Chapitre1 Les Groupes-Algèbre6

Les groupes

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a :

∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?, c’est `a dire si :}

∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :}

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a :

∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?, c’est `a dire si :}

∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :}

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a :

∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?, c’est `a dire si :}

∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :}

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?, c’est `a dire si :}

∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :}

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?, c’est `a dire si :}

∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :}

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?,c’est `a dire si :} ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :}

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?, c’est `a dire si :} ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :}

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?, c’est `a dire si :} ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :} ∀x ∈ G : ∃x0 ∈ G tq : x ? x0= x0? x = e

D´efinition

Soit (G , ∗) un ensemble muni d’une loi de composition interne.On dit que (G , ?) est un groupe si:

1 la loi ? est associative,c’est `a dire si on a : ∀x, y , z ∈ G : (x ? y ) ? z = x ? (y ? z)

2 _{G admet un ´el´ement neutre e pour la loi ?, c’est `a dire si :} ∃e ∈ G tq : ∀x ∈ G : x ? e = e ? x = x

3 _{tout ´el´ement de G admet un sym´etrique pour la loi ?, c’est `a dire si :} ∀x ∈ G : ∃x0 ∈ G tq : x ? x0= x0? x = e

Terminologie

Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou ab´elien.

Si la loi ? est not´ee multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.

Si la loi ? est not´ee additivement on dit que le groupe est additif. Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appel´e l’ordre de G et on le not´e |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.

Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou ab´elien.

Si la loi ? est not´ee multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.

Si la loi ? est not´ee additivement on dit que le groupe est additif. Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appel´e l’ordre de G et on le not´e |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.

Terminologie

Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou ab´elien.

Si la loi ? est not´ee multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.

Si la loi ? est not´ee additivement on dit que le groupe est additif. Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appel´e l’ordre de G et on le not´e |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.

Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou ab´elien.

Si la loi ? est not´ee multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.

Si la loi ? est not´ee additivement on dit que le groupe est additif. Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre finiet dans ce le cardinale de G est appel´e l’ordre de G et on le not´e |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.

Terminologie

Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou ab´elien.

Si la loi ? est not´ee multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.

Si la loi ? est not´ee additivement on dit que le groupe est additif. Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appel´e l’ordre de G et on le not´e |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.

Si la loi ? est commutative on dit que le groupe est commutatif ou ab´elien.

Si la loi ? est not´ee multiplicativement on dit que le groupe est multiplicatif.

Si la loi ? est not´ee additivement on dit que le groupe est additif. Si G est fini on dit que le groupe est d’ordre fini et dans ce le cardinale de G est appel´e l’ordre de G et on le not´e |G |. Si G est infini on dit que le groupe est d’ordre infini.

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .

2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .

5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes .

2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .

5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .

5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .

5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·)sont des groupes ab´eliens .

4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .

5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens .

4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .

5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .

5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes .

5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes . 5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes . 5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alorsG × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes . 5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est un groupe.

Exemple

1 (N, +) , (N, ·) , (Z, ·) , (Q, ·) , (R, ·) , (C, ·)ne sont pas des groupes . 2 (Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) sont des groupes ab´eliens .

3 (Q∗, ·) , (R∗, ·) , (C∗, ·) , (Q∗+, ·) , (R∗+, ·) sont des groupes ab´eliens . 4 _{Soit E un ensemble quelconque . (E}E_{, ◦), (P (E ) , ∪) et}

(P (E ) , ∩)ne sont pas des groupes . 5 (P (E ) , ∆) est un groupe ab´elien .

6 _{Si G et H sont deux groupes alors G × H est un groupe .}

7 _{Si G est un groupe et si E est un ensemble quelconque alors : G}E _est un groupe.

Propri´

et´

es

Proposition Soit G un groupe.

1 _{L´el´ement neutre de G est unique, aussi le sym´etrique de chaque}

´

el´ement de G est unique.

2 _{Soit G un groupe. Tous les ´el´ements de G sont r´eguliers pour la loi}

de G .

3 Si G est not´e multiplicativement, alors:

∀x, y ∈ G (x .y )−1_{= y}−1_x−1 ∀x ∈ G ∀n, m ∈ Z : xn_xm_{= x}n+m ∀x ∈ G ∀n, m ∈ Z : (xn₎m_{= x}nm ∀x, y ∈ G ∀n, m ∈ Z : (xy)n_{= x}n_yn

Proposition Soit G un groupe.

1 _{L´el´ement neutre de G est unique, aussi le sym´etrique de chaque} ´

el´ement de G est unique.

2 _{Soit G un groupe. Tous les ´el´ements de G sont r´eguliers pour la loi}

de G .

3 Si G est not´e multiplicativement, alors:

∀x, y ∈ G (x .y )−1_{= y}−1_x−1 ∀x ∈ G ∀n, m ∈ Z : xn_xm_{= x}n+m ∀x ∈ G ∀n, m ∈ Z : (xn₎m_{= x}nm

Propri´

et´

es

Proposition Soit G un groupe.

1 _{L´el´ement neutre de G est unique, aussi le sym´etrique de chaque} ´

el´ement de G est unique.

2 _{Soit G un groupe. Tous les ´el´ements de G sont r´eguliers pour la loi} de G .

3 Si G est not´e multiplicativement, alors:

∀x, y ∈ G (x .y )−1_{= y}−1_x−1 ∀x ∈ G ∀n, m ∈ Z : xn_xm_{= x}n+m ∀x ∈ G ∀n, m ∈ Z : (xn₎m_{= x}nm ∀x, y ∈ G ∀n, m ∈ Z : (xy)n_{= x}n_yn

Proposition Soit G un groupe.

1 _{L´el´ement neutre de G est unique, aussi le sym´etrique de chaque} ´

el´ement de G est unique.

2 _{Soit G un groupe. Tous les ´el´ements de G sont r´eguliers pour la loi} de G .

3 Si G est not´e multiplicativement, alors:

∀x, y ∈ G (x .y )−1_{= y}−1_x−1

∀x ∈ G ∀n, m ∈ Z : xn_xm_{= x}n+m

Sous-groupes

D´efinition

Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si:

1 e ∈ H.

2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H. 3 ∀x ∈ H, x−1 ∈ H.

D´efinition

Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si:

1 e ∈ H.

2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H.

Sous-groupes

D´efinition

Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G. On dit que H est un sous-groupe de G si:

1 e ∈ H.

2 ∀x, y ∈ H, x ∗ y ∈ H. 3 ∀x ∈ H, x−1 ∈ H.

Proposition

Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G.H est un sous-groupe de G si et seulement si:

1 H 6= ∅.

Proposition

Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G.H est un sous-groupe de G si et seulement si:

1 H 6= ∅.

Proposition

Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G.H est un sous-groupe de G si et seulement si:

1 H 6= ∅.

Proposition

Soit (G , ∗) un groupe et H une partie de G.H est un sous-groupe de G si et seulement si:

1 H 6= ∅.

Exemple

1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G.

2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).

3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R? et C?. 4 _{U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C}?_{, .).}

5 _{Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x .y = y .x }, alors C est}

Exemple

1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G. 2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).

3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R? et C?. 4 _{U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C}?_{, .).}

5 _{Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x .y = y .x }, alors C est}

Exemple

1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G. 2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).

3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R? et C?.

4 _{U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C}?_{, .).}

5 _{Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x .y = y .x }, alors C est}

Exemple

1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G. 2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).

3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R? et C?. 4 _{U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C}?_{, .).}

5 _{Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x .y = y .x }, alors C est}

Exemple

1 G et {e} sont des sous-groupes triviaux de G. 2 (Z; +)est un sous-groupe de (Q, +).

3 {1, −1} est un sous-groupe des groupes multiplicatifs Q?, R? et C?. 4 _{U = {z ∈ C/|z| = 1} est un sous-groupe de (C}?_{, .).}

5 _{Soit (G , .) un groupe et C = {x ∈ G /∀y ∈ G , x .y = y .x }, alors C est} un sous-groupe de G.

Proposition

Soit (G , ∗) un groupe.

1 Soient H et K deux sous-groupes de G alors H ∩ K est un sous-groupe

de G.

2 _{Soient H et K deux sous-groupes de G alors H ∪ K est un sous-groupe}

de G si et seulement si H ⊂ K ou bien K ⊂ H.

Contre-exemple

H = {(x , 0)/x ∈ R} et K = {(0, y )/y ∈ R} sont des sous-groupes de (R, +). Alors que H ∪ K n’est pas un sous-groupe de (R, +).

Proposition

Soit (G , ∗) un groupe.

1 Soient H et K deux sous-groupes de G alors H ∩ K est un sous-groupe de G.

2 _{Soient H et K deux sous-groupes de G alors H ∪ K est un sous-groupe}

de G si et seulement si H ⊂ K ou bien K ⊂ H.

Contre-exemple

H = {(x , 0)/x ∈ R} et K = {(0, y )/y ∈ R} sont des sous-groupes de (R, +). Alors que H ∪ K n’est pas un sous-groupe de (R, +).

Proposition

Soit (G , ∗) un groupe.

1 Soient H et K deux sous-groupes de G alors H ∩ K est un sous-groupe de G.

2 _{Soient H et K deux sous-groupes de G alors H ∪ K est un sous-groupe} de G si et seulement si H ⊂ K ou bien K ⊂ H.

Contre-exemple

H = {(x , 0)/x ∈ R} et K = {(0, y )/y ∈ R} sont des sous-groupes de (R, +). Alors que H ∪ K n’est pas un sous-groupe de (R, +).

Proposition

Soit (G , ∗) un groupe.

1 Soient H et K deux sous-groupes de G alors H ∩ K est un sous-groupe de G.

2 _{Soient H et K deux sous-groupes de G alors H ∪ K est un sous-groupe} de G si et seulement si H ⊂ K ou bien K ⊂ H.

Contre-exemple

H = {(x , 0)/x ∈ R} et K = {(0, y )/y ∈ R} sont des sous-groupes de (R, +). Alors que H ∪ K n’est pas un sous-groupe de (R, +).

Proposition

Si G est multiplicatif alors:

∀x ∈ G , {ak_{/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.}

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ak_{/k ∈ Z} ⊂ H}

Proposition

Si G est additif alors:

∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ka/k ∈ Z} ⊂ H

Proposition

Si G est multiplicatif alors:

∀x ∈ G , {ak_{/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.}

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ak_{/k ∈ Z} ⊂ H}

Proposition

Si G est additif alors:

∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.

Proposition

Si G est multiplicatif alors:

∀x ∈ G , {ak_{/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.}

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ak_{/k ∈ Z} ⊂ H}

Proposition

Si G est additif alors:

∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ka/k ∈ Z} ⊂ H

Proposition

Si G est multiplicatif alors:

∀x ∈ G , {ak_{/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.}

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ak_{/k ∈ Z} ⊂ H}

Proposition

Si G est additif alors:

∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.

Proposition

Si G est multiplicatif alors:

∀x ∈ G , {ak_{/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.}

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ak_{/k ∈ Z} ⊂ H}

Proposition

Si G est additif alors:

∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ka/k ∈ Z} ⊂ H

Proposition

Si G est multiplicatif alors:

∀x ∈ G , {ak_{/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.}

Si H est un sous-groupe de G alors pour tout ´el´ement a ∈ H: {ak_{/k ∈ Z} ⊂ H}

Proposition

Si G est additif alors:

∀x ∈ G , {ka/k ∈ Z} est un sous-groupe de G.

Exercice

Soient G un groupe not´e multiplicativement,H et K deux sous-groupes de G. Montrer que HK est un sous-groupe de G si, et seulement si,

Exercice

Soient G un groupe not´e multiplicativement,H et K deux sous-groupes de G. Montrer que HK est un sous-groupe de G si, et seulement si,

Exercice

Soient G un groupe not´e multiplicativement,H et K deux sous-groupes de G. Montrer que HK est un sous-groupe de G si, et seulement si,

Exercice

Soient G un groupe not´e multiplicativement,H et K deux sous-groupes de G. Montrer que HK est un sous-groupe de G si, et seulement si,

Sous-groupes de Z

Notation

Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}.

Remarque

1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.

2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors: ∀n ∈ H, nZ ⊂ H. 3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ ⊂ mZ ⇔ m|n. 4 _{Si n est un entier relatif alors: nZ = |n|Z.}

5 _{Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ = mZ ⇔ |m| = |n|.}

Proposition

Notation

Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}. Remarque

1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.

2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors: ∀n ∈ H, nZ ⊂ H. 3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ ⊂ mZ ⇔ m|n. 4 _{Si n est un entier relatif alors: nZ = |n|Z.}

Sous-groupes de Z

Notation

Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}. Remarque

1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.

2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors: ∀n ∈ H, nZ ⊂ H.

3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ ⊂ mZ ⇔ m|n. 4 _{Si n est un entier relatif alors: nZ = |n|Z.}

5 _{Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ = mZ ⇔ |m| = |n|.}

Proposition

Notation

Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}. Remarque

1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.

2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors: ∀n ∈ H, nZ ⊂ H. 3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ ⊂ mZ ⇔ m|n.

4 _{Si n est un entier relatif alors: nZ = |n|Z.}

Sous-groupes de Z

Notation

Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}. Remarque

1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.

2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors: ∀n ∈ H, nZ ⊂ H. 3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ ⊂ mZ ⇔ m|n. 4 _{Si n est un entier relatif alors: nZ = |n|Z.}

5 _{Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ = mZ ⇔ |m| = |n|.}

Proposition

Notation

Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}. Remarque

1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.

2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors: ∀n ∈ H, nZ ⊂ H. 3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ ⊂ mZ ⇔ m|n. 4 _{Si n est un entier relatif alors: nZ = |n|Z.}

Sous-groupes de Z

Notation

Pour tout entier relatif n on note par nZ, l’ensemble nZ = {nk/k ∈ Z}. Remarque

1 ∀n ∈ Z : nZ est un sous-groupe de Z.

2 Si H est un sous-groupe de (Z, +) alors: ∀n ∈ H, nZ ⊂ H. 3 Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ ⊂ mZ ⇔ m|n. 4 _{Si n est un entier relatif alors: nZ = |n|Z.}

5 _{Si n et m sont deux entiers relatifs alors: nZ = mZ ⇔ |m| = |n|.} Proposition

D´efinition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes.

On appelle morphisme de groupes, ou homomorphisme de groupes de G dans G0 toute application f : G //G0 tel que:

D´efinition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme.

2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.

D´efinition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme. 2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.

D´efinition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 Si G = G0 et ? = |, on parle d’endomorphisme. 2 Si f est bijective, on parle d’isomorphisme.

Exemple

1 _{L’application z} //| z | est un homomorphisme de groupes de (C?, .) dans (R?, .)

2 Si G est ab´elien, alors les applications x //x2 et x //x−1 sont

des endomorphismes de G.

3 L’application det : GL_n(R) //_R? qui `a toute matrice carr´ee

Exemple

1 _{L’application z} //| z | est un homomorphisme de groupes de (C?, .) dans (R?, .)

2 Si G est ab´elien, alors les applications x //x2 et x //x−1 sont des endomorphismes de G.

3 L’application det : GL_n(R) //_R? qui `a toute matrice carr´ee

Exemple

1 _{L’application z} //| z | est un homomorphisme de groupes de (C?, .) dans (R?, .)

2 Si G est ab´elien, alors les applications x //x2 et x //x−1 sont des endomorphismes de G.

3 L’application det : GL_n(R) //_R? qui `a toute matrice carr´ee inversible associe son d´eterminant est un morphisme de groupes.

Exemple

1 _{Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout ´el´ement a ∈ G} l’application suivante :

f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ak

est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .

2 _{Si G est un groupe additif alors pour tout ´el´ement a ∈ G l’application}

suivante : f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ka

Exemple

1 _{Si G est un groupe multiplicatif alors pour tout ´el´ement a ∈ G} l’application suivante :

f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ak

est un homomorphisme de (Z, +) vers (G , ·) .

2 _{Si G est un groupe additif alors pour tout ´el´ement a ∈ G l’application} suivante :

f : Z −→ G k 7−→ f (k) = ka

Automorphismes int`

erieures

Exercice

1 _{Soient G un groupe et g ∈ G . Montrer que} fg : G //G , x //gxg−1

est un morphisme de groupes.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes. Si e est l’´el´ement neutre de G et si  est l’´el´ement neutre de G0 alors:

1 f (e) = .

2 ∀x ∈ G ; f (x−1) = (f (x ))−1.

3 _{Soient f : G} //_G0 _{et g : G}0 //_G00 _{deux morphismes de groupes,}

alors g ◦ f : G //G00 est un morphisme de groupes.

4 _{Soit f : G} //_G0 _{un isomorphisme de groupes alors f}−1 _{est aussi un}

isomorphisme de groupes. Dans ce cas on dit que G et G0 sont isomorphes.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes. Si e est l’´el´ement neutre de G et si  est l’´el´ement neutre de G0 alors:

1 f (e) = .

2 ∀x ∈ G ; f (x−1) = (f (x ))−1.

3 _{Soient f : G} //_G0 _{et g : G}0 //_G00 _{deux morphismes de groupes,}

alors g ◦ f : G //G00 est un morphisme de groupes.

4 _{Soit f : G} //_G0 _{un isomorphisme de groupes alors f}−1 _{est aussi un}

isomorphisme de groupes. Dans ce cas on dit que G et G0 sont isomorphes.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes. Si e est l’´el´ement neutre de G et si  est l’´el´ement neutre de G0 alors:

1 f (e) = .

2 ∀x ∈ G ; f (x−1) = (f (x ))−1.

3 _{Soient f : G} //_G0 _{et g : G}0 //_G00 _{deux morphismes de groupes,} alors g ◦ f : G //G00 est un morphisme de groupes.

4 _{Soit f : G} //_G0 _{un isomorphisme de groupes alors f}−1 _{est aussi un}

isomorphisme de groupes. Dans ce cas on dit que G et G0 sont isomorphes.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes. Si e est l’´el´ement neutre de G et si  est l’´el´ement neutre de G0 alors:

1 f (e) = .

2 ∀x ∈ G ; f (x−1) = (f (x ))−1.

3 _{Soient f : G} //_G0 _{et g : G}0 //_G00 _{deux morphismes de groupes,} alors g ◦ f : G //G00 est un morphisme de groupes.

4 _{Soit f : G} //_G0 _{un isomorphisme de groupes alors f}−1 _{est aussi un} isomorphisme de groupes. Dans ce cas on dit que G et G0 sont isomorphes.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un homomorphisme de groupes.

1 _{Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G}0_. 2 Si K est un sous-groupe de G0, alors f−1(K ) est un sous-groupe de G.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un homomorphisme de groupes.

1 _{Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G}0_.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un homomorphisme de groupes.

1 _{Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G}0_. 2 Si K est un sous-groupe de G0, alors f−1(K ) est un sous-groupe de G.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un homomorphisme de groupes.

1 _{Si H est un sous-groupe de G, alors f (H) est un sous-groupe de G}0_. 2 Si K est un sous-groupe de G0, alors f−1(K ) est un sous-groupe de G.

D´efinition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 L’ensemble {x ∈ G /f (x ) = ε} est appel´e le noyau de f ou le ker de f

et not´e ker f .

Noyau et Image d’un homomorphisme

D´efinition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 L’ensemble {x ∈ G /f (x ) = ε} est appel´e le noyau de f ou le ker de f et not´e ker f .

D´efinition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 L’ensemble {x ∈ G /f (x ) = ε} est appel´e le noyau de f ou le ker de f et not´e ker f .

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un homomorphisme de groupes.

1 Kerf est un sous-groupe de G. 2 _{Imf est un sous-groupe de G}0_.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un homomorphisme de groupes.

1 Kerf est un sous-groupe de G.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un homomorphisme de groupes.

1 Kerf est un sous-groupe de G. 2 _{Imf est un sous-groupe de G}0_.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 f est injective si seulement si ker f = {e} 2 _{f est surjective si et seulement si Imf = G}0_.

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 f est injective si seulement si ker f = {e}

Proposition

Soient (G , ∗) et (G0, |) deux groupes et f : G //G0 un morphisme de groupes.

1 f est injective si seulement si ker f = {e} 2 _{f est surjective si et seulement si Imf = G}0_.

Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient

Proposition

Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On d´efinit une relation binaire Rd sur G par:

∀x, y ∈ G : xR_dy ⇔ x ∗ y−1∈ H R_d est une relation d’´equivalence sur G.

Proposition

Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On d´efinit une relation binaire Rd sur G par:

∀x, y ∈ G : xR_dy ⇔ x ∗ y−1∈ H R_d est une relation d’´equivalence sur G.

Classes modulo un sous-groupe-Groupe quotient

Proposition

Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On d´efinit une relation binaire Rd sur G par:

∀x, y ∈ G : xR_dy ⇔ x ∗ y−1∈ H R_d est une relation d’´equivalence sur G.

Proposition

Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On d´efinit une relation binaire Rg sur G par:

∀x, y ∈ G : xRgy ⇔ x−1∗ y ∈ H

Rg est une relation d’´equivalence sur G.

Proposition

Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On d´efinit une relation binaire Rg sur G par:

∀x, y ∈ G : xRgy ⇔ x−1∗ y ∈ H

Rg est une relation d’´equivalence sur G.

Proposition

Soient (G , ∗) un groupe et H un sous-groupe de G. On d´efinit une relation binaire Rg sur G par:

∀x, y ∈ G : xRgy ⇔ x−1∗ y ∈ H

Rg est une relation d’´equivalence sur G.

Remarque

1 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R

d par x .

On a: x = H ∗ x est appel´e la classe `a droite modulo H.

2 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R_g par

e x . On a: _ex = x ∗ H est appel´e la classe `a gauche modulo H.

Remarque

1 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R

d par x .

On a: x = H ∗ x est appel´e la classe `a droite modulo H.

2 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R_g par

e x . On a: _ex = x ∗ H est appel´e la classe `a gauche modulo H.

Remarque

1 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R

d par x .

On a: x = H ∗ x est appel´e la classe `a droite modulo H. 2 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R_g par

e x . On a: _ex = x ∗ H est appel´e la classe `a gauche modulo H.

Remarque

1 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R

d par x .

On a: x = H ∗ x est appel´e la classe `a droite modulo H. 2 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R_g par

e x . On a: _ex = x ∗ H est appel´e la classe `a gauche modulo H.

Remarque

1 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R

d par x .

On a: x = H ∗ x est appel´e la classe `a droite modulo H. 2 ∀x ∈ G on note la classe de x modulo la relation R_g par

e x . On a: _ex = x ∗ H est appel´e la classe `a gauche modulo H.

Propri´et´es

1 ∀a ∈ H, a = H.

2 (G /H)_g est la partition de G associ´ee `a la relation R<sub>g</sub>. 3 Les ´el´ements de (G /H)<sub>g</sub> sont ´equipotents `a H.

Propri´et´es

1 ∀a ∈ H, a = H.

2 (G /H)_g est la partition de G associ´ee `a la relation R_g.

3 Les ´el´ements de (G /H)_g sont ´equipotents `a H.

Propri´et´es

1 ∀a ∈ H, a = H.

2 (G /H)_g est la partition de G associ´ee `a la relation R<sub>g</sub>. 3 Les ´el´ements de (G /H)<sub>g</sub> sont ´equipotents `a H.

Propri´et´es

1 ∀a ∈ H, a = H.

2 (G /H)_g est la partition de G associ´ee `a la relation R<sub>g</sub>. 3 Les ´el´ements de (G /H)<sub>g</sub> sont ´equipotents `a H.

D´efinition

1 Si (G /H)_g est fini, on dit que H est d’indice fini dans G. 2 _{Le cardinal de (G /H)g est appel´e l’indice de H dans G et not´e}

[G : H].

Exemple

Soit n un entier naturel. On d´efinit la relation de congruence modulo n par: ∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ

1) Si n = 0

Z/0Z = Z/{0} ={{k}/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0

0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux `a deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

Exemple

Soit n un entier naturel. On d´efinit la relation de congruence modulo n par: ∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ

1) Si n = 0

Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0

0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux `a deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

Exemple

Soit n un entier naturel. On d´efinit la relation de congruence modulo n par: ∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ

1) Si n = 0

Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0

0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux `a deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

Exemple

Soit n un entier naturel. On d´efinit la relation de congruence modulo n par: ∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ

1) Si n = 0

Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0

0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux `a deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

Exemple

Soit n un entier naturel. On d´efinit la relation de congruence modulo n par: ∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ

1) Si n = 0

Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0

0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux `a deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

Exemple

Soit n un entier naturel. On d´efinit la relation de congruence modulo n par: ∀a, b ∈ Z : a ≡ b (modulo n) ⇔ a − b ∈ nZ

1) Si n = 0

Z/0Z = Z/{0} = {{k }/k ∈ Z} 0Z = {0} est d’indice infini dans Z 2) Si n 6= 0

0, 1, ..., n − 1 sont distincts deux `a deux. Z/nZ = {0, 1, ..., n − 1}.

Propri´et´es

1 Si H = {e}, {e} est d’indice fini ssi G est fini et on a [G : {e}] = |G |.

2 Si H est d’ordre fini alors tous les ´el´ements de (G /H)_g sont finis et on

a:

Propri´et´es

1 Si H = {e}, {e} est d’indice fini ssi G est fini et on a [G : {e}] = |G |. 2 Si H est d’ordre fini alors tous les ´el´ements de (G /H)_g sont finis et on

a:

Th´eor`eme

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors:

G est d’ordre fini si et seulement si H est d’ordre fini et H est d’indice fini dans G. et on a:

|G | = [G : H]|H| Cette formule est appel´ee formule de Lagrange.

Corollaire

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G;

Si G est d’ordre fini alors l’ordre de H et l’indice de H dans G sont des diviseurs de |G |.

Th´eor`eme

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors:

G est d’ordre fini si et seulement si H est d’ordre fini et H est d’indice fini dans G. et on a:

|G | = [G : H]|H| Cette formule est appel´ee formule de Lagrange. Corollaire

Soient G un groupe et H un sous-groupe de G;

Si G est d’ordre fini alors l’ordre de H et l’indice de H dans G sont des diviseurs de |G |.

Corollaire

Soient G un groupe et e son ´el´ement neutre.

Si G est fini d’odre premier alors les seuls sous-groupes de G sont {e} et G. Corollaire

D´efinition

Un sous-groupe H d’un groupe G est dit distingu´e et on note H C G si: ∀x ∈ G , x.H = H.x

Proposition

Soient G un groupe et H est un sous-groupe de G. Alors:

Proposition

Soit H un sous-groupe distingu´e de G. Alors:

1 R_g = R_d. On note cette relation d’´equivalence par R_H. 2 _{(G /H)g = (G /H)d. On note l’ensemble des classes par G /H.}

Th´eor`eme

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. On d´efinit sur G /H × G /H l’op´eration ⊕ par:

∀x, y ∈ G : x ⊕ y = x ∗ y Alors:

1 (G /H, ⊕) est un groupe.

2 La surjection canonique p : G //G /H, x //x est un

homomorphisme de groupes.

Th´eor`eme

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. On d´efinit sur G /H × G /H l’op´eration ⊕ par:

∀x, y ∈ G : x ⊕ y = x ∗ y Alors:

1 (G /H, ⊕) est un groupe.

2 La surjection canonique p : G //G /H, x //x est un

homomorphisme de groupes.

Th´eor`eme

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. On d´efinit sur G /H × G /H l’op´eration ⊕ par:

∀x, y ∈ G : x ⊕ y = x ∗ y Alors:

1 (G /H, ⊕) est un groupe.

2 La surjection canonique p : G //G /H, x //x est un homomorphisme de groupes.

Th´eor`eme

Soient G un groupe et H un sous-groupe distingu´e de G. On d´efinit sur G /H × G /H l’op´eration ⊕ par:

∀x, y ∈ G : x ⊕ y = x ∗ y Alors:

1 (G /H, ⊕) est un groupe.

2 La surjection canonique p : G //G /H, x //x est un homomorphisme de groupes.

Th´eor`eme

Soient G, G0 deux groupes et f un homomorphisme de G dans G0 alors 1 Kerf C G .

Deuxi`

eme th´

eor`

eme d’isomorphisme

Proposition

Soient H et N deux sous-groupes d’un groupe G tels que N C G . Alors: 1 N.H = H.N

2 _{N.H est un sous-groupe de G.}

3 _{N ∪ H est un sous-groupe distingu´e de G.} Th´eor`eme

Soient H et N deux sous-grpuoes d’un groupe G tels que N C G . Alors: H

H ∪ N ∼ = H.N

Th´eor`eme

Soient H et N deux sous-groupes d’un groupe G tels que N C G , H C G et H ⊂ N . Alors: 1 N H C G H 2 G H N H ∼ = G N

Sous-groupe engendr´

e

D´efinition

Soient (G , ∗) un groupe, A une partie non vide de G et S l’ensemble des sous-groupes de G qui contiennent A. Alors ∩H∈SH est un sous-groupe de

G appel´e sous-groupe engendr´e par A et not´e < A >. D´efinition

1 Si < a > est d’ordre fini n on dit que a est d’ordre fini n et on note: |a| = n.

Th´eor`eme

Le sous-groupe < A > est le plus petit sous-groupe de G contenant A. Autrement dit < A > est caract´eris´e par:

1 < A > est un sous-groupe de G contenant A.

2 _{Si K est un sous-groupe de G contenant A on a < A >⊂ K .} Exemple

1 Dans (Z, +), < 2 >= 2Z

Propri´et´es

1 _{Si H est un sous-groupe de G alors < H >= H.} 2 < e >= {e}.

3 Si G est multiplicatif alors ∀a ∈ G :< a >= {ak_{/k ∈ Z}}

4 Si G est additif alors

∀a ∈ G :< a >= {ka/k ∈ Z}

Th´eor`eme

Soient (G , ∗) et (G0, T ) deux groupes et f un homomorphisme de G vers G0. Alors:

∀S ⊂ G : f (< S >) =< f (S) >.

Corollaire

Soient (G , ∗) et (G0, T ) deux groupes et f un homomorphisme de G vers G0. Alors:

∀a ∈ G : f (< a >) =< f (a) >.

Th´eor`eme

Soient G un groupe (en g´en´eral multiplicatif), e son ´el´ement neutre. Soient a ∈ G un ´el´ement quelconque de G et f l’homomorphisme de Z vers G d´efini par :

∀k ∈ Z : f (k) = ak Soit n l’entier naturel tel que ker f = nZ. On a les propri´et´es suivantes :

1 nZ = {k ∈ Z/ak = e} 2 _{< a >' Z/kerf = Z/nZ}

3 _{a est d’ordre fini si seulement si n 6= 0 et dans ce cas a est d’ordre n .} 4 a est d’ordre infini si seulement si n = 0 et dans ce cas : < a >' Z. 5 _{Sont ´equivalentes :}

a est d’ordre fini.

∃k ∈ Z∗ _{tq : a}k _{= e.}

6 Sont ´equivalentes :

a est d’ordre infini.

∀k ∈ Z∗_{: a}k _{6= e}

7 _{Supposons a d’ordre fini, alors n = |a| est le plus petit entier naturel}

1 nZ = {k ∈ Z/ak = e} 2 _{< a >' Z/kerf = Z/nZ}

3 _{a est d’ordre fini si seulement si n 6= 0 et dans ce cas a est d’ordre n .} 4 a est d’ordre infini si seulement si n = 0 et dans ce cas : < a >' Z. 5 _{Sont ´equivalentes :}

a est d’ordre fini.

∃k ∈ Z∗ _{tq : a}k _{= e.}

6 Sont ´equivalentes :

a est d’ordre infini.

∀k ∈ Z∗_{: a}k _{6= e}

7 _{Supposons a d’ordre fini, alors n = |a| est le plus petit entier naturel} non nul telque an= e.

1 nZ = {k ∈ Z/ak = e} 2 _{< a >' Z/kerf = Z/nZ}

3 _{a est d’ordre fini si seulement si n 6= 0 et dans ce cas a est d’ordre n .} 4 a est d’ordre infini si seulement si n = 0 et dans ce cas : < a >' Z. 5 _{Sont ´equivalentes :}

a est d’ordre fini.

∃k ∈ Z∗ _{tq : a}k _{= e.}

6 Sont ´equivalentes :

a est d’ordre infini.

∀k ∈ Z∗_{: a}k _{6= e}

7 _{Supposons a d’ordre fini, alors n = |a| est le plus petit entier naturel}

1 nZ = {k ∈ Z/ak = e} 2 _{< a >' Z/kerf = Z/nZ}

3 _{a est d’ordre fini si seulement si n 6= 0 et dans ce cas a est d’ordre n .} 4 a est d’ordre infini si seulement si n = 0 et dans ce cas : < a >' Z. 5 _{Sont ´equivalentes :}

a est d’ordre fini.

∃k ∈ Z∗ _{tq : a}k _{= e.}

6 Sont ´equivalentes :

a est d’ordre infini.

∀k ∈ Z∗_{: a}k _{6= e}

7 _{Supposons a d’ordre fini, alors n = |a| est le plus petit entier naturel} non nul telque an= e.

1 nZ = {k ∈ Z/ak = e} 2 _{< a >' Z/kerf = Z/nZ}

3 _{a est d’ordre fini si seulement si n 6= 0 et dans ce cas a est d’ordre n .} 4 a est d’ordre infini si seulement si n = 0 et dans ce cas : < a >' Z. 5 _{Sont ´equivalentes :}

a est d’ordre fini. ∃k ∈ Z∗ _{tq : a}k _{= e.}

6 Sont ´equivalentes :

a est d’ordre infini.

∀k ∈ Z∗_{: a}k _{6= e}

7 _{Supposons a d’ordre fini, alors n = |a| est le plus petit entier naturel}

1 nZ = {k ∈ Z/ak = e} 2 _{< a >' Z/kerf = Z/nZ}

3 _{a est d’ordre fini si seulement si n 6= 0 et dans ce cas a est d’ordre n .} 4 a est d’ordre infini si seulement si n = 0 et dans ce cas : < a >' Z. 5 _{Sont ´equivalentes :}

a est d’ordre fini. ∃k ∈ Z∗ _{tq : a}k _{= e.}

6 Sont ´equivalentes :

a est d’ordre infini. ∀k ∈ Z∗_{: a}k _{6= e}

7 _{Supposons a d’ordre fini, alors n = |a| est le plus petit entier naturel} non nul telque an= e.

1 nZ = {k ∈ Z/ak = e} 2 _{< a >' Z/kerf = Z/nZ}

3 _{a est d’ordre fini si seulement si n 6= 0 et dans ce cas a est d’ordre n .} 4 a est d’ordre infini si seulement si n = 0 et dans ce cas : < a >' Z. 5 _{Sont ´equivalentes :}

a est d’ordre fini. ∃k ∈ Z∗ _{tq : a}k _{= e.}

6 Sont ´equivalentes :

a est d’ordre infini. ∀k ∈ Z∗_{: a}k _{6= e}

7 _{Supposons a d’ordre fini, alors n = |a| est le plus petit entier naturel}

Corollaire

Soit G un groupe (en g´en´eral multiplicatif) d’ordre fini n, alors: 1 ∀a ∈ G : |a| divise n.

2 ∀a ∈ G : an= e.

Corollaire

Soient G un groupe et a, b ∈ G . Si: 1 a et b sont d’ordres finis 2 _{ab = ba}

3 _{< a > ∩ < b >= {e}}

Corollaire

Soit G un groupe (en g´en´eral multiplicatif) d’ordre fini n, alors: 1 ∀a ∈ G : |a| divise n.

2 ∀a ∈ G : an= e.

Corollaire

Soient G un groupe et a, b ∈ G . Si: 1 a et b sont d’ordres finis 2 _{ab = ba}

3 _{< a > ∩ < b >= {e}}

Corollaire

Soit G un groupe (en g´en´eral multiplicatif) d’ordre fini n, alors: 1 ∀a ∈ G : |a| divise n.

2 ∀a ∈ G : an= e. Corollaire

Soient G un groupe et a, b ∈ G . Si: 1 a et b sont d’ordres finis 2 _{ab = ba}

3 _{< a > ∩ < b >= {e}}

Corollaire

Soit G un groupe (en g´en´eral multiplicatif) d’ordre fini n, alors: 1 ∀a ∈ G : |a| divise n.

2 ∀a ∈ G : an= e. Corollaire

Soient G un groupe et a, b ∈ G . Si: 1 a et b sont d’ordres finis 2 _{ab = ba}

3 _{< a > ∩ < b >= {e}}

Corollaire

Soient G un groupe et a, b ∈ G . Si: 1 _{a et b sont d’ordres finis} 2 _{ab = ba}

3 | < a > | ∧ | < b > | = 1

Corollaire

Soient G un groupe et a ∈ G d’ordre fini alors: ∀k ∈ Z, ak _{est d’ordre fini et on a} 

ak= |a| k ∧ |a| Exemple Soit n ∈ N?. ∀k ∈ Z, |k(modn)| = n k∧n

Groupes monog`

enes et Groupes cycliques

D´efinition

1 _{Un groupe G est un groupe monog`ene si et seulement s’il est} engendr´e par un ´el´ement a de G.

2 _{Si G est monog`ene d’ordre fini on dit que G est cyclique.} Exemple

1 (Z, +) est un groupe monog`ene infini engendr´e par 1 ou −1 mais il n’est pas cyclique .

2 ∀n ∈ N?: (ZnZ, +) est un groupe monog`ene engendr´e par 1. Il est

cyclique d’ordre n.

D´efinition

1 _{Un groupe G est un groupe monog`ene si et seulement s’il est} engendr´e par un ´el´ement a de G.

2 _{Si G est monog`ene d’ordre fini on dit que G est cyclique.} Exemple

1 (Z, +) est un groupe monog`ene infini engendr´e par 1 ou −1 mais il n’est pas cyclique .

2 ∀n ∈ N?: (ZnZ, +) est un groupe monog`ene engendr´e par 1. Il est cyclique d’ordre n.

Groupes monog`

enes et Groupes cycliques

D´efinition

1 _{Un groupe G est un groupe monog`ene si et seulement s’il est} engendr´e par un ´el´ement a de G.

2 _{Si G est monog`ene d’ordre fini on dit que G est cyclique.} Exemple

1 (Z, +) est un groupe monog`ene infini engendr´e par 1 ou −1 mais il n’est pas cyclique .

2 ∀n ∈ N?: (ZnZ, +) est un groupe monog`ene engendr´e par 1. Il est cyclique d’ordre n.

D´efinition

1 _{Un groupe G est un groupe monog`ene si et seulement s’il est} engendr´e par un ´el´ement a de G.

2 _{Si G est monog`ene d’ordre fini on dit que G est cyclique.} Exemple

1 (Z, +) est un groupe monog`ene infini engendr´e par 1 ou −1 mais il n’est pas cyclique .

2 ∀n ∈ N?: (ZnZ, +) est un groupe monog`ene engendr´e par 1. Il est cyclique d’ordre n.

Groupes monog`

enes et Groupes cycliques

D´efinition

1 _{Un groupe G est un groupe monog`ene si et seulement s’il est} engendr´e par un ´el´ement a de G.

2 _{Si G est monog`ene d’ordre fini on dit que G est cyclique.} Exemple

1 (Z, +) est un groupe monog`ene infini engendr´e par 1 ou −1 mais il n’est pas cyclique .

2 ∀n ∈ N?: (ZnZ, +) est un groupe monog`ene engendr´e par 1. Il est cyclique d’ordre n.

Proposition

∀n ∈ N∗ : les groupes cycliques d’ordre n sont les groupes isomorphes `a ZnZ .

Proposition

Les groupes monog`enes d’ordres infinis sont isomorphes `a Z .

Corollaire

Proposition

∀n ∈ N∗ : les groupes cycliques d’ordre n sont les groupes isomorphes `a ZnZ .

Proposition

Les groupes monog`enes d’ordres infinis sont isomorphes `a Z . Corollaire

Proposition

Soient G et H deux groupes et f un homomorphisme surjectif de G vers H. Si G est monog`ene engendr´e par un ´el´ement a alors H est aussi monog`ene engendr´e par f (a).

Proposition

Si G est un groupe monog`ene alors tous les sous groupes de G sont monog`enes.

Proposition

Soit G un groupe cyclique d’ordre n alors pour tout diviseur m de n il existe un sous-groupe de G et un seul d’ordre m.

Proposition

Soient G et H deux groupes et f un homomorphisme surjectif de G vers H. Si G est monog`ene engendr´e par un ´el´ement a alors H est aussi monog`ene engendr´e par f (a).

Proposition

Si G est un groupe monog`ene alors tous les sous groupes de G sont monog`enes.

Proposition

Soit G un groupe cyclique d’ordre n alors pour tout diviseur m de n il existe un sous-groupe de G et un seul d’ordre m.

Proposition

Soient G et H deux groupes et f un homomorphisme surjectif de G vers H. Si G est monog`ene engendr´e par un ´el´ement a alors H est aussi monog`ene engendr´e par f (a).

Proposition

Si G est un groupe monog`ene alors tous les sous groupes de G sont monog`enes.

Proposition

Soit G un groupe cyclique d’ordre n alors pour tout diviseur m de n il existe un sous-groupe de G et un seul d’ordre m.

Le groupe sym´

etrique

Proposition

Soit E un ensemble. L’ensemble des bijections de E dans lui-mˆeme, muni de la composition des fonctions est un groupe, not´e (S (E ), ◦).

Vocabulaire

1 Une bijection de {1, 2, ..., n} dans lui-mˆeme s’appelle une permutation.

2 Le groupe S ({1, 2, ..., n}) s’appelle le groupe des permutations (ou le groupe sym´etrique) et not´e Sn. Sn est de cardinal n!.

Proposition

Soit E un ensemble. L’ensemble des bijections de E dans lui-mˆeme, muni de la composition des fonctions est un groupe, not´e (S (E ), ◦).

Vocabulaire

1 Une bijection de {1, 2, ..., n} dans lui-mˆeme s’appelle une permutation.

2 Le groupe S ({1, 2, ..., n}) s’appelle le groupe des permutations (ou le groupe sym´etrique) et not´e Sn. Sn est de cardinal n!.

Notation

Soit n ∈ N?. Un ´el´ement σ de Sn est not´e par

σ =  1 2 . . . . n σ(1) σ(2) . . . . σ(n)  Exemple σ =  1 2 3 4 5 6 7 7 4 1 5 6 2 3  σ−1 =  7 4 1 5 6 2 3 1 2 3 4 5 6 7 

Notation

Soit n ∈ N?. Un ´el´ement σ de Sn est not´e par

σ =  1 2 . . . . n σ(1) σ(2) . . . . σ(n)  Exemple σ =  1 2 3 4 5 6 7 7 4 1 5 6 2 3  σ−1 =  7 4 1 5 6 2 3 1 2 3 4 5 6 7 

Exemple

Le groupe S3 est: {Id , τ1, τ2, τ3, σ, σ−1}

τ1=  1 2 3 1 3 2  , τ2 =  1 2 3 3 2 1  τ3=  1 2 3 2 1 3  , σ =  1 2 3 2 3 1  et σ−1 =  1 2 3 3 1 2  Proposition

D´efinition

Soit σ un ´el´ement de S (E ). Le support de σ est l’ensemble {x ∈ E , σ(x) 6= x}. On le note Supp(σ). Exemple Si E = {1, 2, ..., 7} et σ =  1 2 3 4 5 6 7 7 5 1 4 2 6 3  . Alors Supp(σ) = {1, 2, 3, 5, 7}.

Remarque

1 Supp(σ) = ∅ si et seulement si σ = Id

2 Deux permutations de S_n dont les supports sont disjoints commutent. 3 _{Supp(σ) = Supp(σ)}−1

4 _{Supp(σ ◦ τ ) ⊂ Supp(σ) ∪ Supp(τ )} 5 ∀k ∈ ZSupp((σ)k) ⊂ Supp(σ)

D´efinition

Soient E un ensemble, k un entier naturel tel que k ≥ 2 et a1, a2, ..., ak

des ´el´ements de E distincts deux `a deux. On appelle k-cycle (a1, a2, ..., ak) la permutation d´efinie par :

(a1, a2, ..., ak) : E −→ E

ai 7−→ ai +1 si 1 ≤ i ≤ k − 1

ak 7−→ a1

x 7−→ x si x /∈ {a1, a2, ..., ak}.

Exemple 1 σ =  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 6 2 4 5 11 3 8 9 10 7  = (2, 6, 11, 7, 3) est un 5-cycle. 2 _{σ =}  1 2 3 4 5 6 7 8 7 5 1 4 2 6 3 8 

n’est pas un cycle. 3 τ = (3, 5) est une transposition.

Notation

La compos´ee de deux cycles σ1 = (a1, a2, ..., ak) et σ2 = (b1, b2, ..., br) est

not´ee:

σ1◦ σ2= (a1, a2, ..., ak)(b1, b2, ..., br)

Lorsque les supports sont disjoints, cette compos´ee est commutative. Exemple

1 _{D´eterminer la permutation suivante : σ = (1, 4, 3, 5)(2, 3, 5).} 2 _{Cette compos´ee est-elle commutative ?}

Propri´et´es

Soient E un ensemble et σ = (a1, a2, ..., ak) un cycle.

1 _{Supp(σ) = {a1, a2, ..., a}

k}

2 ∀i = 1, ..., k : a_{i = σ}i −1_(a1) 3 σk = Id_E

4 Le k-cycle σ est d’ordre k. 5 σ−1 = (a_k, a_k−1, ..., a₁) Exemple Soit σ = (2, 11, 4, 5, 3, 7). 1 Supp(σ) = {2, 11, 4, 5, 3, 7} 2 |σ| = 6 3 _σ−1 _{= (7, 3, 5, 4, 11, 2)}

Proposition

Soit E un ensemble. Un cycle de S(E) est un produit de transpositions. Exemple

1 _{σ = (2, 6, 11, 7, 3) = (2, 6)(6, 11)(11, 7)(7, 3)} 2 _{σ = (3, 5, 7) = (3, 5)(5, 7)}