new.croissance

(1)

Croissance compar´ ee des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

1. Introduction et r´esultats pr´eliminaires Rappelons que :

• Les fonctions logarithmes sont les primitives sur R^∗+ des fonctions x → k

x, k ∈ R^∗, prenant la valeur 0 au point 1. Pour tout a > 0, a 6= 1, il existe une fonction logarithme et une seule prenant en a la valeur 1. On l’appelle la fonction logarithme de base a et on la note lna. La fonction logarithme népérien, notée ln, est obtenue pour a = e et on a lna(x) = ln x

ln a.

• Les fonctions exponentielles sont les fonctions r´eciproques des fonctions logarithmes.

La fonction r´eciproque de la fonction logarithme de base a est x → a^x = e^{x ln a}, la fonction exponentielle de base a.

• Les fonctions puissances sont toutes les fonctions de R^∗+dans R du type x → x^a= e^{a ln x} avec a ∈ R.

La proposition suivante donne les limites en +∞ des diff´erentes fonctions exponentielles, puissances et logarithmes. Elle donne aussi lim

x→+∞

ln x

x . Ce r´esultat sera essentiel dans la plupart des d´emonstrations de ce document.

Proposition 30.1. On a : (1) lim

x→+∞lna(x) = +∞ si a > 1 et lim

x→+∞lna(x) = −∞ si 0 < a < 1 ; (2) lim

x→+∞a^x = +∞ si a > 1 et lim

x→+∞a^x= 0 si 0 < a < 1 ; (3) lim

x→+∞x^a= +∞ si a > 0 et lim

x→+∞x^a= 0 si a < 0 ; (4) lim

x→+∞

ln x x = 0

Preuve 1). Les fonctions logarithmes étant toutes proportionnelles à la fonction logarithme népérien, il suffit de montrer le résultat pour cette dernière fonction.

Soit B > 0. La fonction logarithme népérien étant croissante, ln 2 > ln 1 = 0. Il existe donc un entier n tel que n ln 2 > B (propriété d’Archimède) et si A = 2ⁿ alors x > A implique ln x > ln A = n ln 2 > B d’où lim

x→+∞ln x = +∞.

2). Le résultat général se déduit facilement de celui concernant la fonction exponentielle de base e et de lim

x→−∞e^x = 0.

321

(2)

322 30. CROISSANCE COMPAR ´EE

Soit B > 0 et A = ln B. Si x > A alors e^x > eÂ = B (car la fonction réciproque d’une fonction croissante est croissante) d’où lim

x→+∞e^x= +∞.

Maintenant, soit ε > 0 et A = ln1

ε. Si x < −A alors 0 < e^x< e^−A = e^{− ln}

1 ε = ε, d’o`u lim

x→−∞e^x = 0.

3). Il suffit d’utiliser les résultats précédents et le théorème concernant la limite d’une fonction composée.

4). Soit ε > 0. Pour tout x > 1, 0 < ln x =

Z x 1

dt t <

Z x 1

√dt

t = 2(√

x − 1) < 2√ x d’o`u 0 < ln x

x < 2

√x < ε d`es que √

x > A = max(1,2

ε), c’est-`a-dire x > A².

Cette proposition montre que si l’on cherche la limite en +∞ d’une fonction qui est un produit d’une fonction exponentielle, d’une fonction logarithme et d’une fonction puissance alors on ne peut pas toujours apppliquer le théorème sur la limite d’un produit car on a parfois une forme indéterminée. L’un des buts de ce document est de montrer comment on trouve ce type de limite. En particulier, on déterminera lim

x→+∞

a^x

x^b et lim

x→+∞

x^b

ln x ce qui permet de comparer la croissance des fonctions logarithmes, exponentielles et puissances au voisinage de +∞ dans les cas o`u ces fonctions tendent vers l’infini.

2. Croissance compar´ee

Pout tout (α, β, γ) ∈ R³, on d´esigne par f_α,β,γ la fonction de ]1, +∞[ dans R d´efinie par f_α,β,γ(x) = e^αxx^β(ln x)^γ.

Th´eor`eme 30.1. (1) Si α 6= 0 alors lim

x→+∞f_α,β,γ(x) = lim

x→+∞e^αx, c’est-`a-dire +∞ si α > 0 et 0 si α < 0 ;

(2) Si α = 0 et β 6= 0 alors lim

x→+∞f_α,β,γ(x) = lim

x→+∞x^β, c’est-`a-dire +∞ si β > 0 et 0 si β < 0.

Preuve. On a pour x > 1,

f_α,β,γ(x) = eαx+β ln x+γ ln ln x= e^u(x), avec u(x) = αx + β ln x + γ ln ln x.

Si α 6= 0 alors u(x) = αx(1 + β α

ln x x + γ

α ln ln x

ln x .ln x

x ). D’après la proposition 30.1 et les théorèmes sur la limite d’un produit et la limite d’une fonction composée, lim

x→+∞

ln x

x = 0 et

x→+∞lim ln ln x

ln x .ln x

x = 0 d’o`u lim

x→+∞1 + β α

ln x x + γ

α ln ln x

ln x .ln x

x = 1. On a donc au voisinage de +∞, u(x) ∼ αx avec la limite de x → αx qui existe et vaut ±∞. Il en est donc de mˆeme pour

(3)

x → u(x). En appliquant encore une fois le théorème sur la limite d’une fonction composée,

x→+∞lim e^u(x)= lim

x→+∞e^αx.

Maintenant si α = 0 et β 6= 0 alors u(x) = β ln x(1 + γ β

ln ln x

ln x ) d’o`u, au voisinage de +∞, u(x) ∼ β ln x. Il en r´esulte lim

x→+∞e^u(x) = lim

x→+∞e^{β ln x}= lim

x→+∞x^β.

Remarques. 1). Dans la preuve précédente il ne faut surtout pas dire : si α 6= 0, alors, au voisinage de l’infini, u(x) ∼ αx donc eû(x) ∼ e^αx et lim

x→+∞e^u(x) = lim

x→+∞e^αx. En effet, si f (x) ∼ g(x) on n’a pas en g´en´eral e^{f (x)} ∼ e^g(x). Par exemple, au voisinage de l’infini, x ∼ x + 1 et e^x6∼ e^x+1 ( lim

x→+∞

e^x+1 e^x = e).

Une autre erreur serait de traduire la proposition en disant par exemple que si α 6= 0 alors fα,β,γ(x) ∼ e^αx car deux fonctions ayant la mˆeme limite l en un point x0 sont n´ecessairement

´equivalentes seulement si l ∈ R^∗, ce qui n’est pas le cas ici.

2). On traduit parfois la proposition précédente en disant : au voisinage de l’infini, les fonctions exponentielles l’emportent sur les fonctions puissances et les fonctions logarithmes, les fonctions puissances l’emportent sur les fonctions logarithmes. En pratique, si l’on a une expression qui est un produit d’une fonction exponentielle, d’une fonction puissance et d’une fonction logarithme alors pour chercher sa limite en +∞ on peut supprimer la fonction puissance et la fonction logarithme après s’être assuré que la fonction exponentielle figure effectivement, c’est-à-dire avec les notations précédentes que α 6= 0. Lorsque l’on a seulement le produit d’une fonction puissance et d’une fonction logarithme, on peut supprimer la fonction logarithme.

3). Le produit d’une fonction exponentielle, d’une fonction puissance et d’une fonction logarithme n’est pas toujours une forme indéterminée au voisinage de +∞. Par exemple, si α, β et γ sont tous positifs il est inutile d’utiliser le théorème 30.1 pour calculer lim

x→+∞fα,β,γ(x).

Corollaire 30.1. Soit α, β, γ trois nombres r´eels non nuls.

(1) La limite en +∞ de e^αx

x^β est +∞ si α > 0 et 0 si α < 0.

(2) La limite en +∞ de x^β

(ln x)^γ est +∞ si β > 0 et 0 si β < 0.

Ce corollaire n’est qu’un cas particulier de la proposition 30.1. Il montre cependant que lorsque une fonction exponentielle est croissante (α > 0) alors, au voisinage de +∞, elle croˆıt plus vite que toute fonction puissance croissante et que lorsque une fonction puissance est croissante (β > 0) alors elle croˆıt plus vite que toute fonction logarithme croissante. Pour ce dernier point, il suffit de remarquer que si β > 0 et a > 1 alors lim

x→+∞

x^β

ln_a(x) = ln a lim

x→+∞

x^β

ln x = +∞.

Proposition 30.2. Au voisinage de +∞, fα,β,γ ∈ o(f_α⁰_,β⁰_,γ⁰) si et seulement si

• α < α⁰ ou

• α = α⁰ et β < β⁰ ou

• α = α⁰, β = β⁰ et γ < γ⁰,

autrement dit, si et seulement si (α, β, γ) < (α⁰, β⁰, γ⁰) pour l’ordre l´exicographique sur R³.

(4)

Preuve. Pour x > 1, on a

fα,β,γ(x)

f_α⁰_,β⁰_,γ⁰(x) = f_α−α⁰_,β−β⁰_,γ−γ⁰(x).

En utilisant le th´eor`eme 30.1 on voit que

• si α < α⁰ alors lim

x→+∞

f_α,β,γ(x)

f_α⁰_,β⁰_,γ⁰(x) = lim

x→+∞e^(α−α⁰^)x = 0,

• si α = α⁰ et β < β⁰ alors lim

x→+∞

f_α,β,γ(x)

f_α⁰_,β⁰_,γ⁰(x) = lim

x→+∞x^β−β⁰ = 0,

• si α = α⁰, β = β⁰ et γ < γ⁰ alors lim

x→+∞

fα,β,γ(x)

f_α⁰_,β⁰_,γ⁰(x) = lim

x→+∞(ln x)^γ−γ⁰ = 0.

On a donc montré que (α, β, γ) < (α⁰, β⁰, γ⁰) implique f_α,β,γ ∈ o(f_α⁰_,β⁰_,γ⁰). On prouve la réciproque par contraposition. L’ordre léxicographique étant total, on suppose que (α, β, γ) ≥ (α⁰, β⁰, γ⁰). Si (α, β, γ) > (α⁰, β⁰, γ⁰) alors f_α⁰_,β⁰_,γ⁰ ∈ o(f_α,β,γ) et si (α, β, γ) = (α⁰, β⁰, γ⁰) alors f_α⁰_,β⁰_,γ⁰ = f_α,β,γ Dans les deux cas, f_α,β,γ n’est pas négligeable devant f_α⁰_,β⁰_,γ⁰.

Corollaire 30.2. Au voisinage de +∞ :

(1) x^β ∈ o(e^αx) si et seulement si α > 0 ou α = 0 et β < 0.

(2) (ln x)^γ∈ o(x^β) si et seulement si β > 0 ou β = 0 et γ < 0.

(3) (ln x)^γ∈ o(e^αx) si et seulement si α > 0 ou α = 0 et γ < 0.

Preuve. Il suffit de traduire (0, β, 0) < (α, 0, 0), (0, 0, γ) < (0, β, 0) et (0, 0, γ) < (α, 0, 0) pour l’ordre l´exicographique.

Corollaire 30.3. L’ensemble {fα,β,γ | (α, β, , γ) ∈ R³} est une partie libre dans l’espace vectoriel des fonctions continues sur ]1, +∞[.

Preuve. Voir le document 29 et en particulier le lemme 29.1.

En particulier, toutes les fonctions x → e^αx, α ∈ R, sont linéairement indépendantes ce qui est bien utile dans la résolution des équations différentielles linéaires.

3. Applications

3.1. Des fonctions de plus en plus croissantes. En utilisant la notation de Hardy, on a au voisinage de +∞ et pour tout (α, β, γ) ∈ (R^∗+)³,

(ln x)^γ x^β e^αx.

Il est facile de prolonger à droite et à gauche ces ”inégalités” en introduisant des fonctions du type x → (ln ... ln x)^γ et x → eêêαx. En supposant tous les exposants strictement positifs on a par exemple :

(ln ln ln x)^γ³ (ln ln x)^γ² (ln x)^γ¹ x^β e^α¹^x eê^α2x eêêα3x. Pour la preuve et pour généraliser cet exemple, il suffit d’utiliser le lemme suivant.

Lemme 30.1. Soit α1, α2, γ1, γ2 des nombres r´eels strictement positifs.

(1) On a

x→+∞lim e^α¹^x

e^e^α2x = 0 et lim

x→+∞

(ln ln x)^γ² (ln x)^γ¹ = 0;

autrement dit, e^α¹^x∈ o(e^e^α2x) et (ln ln x)^γ² ∈ o((ln x)^γ¹) au voisinage de +∞.

(5)

(2) Si α1 < α2 et γ1< γ2 alors

e^e^α1x ∈ o(e^e^α2x) et (ln ln x)^γ² ∈ o((ln x)^γ¹).

Preuve. Il suffit d’´ecrire

e^α¹^x e^e^α2x = e

α1x(1− e^α²^x α1x)

et d’utiliser le théoréme 30.1 pour avoir la première limite. Pour les autres limites, on utilise une méthode analogue.

On peut ainsi d´efinir des fonctions qui sont, au voisinage de l’infini, de plus en plus ou de moins en moins croissantes tout en tendant vers +∞.

La propositon 2 permet aussi d’obtenir des in´egalit´es au voisinage de +∞. Par exemple x¹⁰⁰⁰ ∈ o(e^0,001x) et donc il existe x₀ tel que, pour x > x₀,

x¹⁰⁰⁰ < e^0,001x.

3.2. Des calculs de limites. Le théorème 30.1 est très utile pour calculer la limite en +∞ de fonctions faisant intervenir des exponentielles, des puissances et des logarithmes et en particulier pour étudier leurs branches infinies. Tous les livres contiennent de nombreux exemples.

Nous allons donner deux exemples d’utilisation un peu moins immédiate du théorème 30.1.

Exemple 1. Montrer que x → Z x

2

e^−tt^β(ln t)^γdt a une limite finie quand x tend vers +∞.

Le th´eor`eme 30.1 entraine que lim

x→+∞e⁻^x²x^β(ln x)^γ = lim

x→+∞e⁻^x² = 0. Il existe donc A ∈ ]2, +∞[ tel que x > A implique e⁻^x²x^β(ln x)^γ < 1. Pour x > A,

Z x 2

e^−tt^β(ln t)^γdt = Z A

2

e^−tt^β(ln t)^γdt + Z x

A

e^−tt^β(ln t)^γdt

≤ Z A

2

e^−tt^β(ln t)^γdt + Z x

A

e⁻^t²dt

= Z A

2

e^−tt^β(ln t)^γdt + 2[e⁻^A² − e⁻^x²]

≤ Z A

2

e^−tt^β(ln t)^γdt + 2e⁻^A². La fonction croissante x →

Z x 2

e^−tt^β(ln t)^γdt, qui est born´ee sur ]2, +∞[, poss´ede une limite finie en +∞ valant sup_x∈]2,+∞[

Z x 2

e^−tt^β(ln t)^γdt.

Remarques. 1)On a le mˆeme r´esultat avec toute fonction f_α,β,γ, α < 0.

2).Cette preuve ne fait pas appel aux résultats classiques sur la convergence des intégrales im- propres. Si on connait ces résultats alors il suffit de dire qu’au voisinage de l’infini,e⁻^x²x^β(ln x)^γ∈ o(x⁻²) d’où, pour x assez grand, 0 ≤ e⁻^x²x^β(ln x)^γ ≤ x⁻²et la convergence de

Z +∞

2

e^−xx^β(ln x)^γdt.

(6)

3). Il ne faut pas consid´erer Z x

1

e^−tt^β(ln t)^γdt car l’int´egrale ne converge pas toujours en 1 (Penser `a

Z +∞

1

e^−x ln xdx.)

4). La fonction gamma est d´efinie pour tout x > 0 par Γ(x) =

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt.

La convergence de l’intégrale en +∞ est un cas particulier de l’exemple ci-dessus et la convergence en 0, pour 0 < x < 1, est facile à établir à l’aide du critère de Riemann.

Exemple 2. Etude de le dérivabilité en 0 de la fonction f : R → R définie par f (0) = 0 et, pour x 6= 0, par f (x) = e⁻^x2¹ . Le théorème 30.1 est essentiel dans cette étude, voir le document 32.

3.3. Etude au voisinage de 0 et de −∞.

3.3.1. Au voisinage de −∞. On consid`ere la fonction g_α,β,γ d´efinie pour |x| > 1 par gα,β,γ(x) = e^αx|x|^β(ln |x|)^γ.

On a, pour x < −1, gα,β,γ(x) = e−α|x|+β ln |x|+γ ln ln |x| = f−α,β,γ(|x|). Si α 6= 0 on a

x→−∞lim gα,β,γ(x) = lim

x→−∞f−α,β,γ(|x|) = lim

x→+∞f−α,β,γ(x) = lim

x→+∞e^−αx = lim

x→−∞e^αx. On fait un raisonnement analogue si α = 0, β 6= 0 et finalement,

• lim

x→−∞e^αx|x|^βln |x| = lim

x→−∞e^αx si α 6= 0

• lim

x→−∞e^αx|x|^β(ln |x|)^γ= lim

x→−∞|x|^β si α = 0 et β 6= 0.

On peut aussi ´etendre le corollaire 30.1 et obtenir :

Corollaire 30.4. Soit α, β, γ trois nombres r´eels non nuls.

(1) La limite en −∞ de e^αx

|x|^β est 0 si α > 0 et +∞ si α < 0.

(2) La limite en −∞ de |x|^β

(ln |x|)^γ est 0 si β > 0 et +∞ si β < 0.

3.3.2. Etude au voisinage de 0. Consid´erons maintenant pour x 6= 0, |x| 6= 1, hβ,γ : x → |x|^β| ln |x||^γ.

Remarquons que si on veut ´etudier ce type de fonction au voisinage de 0, il est inutile de faire figurer un facteur e^αx car lim

x→0e^αx = 1. On supposera aussi β 6= 0 car si ce n’est pas le cas, la relation | ln |x|| = | ln 1

|x|| et lim

x→+∞ln x = +∞ r´esout facilement le probl`eme.

Pour x 6= 0, |x| 6= 1, on a h_β,γ(x) = f_0,−β,γ( 1

|x|) d’o`u

x→0limh_β,γ(x) = lim

x→0f_0,−β,γ( 1

|x|) = lim

x→+∞f_0,−β,γ(x) = lim

x→+∞x^−β = lim

x→0|x|^β. On peut donc ´enoncer.

(7)

Corollaire 30.5. Pour tout (β, γ) ∈ (R^∗)², lim

x→0|x|^β| ln |x||^γ = lim

x→0|x|^β c’est-`a-dire 0 si β > 0 et +∞ si β < 0. En particulier, lim

x→0|x| ln |x| = 0 et lim

x→0⁺x ln x = 0.

Remarques. 1). On traduit souvent ce r´esultat en disant qu’au voisinage de 0 les fonctions puissances l’emportent sur les fonctions logarithmes.

2). Dès le début du document, on peut introduire la fonction x → e^αx|x|^β| ln |x||^γ définie sur R − {0, −1, 1} et étudier ses limites en +∞, −∞ et 0.

(8)