme dans les cyclotrons à champ magnétique étoilé

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Stabilité et isochronisme dans les cyclotrons à champ

magnétique étoilé

F. Fer

To cite this version:

5 A.

STABILITÉ ET ISOCHRONISME DANS LES CYCLOTRONS A CHAMP

_MAGNÉTIQUE

_ÉTOILÉ

Par

_{F. FER,}

Laboratoire de _Physique Nucléaire, Orsay. Institut _{Henri-Poincaré,} Paris.

Résumé. 2014 La

correspondance

qui existe entre un _{champ magnétique} et le réseau des trajec-toires _{d’équilibre} d’une _particule dans ce _{champ résulte de deux facteurs que l’on peut disjoindre :}

un facteur _{géométrique (forme} du _réseau) et un facteur _cinématique (loi des vitesses successives

sur les courbes de ce _réseau). On _{peut alors, pour chaque trajectoire,} définir 2 scalaires : _k2 attaché

uniquement à la forme _{géométrique, k} attaché _uniquement à la loi de _{vitesse ;} la stabilité hori-zontale et verticale est _{caractérisée par} 0 k _k2. L’écriture de la _{compatibilité} entre l’isochro-nisme et la stabilité en _découle, et met en évidence un facteur de _{compatibilité 03B3 qui} rend _compte aussi bien de la convergence

_forte.

03BA2 et 03B3 sont _{donnés par des intégrales cycliques} de forme très simple, permettant l’examen _qualitatif et _quantitatif des facteurs _pratiques

_(forme

du _champ, nombre des _secteurs).

Abstract. 2014 The relation between _a

magnetic field and the _family of _{equilibrium trajectories} of a _particle in this field results from two factors : a _{purely geometric} one _(the form of the curves), and a kinematic factor _(the distribution of the velocities on the successive _curves). It is possible to _{define, for every trajectory,} two scalar _{parameters : 03BA2 depending only} on the _{geometric form,}

and 03BA on the distribution of velocities. The double _stability is characterized _by the both inequa-lities : 0 03BA 03BA2, from which the _equation of compatibility between _stability and isochronism proceeds directly. This last _equation introduces a _{compatibility} factor 03B3 which is able also to

describe the _{strong focusing. 03BA2} and 03B3 are _{given by cyclic integrals} of a very simple form, which permit the effect of _physical data _{(field form, number of sectors)} to be examined qualitati-vely and _{quantitatively.}

PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME 20, AVRIL 1959,

Cette étude a _pour buts de

dégager

un critère

simple

de la stabilité des

_trajectoires

dans des

champs

statiques

de forme

_{quelconque (hormis}

l’existence

_d’un

_plan

de

_symétrie

_horizontal),

et

d’utiliser

ce

_{critère pour}

_-écrire

la condition de

compatibilité

entre

l’isochronisme

et la stabilité.

(Par

champ

étoilé nous

_désignons

tout

_{champ qui}

n’est pas de révolution et

_qui,

de ce

_fait,

communi-que

à ses trajectoires

un

_{aspect plus}

ou moins

angu-leux.)

Nous résumons tout de suite les

_principales

con-clusions

_auxquelles

cette étude aboutit.

a)

La stabilité est _{caractérisée par le} para-mètre

_k,

incrément

_{logarithmique}

relativiste de la vitesse v :

d v étant une différentielle

qui représente

la

varia-tion

_des

_{trajectoires d’équilibre.}

On montre alors

(§

4

_{et 5)}

_que la stabilité double

_(horizontale

et

verticale)

est _{caractérisée par la condition :}

k2

étant une limite

_{d’expression}

très

_simple,

donnée par les

_{équations (10)}

à

_(13).

b)

La comiaissance de la limite

_k2

_permet

d’écrire

_simplement,

_pour un

_cyclotron,

la

condi-tion de

_{compatibilité}

entre l’isochronisme et la

stabilité ;

en même

_temps

on constate

_{l’équivalence}

des deux notions de

_{compatibilité}

et de

conver-gence forte, qui peuvent être _{mesurées par} le même nombre

_{( §}

_6).

c)

En

_simplifiant

on

_peut

dire que la stabilité

dépend

de deux facteurs dans une certaine mesure

indépendants :

la forme des

_{trajectoires d’équilibre}

d’une

_part

et leur distorsion de l’une à l’autre

d’autre

_part.

La mise en évidence de ces deux

facteurs

_permet

en

_particulier

de reconnaître

l’in-fluence du nombre .N des secteurs de

_{périodicité}

du

_{champ :}

N _{intervient par} l’intermédiaire de la

distorsion des

_trajectoires

_{d’équilibre,}

mais non _par

la forme elle-même de ces

_{trajectoires.}

d)

Les résultats

_qui

_précèdent

_permettent

de

proposer. un _processus rationnel de choix _pour Ig

forme des

_trajectoires

et du

_champ

magné-tique z 8).

e)

On trouvera

_{au §}

9

_quelques

_applications

concrètes à divers

_types

de

_cyclotrons

ou

syn-chrotrons, ainsi que

quelques

indications sur l’effet

de bord. -

,

La méthode utilisée

_pour

obtenir ces résultats

consiste- à. se

_placer

dans un

_système

de

coor-données

_{curvilignes orthogonales}

définies _par un dS2

généralisé :

contrairement à ce

_{qu’on pourrait}

penser à

_première

vue, cette

superfluité théorique

n’est

_{qu’apparente}

et

_simplifie

l’étude. La même

méthode

_parait

_{pouvoir s’appliquer}

avec fruit à la

définition

_précise

de la focalisation et au calcul des

marges de construction.

L’étude

_qui

suit a trait

principalement

à

l’exa-men du

_cyclotron.

Mais elle

_peut

_{s’appliquer}

aux

synchro-cyclotrons

ou

synchrotrons

si l’on tient

compte

des considérations suivantes :

a)

En ce

_qui

concerne le critère de

_stabilité,

elle

s’applique

intégralement (pour

le

_synchrotron

il faut

_simplement

_{prendre quelques}

_précautions

dans la définition des

_trajectoires

_{d’équilibre).}

b) L’exigence

de la

_{compatibilité}

entre

l’isochro-nisme et la stabilité

_perd

son intérêt dans les

accélérateurs à modulation de

_fréquence

ou de

champ,

pour

lesquels

le but du

champ

étoilé est

d’obtenir _{la convergence} forte. Il faut

_cependant

noter que, pour un

_{synchron-cyclotron,}

il est néces-saire d’écrire la condition de

_{compatibilité,}

rendue .ensuite facile à

_respecter

_{par la} modulation de fré-quence. Pour un

_synchrotron,

le

_problème

ne se

pose pas, le synchronisme étant assuré par la modu-lation du

_champ

dans le

_temps.

1. Introduction et définitions. -

Symon

et ses

co-auteurs

_[1]

ont

_introduit,

dans l’étude des

cyclotrons

à

_champ

_{magnétique étoilé,}

les

coor-données « orbitales ». Ces coordonnées sont l’un des

systèmes

que l’on

peut

définir

_{lorsqu’on impose}

aux

_{trajectoires d’équilibre}

de former l’une des

familles de

_lignes

coordonnées :

_chaque

_trajectoire

d’équilibre

est _{caractérisée par} son _{rayon moyen}

_R,

et la

_position

sur cette

_trajectoire

est _{définie par}

l’angle

généralisé

0 =

s/R, s

étant l’abscisse

curvi-ligne

sur la

trajectoire.

On achève de définir le

réseau des

_trajectoires

_{d’équilibre}

en se donnant

leur

_{équation intrinsèque 1 /p}

=

({J( 0, R) (p

_rayon

de

_courbure).

Le

_{système (R, 8)}

_{n’est pas,} en

_général,

un

sys-tème

_{orthogonal (l’orthogonalité exigerait}

en effet

que fût satisfaite une

_équation

aux dérivées

par-tielles du 2e ordre en _p, condition

_{supplémentaire}

que l’on ne

_peut

_imposer

sans restreindre la

géné-ralité des

_{trajectoires d’équilibre possibles).}

Or

l’écriture des

_équations

des oscillations

bêta-troniques

fait intervenir une dérivation en

didn

suivant

les normales aux

_trajectoires

d’équilibre.

On

_conçoit

_par

_conséquent

_l’avantage

_que

_peut

apporter,

tout en conservant aux

_trajectoires

d’équilibre

la

_propriété

d’être des

_lignes

coor-données,

un

_système

de coordonnées

_curvilignes

orthogonales.

Une fois choisi un tel

_système,

il est

_indiqué

de l’utiliser

_{intrinsèquement,}

sans mêler à son

appa-reil celui des coordonnées

_{cartésiennes,}

en se

bornant seulement à établir les formules de

pas-sage de l’un à l’autre. En

_effet,

si on

_désigne

par

( v, 6)

le

système

en

_{question, v}

étant la

coor-donnée

_qui

caractérise les

trajectoires

d’équilibre

(celle

qui

correspond

au R de

_Symon),

les

_équations

différentielles du

_mouvement,

écrites dans le

sys-tème

_{(v, 6),}

admettront les solutions v = Cte. Or

on sait _que la connaissance a

_priori

_{d’intégrales}

particulières

d’équations

différentielles en facilite

la résolution. D’où l’intérêt de raisonner dans le

système (v,

a).

Pour utiliser

_{intrinsèquement}

le

_{système ( v,}

_0’),

il nous faut définir la

_géométrie

du

_plan

médian _par

sa

_métrique

_{généralisée.}

dS étant l’élément de

longueur

de

_longueur,

nous _{poserons :} :

dS2 = E2d V2 + Gt da2 ₍₁₎ E2 et G2 étant les carrés de fonctions v _{et 6,} fonc-tions E et _{G qpe l’on peut}

_toujours

_supposer

posi-tives,

ce _que nous ferons.

Nous reviendrons

_plus

loin

_{(§ 3)}

sur la définition

dynamique

des

_trajectoires

_{d’équilibre ;}

_pour l’instant nous n’allons nous _{occuper que de leur}

géométrie.

Représentons

par ses

lignes

coordonnées le

sys-tème

_{(v, 6)}

choisi. Nous

_prendrons

d’abord _pour

axe Oz la verticale

_ascendante,

le mouvement sur

les

_trajectoires

étant

_supposé

décrit dans le sens

direct autour de 0

_(cette

convention n’a d’autre but _{que de}

_respecter

l’orientation

habituelle

de la

géométrie

plane,

qui

nous est

_plus

familière que

son

_{inverse ;}

elle

_exige

bien

_entendu,

dans le cas de

particules

positives, que la

composante

verticale du

champ

magnétique

soit

_négative,

au moins dans les

cyclotrons

à

_champ

non

_alterné).

Les

_{trajectoires d’équilibre}

sont les courbes

v = Cte. Comme _ces

trajectoires

se dilatent à

partir

du centre 0 du

_{plan médian,}

il est naturel de

FIG. 1.

prendre v

= 0 _au

point 0,

et de poser

que v croit

en même

_temps

que les

trajectoires

s’éloignent

de 0

Pour un

_cyclotron

ou un

synchro-cyclotron

les

courbes a == Cte sont des

lignes

issues de 0 et la

courbe a = 0

peut

être

_appelée

l’axe 0 v. Par

con-vention nous _{supposerons que} le sens des e

crois-sants est celui du

_mouvement,

donc le sens direct

autour de 0. Les

_{lignes v}

= Cte et _a = Cte sont

orthogonales ;

l’orientation de

_{l’angle (d v,}

_da)

est directe.

En dehors des conditions

_qui

viennent d’être

imposées,

le choix des coordonnées

_{(v, 6)}

est

arbi-traire,

et leur

_{signification}

_{géométrique peut}

être diverse. On la

_{particularisera,}

le moment venu, suivant les besoins. Les coordonnées

(v, 0-),

de

même que les coordonnées

_orbitales,

sont un _genre

de coordonnées

_polaires

_{généralisées,}

les courbes

Pour un

synchrotron

on

_peut

conserver les notions de

_{trajectoires d’équilibre}

et de leurs

tra-jectoires

orthogonales,

avec les modifications

sui-vantes. Tout d’abord leur réseau n’est défini _que

dans un _espace

_annulaire,

et les

_lignes

a = Cte _ne

sont

_plus

_rayonnantes

à

_partir

d’un centre

_qui

d’ailleurs

_perd

tout intérêt. En second lieu il faut

tenir

_compte

de ce que le réseau change à

chaque

instant avec le

_{champ ;}

_{par suite} on ne

_peut

rai-sonner sur le réseau

_{qu’en supposant}

le

_champ

_fixé,

ce

_qui

amène à faire

_{l’approximation}

de constance du

_{champ pendant}

un tour ou un

_{demi-tour ;}

cette

approximation

semble raisonnable.

Revenons aux fonctions E et G. Ce sont toutes deux des fonctions

_périodiques

de 6, dont la

période

minima

_correspond

à un tour

_complet

dans le

_plan.

Il existe

_{évidemment, dès que}

le nombre des secteurs de

_{périodicité}

est

_égal

ou

_supérieur

à

_2,

une

_période

_{sous-multiple}

de la

_{précédente ;}

mais

nous n’avons pas besoin de faire entrer ces

sous-périodes

en

_ligne

de

_compte,

on en _vqrra

_plus

loin

la raison.

Nous

_{désignerons par ds}

l’élément de

_longueur

pris

sur une

_{trajectoire d’équilibre,}

_{par dn}

l’élé-ment de

longueur

sur une

_ligne

a = Cte. On _{aura :}

Pour v = 0 la valeur de a est

_{indéterminée ;}

comme on doit

_avoir,

au

_point

0, ds

=

0,

G est

soumis à la condition

_G(O,

_a)

= 0.

2. Condition

imposée

au tenseur

_{métrique E,}

G

et _{formules de passage.} - Nous allons montrer :

que les fonctions E et G ne

_peuvent

_pas être

tota-lement

_arbitraires,

mais doivent obéir à une

condi-tion

_{différentielle ; que,}

cette condition

_remplie,

la connaissance de

_E,

G est

_équivalente

à celle du réseau des

_{trajectoires d’équilibre.}

Que

le tenseur

_E,

G ne

_puisse

être absolument

quelconque

est évident

_puisque

la

_métrique

définie par

(1)

doit être euclidienne. En

application

des méthodes

_générales

du calcul

_tensoriel,

la

condi-tion

_qui

_{régit E,}

G

_peut

s’obtenir en annulant le

tenseur de

_{courbure ;}

il est

_{plus simple,}

_{pour les}

deux dimensions où nous _sommes,

_d’opérer

direc-tement,

en introduisant un

_angle

«

_qui

nous sera

utile

_plus

loin.

Si x, y sont les coordonnées cartésiennes de centre

_0,

les fonctions

_{x( v, 6)}

et

_{y( v,}

₆₎

doivent

obéir aux trois

équations :

la troisième

_{équation exprimant}

_{l’orthogonalité des}

deux familles de

_lignes

de coordonnées. On satis-fera à ces trois

_équations

en

_{posant :}

La

_{signification géométrique}

de ce

apparaît

immédiatement sur

_{la figure}

_2,

et les

_signes

des

FIG. 2.

équations (3) correspondent

aux conventions de

sens faites

_plus

haut. Les

_{équations (3)}

ne

_peuvent

. être satisfaites _{que si} oc obéit à deux conditions

d’intégrabilité

exigées

par les dérivées de x et de y. Par dérivation et des combinaisons évidentes on

trouve :

- - --

-et ces

_équations

entraînent elles-mêmes une

condi-tion

_{d’intégrabilité,}

_qui

est la condition euclidienne

cherchée :

dont nous donnons au

_paragraphe

suivant une

interprétation géométrique.

Inversement,

si on se donne deux fonctions E et G vérifiant

_(E),

les

_équations

₍₄₎

four-nissent

_{oc(v, a)}

à une constante

_près

_qu’on

fixera à

volonté,

fixant _{par là} même l’orientation du bloc des

_{trajectoires d’équilibre}

dans le

_plan

xy. Les

équations

(3) permettent

ensuite de calculer

_{x( v, a)}

et

_{y( v, a),}

les constantes

_{d’intégration}

étant ici

fixées _par les conditions x _{= y} =

0 pour v = 0.

Remarquons qu’au

lieu de se donner E et

_G,

on

peut

se donner arbitrairement

_{ot(v, a) ;}

E et G sont _{alors déterminées par le système (4).}

Les

_{équations (2)}

nous ont

_déjà

donné une

signi-fication

_{géométrique}

de E et G. On notera en

outre _que

_{le, périmètre l}

d’une

_trajectoire

d’équi-libre est _{donné par :}

le

_{signe e}

_désignant

comme de coutume

l’inté-gration

sur une

_période

de 6

_{(tour complet.}

3. Courbure des

trajectoires d’équilibre

et

8 A

lignes

coordonnées se déduit du tenseur

_{métrique :}

c’est une

_conséquence

de la théorie

_générale

des

surfaces. En

_particulier

la courbure sur une

trajec-toire

_{d’équilibre}

est : -.

soit,

d’après

la deuxième

_{équation (4) :}

Il est utile de noter en

_passant

_{que le rayon de}

courbure ainsi

_exprimé

est mesuré

_{algébriquement}

sur la normale orientée à ₊

_7r/2

de la _tangente

positive,

donc sur la normale orientée dans le sens

des v décroissants. p est donc

positif lorsque

la

trajectoire

tourne sa concavité vers

0, négatif

quand

elle tourne sa concavité vers l’extérieur.

La

_{première équation (4) permet}

de même de

calculer la

_{courbure 1 la}

des

_lignes

s =

Cte ;

cette

courbure est :

a étant mesuré sur la _tangente

_positive

à la courbe

6 = Cte.

La valeur des _{deux rayons de} courbure

_permet

facilement de mettre la condition euclidienne

_(E)

sous la forme :

Désignons

maintenant par H(v, a) la

compo-sante verticale du

_champ

_magnétique.

Posons :

(e

charge, m masse, v vitesse de la

particule).

Comme

_chaque

_trajectoire

_{d’équilibre}

_correspond

à une valeur bien déterminée de v

(voir ci-dessous),

on

_peut

considérer v comme une fonction de _v, ou

inversement,

et m comme une fonction de v. On

sait que

l’équation

vectorielle du mouvement

_plan

se

réduit,

_{par élimination} du

_temps,

à

_{l’équation}

scalaire

_{géométrique :}

D’où

_{l’équation,}

dans le

_{système (v, ci),}

des

tra-jectoires

d’équilibre

du

_plan

médian :

Avant d’aller

_{plus loin,}

il est nécessaire _de

rap-peler

avec

précision

les

_rapports

du

_champ

et des

trajectoires d’équilibre.

Raisonnons sur un

_champ

-statique,

puisque

nous avons ramené à ce cas celui du

_synchrotron.

Un tel

_champ

ètant

_{supposè donnè,}

nous admet-trons la

_{proposition suivante,}

valable sous

_plusieurs

réserves : par

chaque

point

du

_plan

médian _passe

une

trajectoire d’équilibre (trajectoire

fermée sur un

tour)

et une

_seule,

cette

_trajectoire

devant être affectée d’une vitesse v bien déterminée

_(donc

aussi d’une

_{période llv}

bien

_{déterminée) ;}

ou

bien,

sous forme

_{équivalente :}

une vitesse v

étant

_donnée,

il lui

_correspond,

dans le

_champ

donné,

une

trajectoire d’équilibre

bien déterminée

et une seule.

Les réserves à faire sont les suivantes. Tout d’abord l’énoncé ne tient

_compte

_{que des} « bonnes »

trajectoires,

rejetant

les

_trajectoires

_cycloïdales

annoncées par Okhawa

[2],

d’ailleurs sans intérêt

pour notre

problème ;

d’autre

part,

dans le cas de

certains

_champs

_alternés,

à une même

_grandeur

de la vitesse

_{correspondent}

deux

_trajectoires

d’équi-libre tournant en sens inverses

_{(id.). Mais,}

la

_part

faite de ces

_réserves,

il me semble _pas

qu’une

démonstration de cet énoncé ait été

_publiée

_{pour le}

cas d’un

_champ

étoilé

_{quelconque ;}

aussi

l’admet-trons-nous suivant

_l’usage

_général.

Supposons

maintenant

_qu’on

_opère

de la manière

inverse : on se donne a

_priori,

non le

champ,

mais

le réseau des

_{trajectoires d’équilibre.}

L’équa-tion

_(G)

ou

_ri)

montre _{alors que} le

_champ

n’est pas

complètement

déterminé et

qu’il

faut la donnée de

_tz(v),

c’est-à-dire de

_{v( v),}

_pour achever

sa détermination.

_Or,

si le choix du réseau est

arbitraire

_(mis

à

_part

bien entendu les

_{possibilités}

de réalisation matérielle

_{ultérieure),}

le choix de

_m((v)

peut être,

suivant les _cas, soumis ou non à une

condition.

a)

Pour le

_cyclotron

ou le

_{synchro-cyclotron,}

cette condition existe : c’est le

_synchronisme

_exigé

entre _{la rotation propre de la}

_particule

et le

_champ

électrique

accélérateur. Pour le

_cyclotron,

la loi

qui

détermine m est v = l X Cte

_lorsqu’on

recherche le

_{synchronisme rigoureux,}

ou une loi

voisine

_{(voir § 7) lorsqu’on}

admet un certain

glis-sement de

_phase.

Dans le cas du

synchro-cyclotron

la loi est moins directe car elle fait intervenir le

facteur

_temps

en raison de la

_{modulation ;}

elle

n’en existe _{pas moins.}

b)

Pour un

synchrotron

_par contre on a le droit

de choisir

_m(v)

arbitrairement

_(on

_comprendra

dans la suite _que cela revient à laisser un certain

arbitraire dans le choix du

_gradient

de

_champ),

et

naturellement la loi

_{m( v)}

_{pourra varier} en même

temps

que la valeur du

champ.

On sait

_qu’en

_général

c’est la seconde méthode

qui

est utilisée _{pour le}

_projet

de

l’accélérateur,

et

c’est elle

_{dont nous}

userons ici : elle

évite

l’inté-gration

difficile des

_équations

différentielles du mouvement

_qu’impose

la

_première

méthode. En se

plaçant

dans cette

_optique

on

_{voit, d’après}

ce

qui

précède, que

toute condition

_imposée

à es est

équi-valente à une condition

_imposée

à

_{H ;}

_mais,

alors c’est la seconde

_qui

est _{réalisée par la construction,}

c’est la

_{première qui}

est la

_plus

facile à

_écrire,

9 A

4.

Étude

des stabilités horizontale et _verticale.

-- Nous

partirons,

pour étudier les oscillations

bêtatroniques

- _ou

plus

exactement les

_petits

mouvements autour des

_{trajectoires d’équilibre,}

dont nous cherchons

_{précisément qu’ils}

soient des oscillations - des

équations

de Kerst-Serber

géné-ralisées _par

_{Sigurgeirsson}

_[3].

Les notations et conventions

_adoptées

sont les suivantes : les

_petits

mouvements horizontaux sont caractérisés _par

l’écart Õn de la

_trajectoire

déformée _par

_rapport

à la

trajectoire

d’équilibre,

écart mesuré dans le sens

des v

_{croissants ;}

les

_petits

mouvements verticaux sont _{caractérisés par la} cote z. La variable

indé-pendante

est l’abscisse

_{curviligne s}

sur la

trajec-toire

_{d’équilibre.}

Ceci

_posé,

les

_équations

de K. S. S. écrivent :

-

pour les petits mouvements horizontaux :

-

pour les petits mouvements verticaux :

Dans chacune de ces

équations, v

doit être

considéré comme un

_paramètre,

fixé dès

_qu’on

a

choisi la

_trajectoire

_{d’équilibre.}

Nous allons introduire un

_paramètre

_k,

fonction

de v, défini par

l’équation :

On

_peut

_exprimer

k à

_partir

de la vitesse. De

₍₇₎

et

₍₈₎

on

tire :

désignant

comme d’habitude le

_rapport

vic. A

la

modification relativiste

_près,

k est l’incrément

loga-rithmique

de la vitesse.

L’utilisation des

_{équations (H)}

et

_(V)

se fait

commodément,

comme on va le

_voir,

en les

écri-vant dans le

_{système (v, a),}

_{par le jeu} des chan-flements de variables dn

_{= E dv,,}

ds = G da.

Commençons

par transformer seulement les termes

en dn. Les

équations (H)

et

(V)

deviennent :

Ces deux

_équations

sont du

_type

_classique

de Sturm-Liouville. On _{sait que, pour} ce _genre

d’équa-tions,

on

_dispose,

en

_plus

des méthodes habituelles

de la théorie des

_équations

_linéaires,

des méthodes de Sturm

_qui

_permettent

de

_reconnaître

le

carac-tère oscillatoire ou non-oscillatoire des solutions

_[4].

Nous. allons montrer _que les stabilités horizontale et verticale des

_trajectoires

_peuvent être caractérisées

par le

seul

_paramètre

k. De manière

_plus

_précise,

il

existe deux valeurs

_k,

et

_k2

de

_k,

avec :

et _{telles que : si k >}

_kl,

la _{stabilité horizontale} est

assurée ;

si k

_k2,

la stabilité verticale est

assurée ;

le

_régime

stable étant donc obtenu en

prenant k

compris

entre

_ki

et

_k2.

(Cette

conclusion n’est _pas valable _pour

n’im-porte quel type

mathématique d’équation (H

bis)

ou

_(V

_bis),

mais _{pour celles}

_qui

_{correspondent}

aux

cyclotrons

ou

_synchrotrons

_réels,

ce

_qui

nous suffit

évidemment.)

Nous verrons

_plus

loin un mode de

_calcul,

au

moins

_approché,

de

_k2.

Nous _{allons pour} l’instant établir l’existence des limites

_k,

= 0 et

k2

> 0 à

l’aide du théorème fondamental de Sturm

_qui

_peut

s’énoncer ainsi : Soit

_{l’équation}

linéaire

où ,NI et N sont deux fonctions de _u, la

_première

constamment

_positive

dans l’intervalle _{que l’on} considère. Si une solution de cette

_équation

a

deux zéros ul et u2, toute solution de

_quelque

équation

qu’on

obtienne en diminuant M ou N a au

moins un zéro

_compris

entre ul et _{u2. Il} en résulte

que, si l’on

peut

borner

_{supérieurement}

M et N de manière à obtenir une

_équation

à solution

_générale

oscillatoire,

toute solution de

_{l’équation}

donnée

est a

_fortiori

oscillatoire.

a)

ÉQUATION

DES PETITS MOUVEMENTS

HORI-ZONTAUX. - Transformons

l’équation

(H bits)

en

prenant

comme variable

indépendante

la

quantité

u

définie

(à

une constante

_près

sans

_importance)

_{par :}

et _{pour fonction l’écart} 8v =

8/.E.

Si _on

rem-place

rnH par sa valeur tirée de

(T)

et

qu’on

tienne

compte

de la condition

_{(E), (H bis)}

devient :

(La

simplicité

de cette

_équation

tient au

_fait,

annoncé § 1,

que les solutions de cette

équation

doivent

_comporter

les solutions 8v = Cte si _on

y fait k =

0,

_{car on} obtient de la sorte les

équations

des

_{trajectoires d’équilibre}

_variées.)

Supposons

qu’on

connaisse une valeur

ko

de k

pour laquelle toute solution de

_{(H ter)}

est oscil-latoire.

Supposons

d’abord

_ko

_positif.

En divisant les deux membres de

_(H

_ter)

_par

_k,’

on volt

_qu’un

accroissement de k diminue le coefficient de la dérivée seconde sans toucher au coefficient de

_{8v ;}

donc,

d’après

le théorème de

_Sturm,

la nouvelle

existe donc une borne inférieure

_k1

de k au-dessus de

_laquelle

toute solution de

_(H)

est oscillatoire. Un raisonnement _par l’absurde immédiat montre

qu’au-dessous

de

_k1

aucune solution ne

_peut

être

oscillatoire.

_{Or, pour k}

= 0 _aucune solution n’est

oscillatoire sauf la solution triviale nulle. On a donc

bien dans ce cas

k,

_> 0.

Supposons

maintenant

_qu’on

ait trouvé un

ko

négatif.

En raisonnant comme

_{précédemment}

(divi-sion _par

_Iki)

on _{verrait que le} caractère oscillatoire

des solutions

_exige

k

_{k’l -_}

0. Mais il est facile de _{montrer que} ce cas ne

_correspond

_{pas à} celui d’un

_cyclotron

souhaitable. Divisons en effet les

deux membres de

_{(H ter)}

_{par 8v} et

_intégrons

sur une

période ;

après

une

_{intégration par parties}

et

eu

égard

à

l’équation

₍₅₎

on obtient :

’

A

_désignant

l’accroissement sur une

_période.

Si la dérivée

_{dl jd v}

du

_{périmètre 1}

est

_positive,

on voit que, sur une

_{période, (1/8v) (devidu)}

décroît d’une

_quantité

finie si k est

_positif

aussi

petit

soit-il. On en déduit facilement _{que 8v finit}

par s’annuler au bout d’un nombre fini de

_périodes

pour recommencer ensuite

_évidemment,

donc

que 8v est oscillatoire.

dl%dv

> 0 entraîne donc le

caractère oscillatoire _{pour k}

_{> kl}

= 0.

Si par contre

_{dl jd v}

est

_négatif,

la solution

géné-rale sera oscillatoire

_{pour k}

_k[

= 0. Mais

l’hypo-thèse

_dl/dv

0 ne

_correspond

_pas à un

_cyclotron

souhaitable,

puisqu’il

en

_{découlerait,}

soit une

dimi-nution de

_{l’énergie,}

si on conserve

_{l’isochronisme,}

soit la destruction de ce dernier.

Le cas où

dl Id v

est

_positif,

mais voisin de

_zéro,

mérite une mention

_{spéciale ;}

nous l’étudierons

au § 9.

Remarquons

que la condition k

> ki

= 0 est

presque

évidente, d’après

la théorème de

Sturm,

lorsque z G Jàv

est constamment

_{positif (cyclotrons}

à

_champ

non

alterné).

b)

ÉQUATION

DES PETITS MOUVEMENTS VERTI-CAUX. - Comme _on l’a

fait pour

l’équation (H bis)

on

_exprime

dans

(V bis) H

en fonction de la

métrique.

On trouve

_{l’équation :}

équation qui,

par le

changement

de

[variables

z =

E-,

peut

donner de

multiples renseignements.

Prenons ici comme

fonction t

= Ez.

(V ter)

devient :

Pour k = 0 le coefficient

de §

est sûrement

posi-tif ;

il en sera donc encore de même si k est

_positif

mais assez

_petit.

Par

_conséquent,

_d’après

le théo-rème de

_Sturm,

il existe un intervalle

0, ko

> 0

de k où toutes les solutions de

_(V)

sont oscillatoires.

Supposons

constamment

_positif

sur une

_période.

_{Lorsque k}

_augmente,

le coef-ficient N de

_{l’équation}

_générale

de Sturm

_augmente

et les solutions deviennent moins

_{oscillatoires ;}

pour k

positif

très

grand,

le coefficient

de

est

négatif

et les solutions non-oscillatoires. Il existe donc bien un nombre

k2séparant

les k oscillatoires

de ceux

_qui

ne le _{sont pas.}

Dans le cas où

zGJzv change

de

_signe

sur la

trajectoire,

la discussion

_apparaît

un _peu

_plus

déli-cate. Mais il suffit alors de

_{borner G/}

_par une

fonction

_{1>(0’)}

constamment

_positive,

ce

qui,

pour k > 0 - les seules

valeurs

_qui

noues intéres-sent -

augmente

le coefficient lV de

_{l’équation}

de Sturm et _{rend par}

_conséquent

les solutions moins

oscillatoires.

_{Or, d’après}

ce _que nous venons de

voir,

l’équation

de coefficient k1> a toutes ses

solu-tions oscillatoires

_{pour k}

_k2,

_k;

étant une limite

positive.

Il en est donc a

_fortiori

de _{même pour}

l’équation

donnée.

On voit

_qu’on

_aboutit,

dans ce _cas, seulement à une condition suffisante d’oscillation. Il se

_pourrait

sans doute _{que, pour} des fonctions G

convenables,

il existe

_plusieurs

intervalles

_{(0, k2),}

_{(k3l k4), ...}

pour

lesquels

les solutions de

(V)

soient

oscilla-toires ;

mais l’existence d’une condition suffisante

de stabilité

_paraît

_{suffisante pour les besoins de} la

pratique,

d’autant

_plus

que, par connexion

con-tinue avec le

cas ()G/()V

>

0,

on

_perçoit

intui-tivement

_qu’elle

sera le

plus

souvent nécessaire. Le cas

_{z G Jzv}

0

_correspond

à des

trajectoires

irréelles.

5. Calcul de la limite _k2, - Pour avoir la valeur de

_k2

s’offrent deux

_{possibilités,}

_que nous allons

exposer successivement.

a)

On

_peut

se contenter de

calculer,

non _pas

k2,

mais une

_limite

inférieure utile

(si

elle est

positive

bien

_entendu),

et le calcul est alors facile pour

toute la gamme des

cyclotrons

ou

_{synchrotrons.}

Partons d’abord de

_{l’équation}

_{(V ter) ;}

divisons

ses deux membres par z et

intégrons

sur une

période

comme on l’a fait _pour obtenir

l’équa-tion

(9) ;

après

une

_intégration

_par

parties

sur

le terme on trouve :

Il suffit alors de refaire le raisonnement

_déjà

fait

positif

du deuxième

_terme,

la solution z est

sûre-ment oscillatoire si la somme

_algébrique

des deux derniers termes est elle-même

_positive,

c’est-à-dire

si l’on

_prend

_{pour k2}

la valeur définie _par

l’équa-tion :

(l’équation (6 bis)

ayant

permis

de

rempla-cer 1/E

dE

_{ar 1 .}

° En vertu même de la méthode

cer

É

ds par _a,

employée,

la valeur ainsi définie

_{de k2}

est sûrement inférieure à sa valeur réelle. Le second membre

de

₍₁₀₎

est sûrement

_{positif ;}

_quant

au

_premier

il

l’est

_toujours

si da est constamment

_positif

sur la

trajectoire d’équilibre,

c’est-à-dire si le

_champ

n’est

pas alterné, et il l’est en

_{général pour}

un

_champ

alterné,

à moins de rechercher

_{expressément}

la condition contraire

_(voir

à ce

_sujet

_{le §}

_9,

_c).

La valeur

₍₁₀₎

de

_{k2 peut}

donc convenir.

L’équation

(E bis)

permet

de mettre le second membre de

₍₁₀₎

sous une autre

_{forme, qui peut}

_être

utile ;

on verra aisément _que c’est :

Il est facile de trouver d’autres

_expressions

de

_{k2 présentant}

de l’intérêt.

_Faisons

dans

_{(V ter)}

le

_changement

de variables z

_{= t}

_VÉ.

On obtient

l’équation :

Divisons

_{par t}

et

_intégrons

sur une

_période,

comme _pour

l’équation

(9) ;

on trouve :

Supposons

la dernière

_{intégrale positive ;}

le même raisonnement que ci-dessus

permet

d’assi-gner à

_{k2 la}

limite inférieure :

Bien

_{entendu, pour que}

cette valeur soit

utili-sable,

il faut _que

_{l’intégrale}

soit

_{positive ;}

une

condition suffisante pour

qu’il

en soit ainsi est que oc >

2p.

C’est ce

_qui

arrivera le

plus

_souvent,

à moins de rechercher

_{expressément}

le

_contraire,

du fait que les

trajectoires d’équilibre

sont des courbes

fermées alors _que leurs

_{trajectoires orthogonales}

sont des

_lignes

_rayonnantes.

On

peut

noter _que, contrairement à

_{l’apparence}

première,

la valeur

₍₁₁₎

de

_k2

n’est _{pas forcément}

inférieure à la valeur

₍₁₀₎

bien _que

_{1 /a 2 figure}

dans

₍₁₁₎

avec le

_signe

_{- ;} il y a en effet interi

vention du facteur

_{E, qui figure}

différemment dans

les deux

_équations.

Faisons maintenant le

_changement

de variables

z =

Et.

L’équation (V ter)

devient :

Le même

_procédé

_que

_{précédemment}

nous

donne une valeur sûre

_{de k2 par}

_{l’équation :}

Pour un même réseau de

_{trajectoires d’équilibre}

les trois valeurs

_(10),

₍₁₁₎

et

₍₁₂₎

ne sont en

général

pas égales : il

_n’y

a rien d’étonnant à cela

puis-qu’elles

sont toutes trois des limites inférieures de

la valeur réelle de

_k2,

_pour l’instant inconnue. On a

en

_oonséquence

le droit de choisir la

_meilleure,

c’est-à-dire la

_{plus grande}

des trois

_{quantités ;}

le

choix

_dépendra

du réseau. Nous donnerons

_{au §}

9

quelques

applications

de ces formules. Les

équa-tions

_(10),

₍₁₁₎

et

₍₁₂₎

vont nous

_permettre

tout de suite une étude

_qualitative

de

l’influence,

sur

k2,

du nombre N des secteurs de

_{périodicité.}

Ces

équa-tions montrent d’abord _que

_{k2 dépend}

de deux

facteurs,

p et E

(1 /a

étant déterminé par

(6 bis)

à

partir

de

E).

Sur une

_trajectoire

_{d’équilibre donnée,}

p et E

peuvent

être considérés comme

indépen-dants,

mais cette

_{indépendance}

_cesse, en vertu de

l’équation

(E

bis),

si l’on considère l’ensemble du

réseau.

Raisonnons d’abord sur une

_trajectoire

d’équi-libre et son

_voisinage,

en nous servant de

l’équa-tion

_(10),

_qui

a

l’avantage

de ne _pas soulever de

difficultés de

_signe.

On voit

_aisément,

en

déve-loppant

1 /p

en. série de

Fourier,

_que

l’inté-grale g;

ds/P2

est

_{indépendante}

de N et ne

dépend

que des coefficients de la série.

Certes,

il est pos-sible de donner des

_exemples

où cette

_intégrale

fasse

_apparaître

le facteur

_{N ;}

mais ce résultat sera

dû au fait

qu’on

se sera

imposé

un

_type

de

_champ

particulier

(par exemple

les

_champs

en créneaux

du §

9,

b),

ce

_qui

fait des coefficients de la série de

Fourier des fonctions de

_{N ;}

si

_alors,

_gardant

ces

coefficient,

on

_change

le facteur de

fréquence

N,

le

résultat reste

_inchangé.

Aussi dans ce cas

l’intro-duction des est-elle une

opération

assez artificielle.

f

Par contre le fait _{que E} intervient dans

₍₁₀₎

à la

fois directement et _par sa dérivée

fait

_apparaître

naturellement le facteur

_{N ;}

on le

voit en

développant

1 /E (ou 11 a d’ailleurs)

en

série de

_Fourier,

ce

_qui

montrera en même

_temps

12 A

constatation est

_tempérée

_par trois réserves. Tout d’abord il est clair _{que, dans 1 JE} ou 1

_/a,

les

coef-ficients de la série interviennent autant que N. En second

_lieu,

_{comme i p JZ V dépend}

des dérivées de E à cause de

_(E

_bis),

N s’introduit dans _p, et exerce

par là une influence dont on ne

_peut

_{pas dire}

a

priori

si elle est concordante ou contradictoire avec celle

_{qui passe}

_paru

et a.

_Enfin,

_{pour que} N

ait une influence

_notable,

il faut _que

_{1 la}

soit

important

devant

_{1 Jp,}

ce

_qui

_{exige que les}

trajec-toires

_{d’équilibre}

subissent une torsion

_importante

en même

_temps

_qu’elles

se

_dilatent,

ce

_qui

est

peut-être difficile à

_réaliser,

même

_{géométriquement, à}

tous les diamètres. Concrètement cela

_{signifie qu’il}

sera

_beaucoup

_plus

aisé

_{d’augmenter 1 la}

en

aug-mentant N dans un

_synchrotron,

_qui

travaille

grosso modo sur une seule

_{trajectoire d’équilibre,}

que dans un

cyclotron.

Des

trajectoires

approxi-mativement

_{homothétiques}

comme celles

_{du §}

b

ci-après

créent un

(1fa)f(1fp) faible,

et’Nn’inter-vient

_{plus qu’en}

facteur correctif.

On voit en définitive _que l’influence du nombre

des secteurs est une affaire de cas

_d’espèce,

bien

qu’elle

soit sans doute favorable en

_général.

Ce

_qui

compte

essentiellement c’est la

_forme

_globale

du

réseau,

forme dont N n’est _que l’un des facteurs.

Nous avons à faire maintenant une deuxième

remarque, concernant la stabilité et la focalisation. On a l’habitude d’user indifféremment des deux

termes

_qu’il

vaudrait mieux

_séparer

_pour

_désigner

deux notions

_légèrement

différentes. Par

_stabilité,

au sens

_{mathématique}

usuel du

_terme,

on entend

l’obligation,

pour l’écart horizontal 8n ou

vertical z,

de repasser

périodiquement,

ou

quasi-périodi-quement,

par

zéro ;

c’est ce _que nous avons

_appelé

plus

haut le caractère oscillatoire. Mais le fait

qu’elles

existent ne suffit _{pas, pour} les besoins de la

pratique,

à caractériser les oscillations : leur

ampli-tude a

_beaucoup

_{d’importance,}

et c’est la

caracté-risation

_{plus précise}

de cette

_{amplitude qu’on}

pourrait

désigner

par focalisation. Il va de soi que,

même avec cette

_{différenciation,}

stabilité et foca-lisation sont des

_grandeurs

_{qui évoluent,}

approxi-mativement,

dans le même sens : il est intuitif

qu’en général

le

_{rapprochement}

des zéros d’une solution _par variation du

_paramètre

k diminue

l’amplitude

des oscillations pour une même

ouver-ture

_initiale,

et à ce titre on voit _par

_conséquent

que k peut donner une idée de la

focalisation,

celle-ci

étant d’autant meilleure que k est

_plus

loin de sa

limite

_ki

ou

_k2.

Mais il se

_pourrait

fort bien

_qu’il

_y

ait des cas où cette concordance soit mise en

défaut,

et il serait en outre

_avantageux

de

posséder

une

_{caractéristique}

_précise

de

l’amplitude,

ce

_qui

justifierait

une étude

_plus

« fine » de la focalisation.

Pour l’instant nous nous contenterons de

_prendre

k

comme critère simultané de la stabilité

_{et de}

la

focalisation.

-

a-b)

Passons maintenant au calcul exact de

k2-Il est

_beaucoup

_plus

_{difficile que} le calcul

_précédent

mais semble néanmoins accessible. Tout au moins

le cas où le

_champ

a une

_composante

alternative

faible devant sa _moyenne

_peut-il

être traité assez

simplement.

Le

_principe

du calcul consiste à utiliser

la méthode de

_Floquet

sous sa forme

_{matricielle{5].}

Faisons dans

_{l’équation (V ter)}

le

_changement

de variable

_{indépendante}

ds = .E dw. On obtient :

En introduisant l’inconnue

auxiliaire

Z =

dzidw,

on met cette

_équation

sous forme d’un

_système

linéaire du

_premier

ordre

_{qui s’écrit,}

dans la nota-tion matricielle :

Désignons par P

la matrice

_explicitée

_ci-dessus,

par Q

la

_{matrice /}

P dw obtenue en

_intégrant

*Apo

chaque

élément. On

démontre

_{que, pourvu que la}

matrice P soit assez voisine d’une matrice

cons-tante

_{(ce qui}

est le cas des

_champs

à faible

compo-sante

_{alternative),}

on

_peut

_prendre

_pour solution :

(z,, Zo)

étant les conditions initiales. Le calcul

_{de Q}

sur une

période

W donne le résultat très

_simple

suivant :

eQ a alors deux racines

_{caractéristiques}

inverses ;

on sait _que dans ce cas la condition d’oscillation

est que ces racines

caractéristiques

soient

imagi-naires pures.

Or,

si on

désigne

_{par ix} et - ix

(sans

préjuger

pour l’instant la

réalité

de

1)

les racines de

_Q,

avec

on _{sait que :} .

et la condition pour que les racines de eQ soient

13 A

ou _{encore, pour} en revenir à nos notations

_précé·

dentes :

Il est facile de _{voir que, si} l’on était

_parti

direc-tement de

_{l’équation}

_{(V ter),}

la même méthode

aurait

_fourni,

au lieu de la valeur

_ci-dessus,

la

valeur

_(10).

Il

_n’y

a _pas à s’en étonner : dans

l’hypothèse

où nous nous sommes

_placés

de coef-ficients faiblement

_variables,

les dérivées de E

peuvent

être

_négligées

devant

_{11 p,}

de sorte _que les valeurs

₍₁₀₎

et

₍₁₃₎

sont

_{équivalentes}

à des infiniment

_petits

_près.

Pour des

_champs

nettement

_plus

_étoilés,

l’appro-ximation

_risque

de devenir

_{trop grossière.}

Or on

peut

avoir besoin d’une valeur assez exacte de

_k2,

dans le cas où les

_exigences

de la

_{compatibilité}

entre l’isochronisme et la stabilité

_obligent

à

prendre

k assez voisin de

k2.

Pour calculer

_ka,

en

dehors du calcul

_{numérique qui}

convient mal à une

discussion,

on

_peut

_proposer, soit de

_développer

la solution

_générale

en fonction du

_paramètre

k

_(par

une méthode de série ou la méthode de

_Picard),

soit

de

_développer

la solution sous forme d’un

_produit

d’exponentielles

matricielles de

_type

de

_eQ,

à

con-vergence en k

_{plus rapide}

[6].

Il n’est _{pas inutile ici} de faire une

_application

simple

des conditions de stabilité obtenues au cas

du

_champ

de révolution. On

_peut

alors

_prendre

pôur

(v, a)

les coordonnées

_polaires

_habituelles,

v étant le rayon vecteur

égal

au _rayon de

cour-bure _{p et a}

_{l’angle polaire.}

On a dS2 = dv2 ₊

da2 ;

les limites

₍₁₀₎

à

₍₁₃₎

et la valeur

₍₁₄₎

rigoureu-sement exacte dans ce cas sont

_égales

entre elles et

égales

à

_{1 Jp.}

_{D’autre part}

on tire de

_{l’-équation (G)}

La condition de stabilité s’écrit donc :

qui

est la condition bien connue. On voit en outre que les valeurs de

quelques

%

(n

%)

admises

habituellement pour

(pIH) (dH Idp)

équivalent

à

prendre

k/k2

= 1 - n

_%.

6.

_{Compatibilité}

des conditions d’isochronisme et de stabilité. - La condition d’isochronisme

imposée

à un

_cyclotron

se

_traduit,

avec nos

nota-tions,

par

l’équation l

= _{v X}

Cte,

_{ou encore}

par

8 v j v

=

elil,

8

désignant

la variation d’une

trajectoire d’équilibre

à une

trajectoire d’équilibre

voisine. L’incrément k a alors pour valeur :

et la condition de

_{compatibilité}

entre l’isochro-nisme et la stabilité s’écrit :

La condition de

_gauche

est satisfaite

_pour

dl/dv

>

_0,

ce

_qui

est

_toujours

réalisé.

_Quant

à la

condition de droite nous l’écrirons k =

k21P,

p étant

un facteur

_supérieur

à 1 d’au moins

_quelques

_%.

Il serait évidemment

_préférable

_{d’avoir p =}

_1,5

par.

exemple,

ce

qui

améliorerait considérablement

la focalisation

_verticale,

mais ce sera loin d’être

toujours

possible.

Considérons donc la condition :

Nous pouvons définir un facteur de

compati-bilité :

qui

pour une double raison doit être

_supérieur

à 1.

Nous pouvons d’autre

part

essayer de définir un

facteur de convergence forte. Pour

apprécier

la convergence forte d’un

champ magnétique,

il faut évidemment la

_rapporter

à la _convergence d’un

champ

de

_référence,

et il est

naturel

de choisir _pour

ce dernier le

_champ

de

_révolution,

comme étant le

plus

simple.

On

_peut

ainsi définir un facteur de

convergence forte comme le

_rapport

k2/k2

des

limites de stabilité de deux

_{trajectoires, k2}

se

rap-portant

à la

_{trajectoire à}

convergence forte

consi-dêrée, 4

à la

_trajectoire

circulaire

_ayant

même

rayon moyen que la première et

_appartenant

à un

réseau de

_trajectoires

circulaires.

Or,

comme nous venons de le voir à la fin

_{du §}

précédent,

les valeurs

₍₁₀₎

à

_{(13) de 4}

sont

_égales

entre elles et à _p étant

_constant,

donc encore

égales

à Le facteur de _convergence forte est

par

conséquent :

Il est

_égal

au facteur de

compatibilité.

Autrement

dit on _peut mesurer les deux notions de

compatibilité

et de _convergence

_forte

par le même

paramètre.

Poursuivons l’étude de ce

_paramètre

sur un

exemple

en faisant

_apparaître

les éléments

géo-métriques

du

_problème.

On _pourra

_{prendre v}

= 1

puisque

dl/dv

n’est pas

nul ;

pour fixer les idées

nous

prendrons

pour k. la, forme

(13),

très

conve-nable dans

_beaucoup

de cas et la

_{plus simple}

à

manipuler

pour

l’exemple. L’équation

de