Master 2 EADM 2012-2013 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
18/09/2012
DOSSIER An 6
Thème : Fonctions logarithme et exponentielle
L’exercice proposé au candidat
Soit k un réel. On considère la fonction F définie sur IR par : F (x) = ∫ . On note C la courbe représentative de F et l’on s’intéresse au nombre de points M0
d’abscisse x0 appartenant à C et en lesquels la tangente à C a un coefficient directeur égal à x0.
1) Montrer qu’un tel point M0 existe si et seulement si x0 > 0 et vérifie l’équation : (E) ln x = k x2.
2) a) En utilisant une calculatrice graphique et en faisant varier les valeurs de k, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) dans ]0 ; +[.
b) Si k > 0, trouver graphiquement une valeur approchée de k pour laquelle l’équation (E) a une unique solution dans ]0 ; +[.
3) Démontrer que, pour k < 0, l’équation (E) a une unique solution dans]0 ; +[.
Le travail à exposer devant le jury
1. Présentez, avec une calculatrice ou un logiciel, la ou les représentations graphiques permettant de faire les conjectures demandées dans la question 2.
2. Quelles sont les connaissances et les compétences mises en œuvre dans cet exercice ? 3. Rédigez un énoncé de la question 2 permettant à un élève de Terminale de résoudre
rigoureusement cette question.
4. Proposez une correction de la question 2.c) telle que vous l’exposeriez devant une classe de terminale scientifique.
5. Proposez deux autres exercices se rapportant au thème «Fonctions logarithme et exponentielle ».
