Invariants de similitude.

Invariants de similitude.

On se placera toujours dans E, unK-espace vectoriel de dimension sur un corps quel- conque. G´en´eriquement, u d´esignera un endomorphisme dans L(E) dont le polynˆome minimal est not´e Πu et le polynˆome caract´eristiqueχu.

Quelques pr´e-requis.

D´efinition. Soitu∈L(E) et soitx∈E. On appellepolynˆome minimal deuenxl’unique g´en´erateur unitaire de l’id´eal

{P ∈K[X], P(u)(x) = 0}.

On le note Π_u,x. On a Π_u,x|Π_u.

Proposition. Il existe x∈E tel queΠ_u= Π_u,x. Preuve. On ´ecrit Πu = Qr

i=1P_i^mi o`u Pi sont des irr´eductibles distincts. On note Ki = KerP_i^mi(u) et u_i =u|_Ki. Par le lemme des noyaux :

E =⊕_iKi.

Montrons le r´esultat sur chaque sous-espaceKi. Par l’absurde, si le r´esultat ne tenait pas, alors pour tout xi ∈ Ki, Πui,xi diviserait strictement Πui = P_i^mi donc diviserait P_i^mi−1 par irr´eductibilit´e. Mais alors P_i^mi−1(u_i) serait nul sur tout K_i, ce qui est impossible par minimalit´e de Πui. On dispose donc d’´el´ements xi comme dans l’´enonc´e sur chaque sous- espaceKi. Montrons quex=x1+. . .+xr convient. On a :

0 = Π_u,x(u)(x) =X

i

Π_u,x(x_i)

donc Π_u,x(u)(x_i) = 0 puisque lesK_i sont en somme directe. Ainsi, P_i^mi = Π_ui,xi|Π_u,x pour tout i. Puisque les P_i^mi sont premiers entre eux, leur produit qui est ´egal `a Π_u divise aussi Πu,x, ce qui conclut.

Ce qu’on va montrer.

Th´eor`eme. Soitu∈L(E). Il existe une unique familleP₁, . . . , P_r de polynˆomes unitaires et une famille E1, . . . , Er de sous-espaces de E v´erifiant :

(i) P_r|. . .|P₁

(ii) E =E₁⊕. . .⊕E_r

(iii) Pour touti∈ {1, . . . , r}, Ei est stable paru etu_|Ei est cyclique de polynˆome Pi. Les polynˆomes P1, . . . .Pr sont appel´es les invariants de similitudes de u.

1

Preuve. Comme d’habitude, on proc`ede par r´ecurrence mais on ne l’´ecrit pas.

Existence. Soit d= deg(Π_u) et soit x∈E tel que Π_u,x= Π_u. On note : F = Vect(x, u(x), . . . , u^d−1(x)).

Bien sˆur, F est stable par u etu|_F est cyclique. On va montrer par dualit´e que F admet un suppl´ementaire stable par u. Soit ϕ∈E^∗ tel que :

ϕ(x) =ϕ u(x)

=. . .=ϕ u^d−2(x)) = 0 et ϕ u^d−1(x)

= 1.

La famille (ϕ, ϕ◦u, . . . , ϕ◦u^d−1) est une famille libre de E^∗ et on note Φ le sous-espace vectoriel de E^∗ engendr´e par cette famille. On pose alors :

G:= Φ^◦ ={y∈E, ∀ψ∈Φ, ψ(y) = 0}

et on montre que c’est un suppl´ementaire de F stable paru. Il y a trois choses `a voir :

• Gest u-stable. Soit y∈G, alors par construction on a d´ej`a :

∀k∈ {0, . . . , d−2}, ϕ◦u^k u(y)

= 0.

Comme le polynˆome minimal deu est de degr´e d, on a : u^d(y)∈Vect y, u(y), . . . , u^d−1(y) et doncϕ◦u^d−1 u(y)) =ϕ u^d(y)

= 0 par ce qui pr´ec`ede.

• F∩G={0}.Soit y∈F ∩G, alors on peut ´ecrire : y =a₀x+. . . ad−1u^d−1(x)

et en appliquantϕ◦uⁱ pour iallant de 0 `ad−1, on trouve que tous lesa_k sont nuls.

• dimF+ dimG=n. C’est une propri´et´e g´en´erale de l’orthogonal au sens de la dualit´e : dim Φ + dim Φ^◦=n.

Et bien sˆur, Π_u|G|Π_u puisque Π_u annuleu_|G. `A une r´ecurrence pr`es, on a achev´e la preuve de l’existence.

Unicit´e. On suppose l’existence d’une autre famille de polynˆome Q₁, . . . , Q_s donnant lieu

`

a une autre d´ecomposition F1⊕. . .⊕Fs comme dans l’´enonc´e. On a d´ej`a P1 =Qi = Πu. Soit j >1 l’indice minimal tel que Pj 6=Qj. Alors, on a d’une part :

P_j(u)(E) =P_j(u)(E₁)⊕. . .⊕P_j(u)(Ej−1) et d’autre part :

P_j(u)(E) =P_j(u)(F₁)⊕. . .⊕P_j(u)(Fj−1)⊕P_j(u)(F_j)⊕. . .⊕P_j(u)(F_s).

Mais pour i < j, on a :

dimPj(u)(Ei) = dimPj(u)(Fi) donc

0 = dimP_j(u)(F_j) =. . .= dimP_j(u)(G_s)

ce qui prouve Qj|P_j et par sym´etrie Pj|Q_j. C’est absurde car Pj 6=Qj. Finalement r =s etPi =Qi pour touti.

2

Corollaire (D´ecomposition de Frob´enius). Soitu∈L(E). Il existe une base dans laquelle la matrice de u est de la forme





 C_P1

. ..

C_Pr







o`uCPi est la matrice compagnon associ´ee au polynˆome Pi avec Pr|. . .|P₁. De plus, on a χ_u=P₁. . . P_r.

Corollaire. u et v sont semblables si et seulement s’ils ont les mˆemes invariants de simil- itude.

Preuve. Si u et v sont semblables, consid´erer F_i = ϕ(E_i) o`u E<sub>i</sub> sont les sous-espaces associ´es `a uet ϕtel queϕ◦u=v◦ϕ. Ou alors, reprendre la preuve de l’unicit´e.

Corollaire. Soit u∈L(E). Alors u est semblable `a sa transpos´ee.

Preuve. Il suffit de le montrer pour les endomorphismes cycliques. Le changement de base e⁰_i=a1e1+. . . an−ien−i+en−i+1

conduit au r´esultat.

Corollaire (D´ecomposition de Jordan des endomorphismes nilpotents). Tout est dans le titre.

Preuve. Puisque χ_u =Xⁿ, les invariants de similitudes sont de la forme Xⁿⁱ. Trucs `a savoir.

• Les invariants de similitude ne d´ependent pas du corps de base.

• La th´eorie des K[X]-modules donne une fa¸con simple pour calculer les invariants de similitude :

Th´eor`eme. SiU est la matrice deu∈L(E) dans une certaine base, alors les invariants de similitude de u sont les facteurs invariants non inversibles de la matrice U−XI_n ∈ M_n(K[X]).

Preuve. On montre par des op´erations ´el´ementaires sur les lignes et les colonnes qu’une matrice de la formeC_P −XI est ´equivalente `a











1 0

. ..

1

0 P











et on utilise la d´ecomposition de Frobenius pour conclure.

3

R´ef´erences.

H2G2

X. Gourdon,Alg`ebre

V. Beck, J, Malick, G. Peyr´e,Objectif agr´egation

151 Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang.

Exemples et applications.

153 Polynˆomes d’endomorphisme en dimension finie. R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

4

Autour des endomorphismes semi-simples.

On se place dansE, un K-espace vectoriel de dimension finie n.

D´efinition. On dit que f ∈ L(E) est semi-simple lorsque tout sous-espace vectoriel de E stable par f admet un suppl´ementaire stable par f.

Lemme. Soit L/K une extension de corps. Alors Π_f,K = Π_f,L.

Preuve. C’est une cons´equence de l’ind´ependance du rang vis `a vis du corps de base (qui provient de l’ind´ependance du r´esultat du calcul des mineurs). Maintenant, on a d´ej`a :

Π_f,L|Π_f,K

et comme ces polynˆomes sont unitaires, il suffit de montrer qu’ils sont de mˆeme degr´e pour conclure. Or, le degr´e du polynˆome minimal de f sur L est ´egal au rang de la famille (id, f, . . . , fⁿ⁻¹) dans L(E) qui est un espace vectoriel de dimension finien². Comme le rang ne d´epend pas du corps de base et quitte `a tout mettre dans une grosse matrice, on en d´eduit l’´egalit´e annonc´ee.

Lemme. Soit F un sous-espace stable par f. On note Πf =P₁^α1. . . P_r^αr. On a :

F =

r

M

i=1

h

KerP_i^αi(f)∩Fi .

Preuve. Par le lemme des noyaux, on sait que : F =

r

M

i=1

KerP_i^αi(f|_F) =

r

M

i=1

h

KerP_i^αi(f)∩Fi

Th´eor`eme. Un endomorphisme f est semi-simple si et seulement si son polynˆome minimal Π<sub>f</sub> est un produit de polynˆomes irr´eductibles unitaires distincts deux `a deux.

Preuve. Progressivement :

Etape 1. Lorsque´ Π_f est irr´eductible.

On va montrer que f est semi-simple, consid´erons donc F un sous-espace stable par f. Si F =E, il n’y a rien `a faire. Sinon, soit x∈E\F et

E_x ={P(f)(x), P ∈K[X]}.

1

Clairement E_x est stable par f. Pour conclure et quitte `a it´erer le processus, il suffit de montrer que

F et E_x sont en somme directe.

L’id´ealIx ={P ∈K[X], P(f)(x) = 0}est non r´eduit `a 0 (il y a Πf) et principal donc il est engendr´e par un unique polynˆome unitaire Π_x. Comme Π_x|Π_f, ce polynˆome est irr´eductible.

Soit y = P(f)(x) ∈ E_x∩F que l’on suppose non nul. Alors P /∈ I_x, c’est `a dire que Π_x ne divise pasP et comme il est irr´eductible,P et Π_x sont premiers entre eux.

Par le th´eor`eme de B´ezout, on peut ´ecrire :

U P +VΠ_x = 1.

On trouve :

x=U(f)◦P(f)(x) =U(f)(y)∈F car y ∈F.

C’est absurde !

Etape 2. Cas g´´ en´eral, condition n´ec´essaire.

Soit f ∈ L(E) un endomorphisme semi-simple de polynˆome minimal Π_f = P₁^α1. . . P_r^αr. Supposons qu’il existe α_i ≥2. On ´ecrit alors Π_f =P²Q.

F = KerP(f) est un sous-espace stable parf qui admet un suppl´ementaire stable not´eS. Si x∈S, alors

• Π_f(f)(x) = P(f)P(f)Q(f)(x) = 0 donc P(f)Q(f)(x)∈F.

• S est stable parf donc P(f)Q(f)(x)∈S.

Finalement, P(f)Q(f)(x)∈F ∩S={0} etP(f)Q(f) s’annule sur S.

Mais P(f)Q(f) = Q(f)P(f) donc par d´efinition de F, P(f)Q(f) s’annule aussi surF. PuisqueF etS sont suppl´ementaires, le polynˆomeP Qannulef ce qui contre- dit la minimalit´e de Πf.

Etape 3. Cas g´´ en´eral, condition suffisante.

Soit f ∈ L(E) dont le polynˆome minimal est de la forme Π_f = P₁. . . P_r o`u les P<sub>i</sub> sont des polynˆomes irr´eductibles distincts. Soit F un sous-espace stable par f. Pour tout i ∈ {1, . . . r}, F ∩KerPi(f) est stable par f|<sub>KerPi(f)</sub>. Puisque Pi est un polynˆome irr´eductible qui annule f|<sub>KerPi(f)</sub>, c’est le polynˆome minimal de f|<sub>KerPi(f)</sub>. La premi`ere ´etape fournit l’existence d’un sous-espace S_i stable parf|_KerPi(f) (donc par f) tel que :

KerP_i(f) = (F ∩KerP_i(f))∩S_i. Il suffit d’´ecrire :

E =

r

M

i=1

h

F ∩KerP_i(f)⊕S_ii

=

" _r M

i=1

F ∩KerP_i(f)

#

⊕

r

M

i=1

S_i =F ⊕S

2

et S est stable par f qui est donc semi-simple.

Lorsque K est alg´ebriquement clos, les polynˆomes irr´eductibles sont de degr´e 1 donc f est semi-simple si et seulement si f est diagonalisable. On note maintenant M la matrice de f dans une base et on dit qu’elle est semi-simple lorsque f l’est.

Th´eor`eme. Si le corps Kest de caract´eristique nulle, alors M est semi-simple si et seulement s’il existe une extension L/K dans laquelle M est diagonalisable.

Preuve. Soit K de caract´eristique nulle et L/K une extension de corps. On com- mence par montrer que M est semi-simple surKsi et seulement si M l’est surL(ici, M est `a coefficients dans K). Le polynˆome minimal de M sur K est le mˆeme que celui de M sur L. Il suffit donc de montrer que Π_M est sans facteur carr´e dansK[X]

si et seulement s’il est sans facteur carr´e dans L[X].

Dans un corps de caract´eristique nulle,P est sans facteur carr´e ´equivaut `aP∧P⁰ = 1. Mais comme le calcul du pgcd s’effectue dansK, le fait queP etP⁰ soient premiers entre eux ne d´epend pas du corps consid´er´e.

Prouvons le th´eor`eme : supposons queM est semi-simple dansK. Alors soitLest un corps de d´ecomposition de Π<sub>M</sub> ∈K[X]. Dans L[X], le polynˆome Π<sub>M</sub> est scind´e `a racines simples donc M est diagonalisable. R´eciproquement, si M est diagonalisable dans L alors M est semi-simple dans L et on vient de montrer que ce fait ´etait

´

equivalent `a la semi-simplicit´e de M sur K.

R´ef´erences.

X. Gourdon, Alg`ebre

V. Beck, J. Malick, G. Peyr´e, Objectif Agr´egation

122 Anneaux principaux. Applications.

141 Polynˆomes irr´eductibles `a une ind´etermin´ee. Corps de rupture. Exemples et applications.

153 Polynˆomes d’endomorphisme en dimension finie. R´eduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.

154 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

155 Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.

160 Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

3