Travaux Dirig´es de Thermodynamique II∗
Exercice 1
On consid`ere n = 1 mol d’un gaz r´eel satisfaisant `a l’´equation d’´etat p(V −nb) = nRT avec b= 5×10−6m3.
1. Exprimer les coefficients thermo´elastiquesα etχT de ce gaz.
Ce gaz est situ´e dans le compartiment (a) de volume Va d’un cylindre rigide `a deux compartiments in´egaux `a parois adiabatiques. Dans le compartiment (b) du cylindre, qui a pour volume Vb, r`egne le vide. On perce un trou entre les deux compartiments. Le gaz passe de l’´etat initial (1) caract´eris´e par la pression p1 = 500 bar, le volume V1 = Va et la temp´erature T1 `a l’´etat final (2) caract´eris´e par la pression p2 = 50 bar, le volume V2 =Va +Vb = 4,57×10−4m3 et la temp´erature T2.
On note que ce gaz satisfait la premi`ere loi de Joule.
2. Rappeler la premi`ere loi de Joule.
3. Calculer la variation d’´energie interne ∆U12 accompagn´ee `a cette d´etente.
4. Calculer le volumeV1. Exercice 2
Une quantit´e n = 2 mol de gaz d’azote N2 est enferm´ee dans un r´ecipient R1 de volume V1 = 2 l `a la temp´eratureT1 = 300 K. Ce r´ecipient est ensuite brusquement mis en contact avec un autre r´ecipient R2 initialement vide de volume V2 = 18 l. Apr`es l’´equilibre, la temp´erature finale du syst`eme constitu´e des deux r´ecipients est T2. Les parois de tout le syst`eme sont adiabatiques et ind´eformables. Cette d´etente est dite de Joule-Gay-Lussac.
1. Quelle est la variation ∆U de l’´energie interne du syst`eme entier ? On suppose que le gaz est un gaz parfait.
2. Calculer la variation de temp´erature ∆T =T2−T1 du syst`eme.
Maintenant on consid`ere que le gaz est un gaz de Van der Waals dont l’´energie interne a pour expression U =CVT − nV2a +U0.
3. Calculer la variation de temp´erature ∆T =T2−T1 du syst`eme.
On donne : la constante universelle des gaz parfaits R= 8,314 J mol−1K−1, la constante a de Van der Waals pour le gaz d’azote a = 0,139 J m3mol−2 et la capacit´e calorifique molaire du gaz N2 `a volume constant CV,m= 20,8 J mol−1K−1.
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Exercice 3
On consid`ere une quantit´e de mati`ere n d’un gaz de Van der Waals qui a pour ´equation d’´etat
p+ nV22a
(V −nb) = nRT o`u a, b et R sont des constantes. La diff´erentiation des deux membres de cette ´equation, permet d’aboutir `a une ´equation sous la forme : Adp+BdV +CdT = 0.
1. Trouver les expressions deA, B et C.
2. Exprimer, en fonction deA,B etC, les d´eriv´ees partielles ∂V∂T
p, ∂T∂p
V et
∂V
∂p
T. 3. En d´eduire les expressions des coefficients thermo´elastiquesα,β etχT en fonction
dep, V et ´eventuellement n, a, b etR.
4. En d´eduire les expressions de ces coefficients dans le cas d’un gaz parfait.
5. La fameuse relation liant ces trois coefficients est elle v´erifi´ee par les expressions obtenues dans les deux questions pr´ec´edentes ?
Exercice 4
L’´energie interneU et l’entropieSd’un syst`eme monophas´e sont des fonctions d’´etat dont les formes diff´erentielles s’´ecrivent :
dU =CVdT + (l−p) dV et dS = CV
T dT + l T dV
o`uCV est la capacit´e thermique isochore du syst`eme et l sa chaleur latente de dilatation.
Ces deux coefficients calorim´etriques d´ependent des variables d’´etat p, V, T et n.
1. Expliciter les relations impos´ees par le fait que dU et dS sont des diff´erentielles totales exactes.
2. En d´eduire les relations donnantl et ∂C∂VV
T en fonction des grandeurs thermiques et ´eventuellement leurs driv´ees partielles.
On consid`ere un syst`eme ferm´e constitu´e de n moles d’un gaz parfait.
3. D´eterminer l’expression de l pour ce syst`eme.
4. Montrer que la capacit´e thermique isochore CV de ce gaz ne d´epend pas de V. 5. Trouver les expressions des fonctions d’´etat U etS de ce gaz en supposant que CV
ne d´epend pas de T.
Consid´erons maintenant un syst`eme ferm´e constitu´e denmoles d’un gaz de Van der Waals dont l’´equation d’´etat s’´ecrit
p+nV22a
(V −nb) =nRT o`uaetbsont des constantes dites de Van der Waals et R est la constante universelle des gaz parfaits.
6. D´eterminer, pour ce gaz, l’expression de l.
7. La capacit´e calorifique `a volume constantCVde ce gaz d´epend-elle deV ? Justifier.
8. Trouver, pour ce gaz, les expressions des fonctions d’´etat U etS en supposant que CV ne d´epend pas de T.
