Quelques compl´ements concernant les invariants de similitude
Antoine Ducros
Pr´eparation ` a l’agr´egation de math´ematiques 17 f´evrier 2003
Introduction
Ce texte comprend deux parties. La premi`ere vise `a expliquer comment calculeren pratique les invariants de similitude d’un endomorphisme donn´e par sa matrice. On commence par faire quelques rappels th´eoriques, sans donner de d´emonstration, (elles figurent pour l’essen- tiel par exemple dans le poly “modules de type fini sur un anneau principal” sur le site), puis l’on donne un algorithme et un exemple sur lequel on le voit fonctionner. Notez que l’algorithme en question, qui concerne en fait les matrices sur un anneau euclidien, est tr`es classique. Il figure par exemple dans le livreAlg`ebre Commutativede Goblot, page 31, `a peu pr`es sous la mˆeme forme qu’ici ; la condition que Goblot impose au stathme (siy divisex et siφ(y) =φ(x) alors xet y sont associ´es) est superflue. Vous le trouverez ´egalement au d´ebut de la preuve du th´eor`eme 3.8 dansBasic Algebra Ide Jacobson (page 182).
La deuxi`eme partie vise `a vous montrer comment utiliser le point de vue “A-modules”
pour traiter deux probl`emes d’alg`ebre lin´eaire, l’´etude du commutant d’un endomorphisme et celle des endomorphismes semi-simples. Ces deux points peuvent bien sˆur ˆetre abord´es de mani`ere plus classique, c’est-`a-dire sans parler de modules sur un anneau principal ; c’est ce que fait par exemple Gourdon dans son ouvrageAlg`ebre, p. 179 et p. 282 pour le commutant, p. 220 pour les endomorphismes semi-simples.
Vous ˆetes bien ´evidemment libres de choisir le point de vue qui vous convient le mieux.
A mon sens celui desA-modules pr´esente deux avantages (mais l’inconv´enient de demander un investissement th´eorique plus important) :
-il permet de d´egager r´eellement ce qui sert dans les d´emonstrations, en enlevant les hypoth`eses “parasites” ; ainsi la preuve de Gourdon page 220 utilise essentiellement la bilin´earit´e de (P, x)→P(f)(x) et l’identit´e de Bezout, c’est-`a-dire en clair le fait que ...E est un module sur l’anneau principalk[X], et rien d’autre !
-il permet d’all´eger consid´erablement les notations en ´evitant les ´ecritures du type (P(f)(Q(f)(x)) (r´ecurrentes dans la preuve de Gourdon) qui peuvent vite conduire au mieux `a ne plus rien voir, au pire `a dire des bˆetises...
Il faut bien r´ealiser que dans nombre de cas les preuves des r´esultats ´enonc´es dans le langage des A-modules sont exactement les mˆemes, aux notations pr`es, que celles des th´eor`emes d’alg`ebre lin´eaire correspondants ; aucune complication ne vient se greffer. Vous Université de Rennes 1
Préparation à l’agrégation de mathématiques Auteur du document : A. Ducros
pourrez par exemple vous convaincre que ce qu’´ecrit Gourdon dans son livre `a propos du commutant page 282 est pratiquement la mˆeme chose que la preuve de i) ⇒ ii) de la proposition 1 du pr´esent texte. Et sa d´emonstration de la page 220 est proche de celle des lemmes 1, 2, 3 et 4 ci-dessous.
A vous de voir ce que vous pr´ef´erez !
1 Exemples de calcul des invariants de similitude
Dans toute la suite,A est un anneau principal.
Quelques rappels
Rappelons quelques r´esultats vus en cours : si M est un A-module libre de rang fini m et siN est un sous-module deM alors il existe une base (e1, . . . , em) deM diteadapt´ee `a N et une famille δ1, . . . , δn de scalaires telle que δ1|δ2|. . .|δn et telle que (δ1e1, . . . , δnen) soit une base deN. Lesδi sont uniques `a multiplication par un inversible pr`es. Notons que les facteurs invariants du quotientM/N sont lesδi non inversiblesauxquels il faut rajouter en fin de listem−ntermes nuls.
Soitφune applicationA-lin´eaire d´efinie entre deux modules libresLetM de rangs finis respectivement not´esletmet soitN son image. Soit (e1, . . . , em) une base deM adapt´ee `a N et δ1, . . . , δn la famille de scalaires correspondants. Si l’on se donne pour touticompris entre 1 etnun ant´ec´edentfi deδiei alors la famille desfi est libre et
L=Af1⊕. . .⊕Afn⊕Kerφ.
Comme Kerφest un sous-module deLil est libre et si l’on en choisit une base quelconque la r´eunion desfi et de cette base constitue une baseBdeL. La matrice deφdans les bases Bet (ei) (qui est de taillem×l) se d´ecrit alors simplement : pour touticompris entre 1 etn son terme d’indice (i, i) est ´egal `aδi et ses autres termes sont nuls. NotonsDm,l(δ1, . . . , δn) cette matrice.
On vient incidemment de d´emontrer que toute matriceB de taille m×l `a coefficients dans A est ´equivalente `a Dm,l(δ1, . . . , δn) pour une certaine famille (δi) de scalaires non nuls tels queδ1|δ2|. . .|δn. Cette propri´et´e caract´erise la famille des δi `a multiplication par des ´el´ements inversibles pr`es. Consid´erons en effet l’application lin´eaireφ:Al →Amdont la matrice dans les bases canoniques de ces deux modules est B. Il existe alors une base (f1, . . . , fl) de Al et une base (e1, . . . , em) de Am telle que la matrice de φdans ces deux bases soit pr´ecis´ementDm,l(δ1, . . . , δn). On v´erifie imm´ediatement que (δ1e1, . . . , δnen) est une base de l’image deφ, et c’est le th´eor`eme de la base adapt´ee qui fournit l’unicit´e requise.
Celle-ci peut aussi ˆetre d´eduite du r´esultat suivant : siB est une matrice de taillem×l
´equivalente `a Dm,l(δ1, . . . , δn) pour une certaine famille (δi) de scalaires non nuls tels que δ1|δ2|. . .|δnalors pour tout entierkle produitδ1. . . δkest le PGCD des mineurs d’ordrekde B, avec la convention queδk= 0 si k > r(notons que “le” PGCD d’une famille d’´el´ements n’est bien d´etermin´e qu’`a un inversible pr`es).
Cette formule fournit un moyen th´eorique d’obtention des δi `a partir de B. Toutefois cela demande un grand nombre d’op´erations (songez que pour tout kinf´erieur `a met `a lil y a Ckl ×Ckmmineurs d’ordre k`a calculer et qu’il reste ensuite le PGCD `a d´eterminer...).
Un algorithme simple dans le cas d’un anneau euclidien
Indiquons, dans le cas o`uAest ´egal `aZou `ak[X], ou plus g´en´eralement dans le cas o`u Aest euclidien, un algorithme plus rapide : notons δ:A− {0} →Nun stathme euclidien (par exemple la valeur absolue siA=Z, le degr´e siA=k[X]). Pour toute matriceM non nulle `a coefficients dansAnotonsδ(M) la valeur minimale deδsur les coefficients non nuls deM.
Dans ce qui suit on appellera “op´eration ´el´ementaire” sur une matrice l’une des op´erations suivantes : ´echange de lignes, ´echange de colonnes, ajout `a une ligne d’une combinaison lin´eaire d’autres lignes, ajout `a une colonne d’une combinaison lin´eaire d’autres colonnes.
On v´erifie (petit exercice, faites-le !) que chacune de ces op´erationstransforme une matrice en une matrice ´equivalente. Le but est de r´ealiser un nombre fini de telles op´erations pour obtenir une matrice sous la forme diagonale souhait´ee.
On part donc d’une matriceM = (mi,j). Si elle est nulle c’est termin´e sinon l’on proc`ede ainsi :
Etape 1 : Par op´erations ´el´ementaires on se ram`ene au cas o`uδ(M) =δ(m1,1).
Etape 2 : Si il existe sur la premi`ere ligne un ´el´ementm1,k non multiple dem1,1on peut, par op´erations ´el´ementaires, le remplacer par le resterde sa division parm1,1, lequel reste v´erifie δ(r)< δ(m1,1). On a donc fait chuter strictementδ(M). On refait alors les ´etapes 1 et 2. Commeδ(M) ne peut d´ecroˆıtre strictement ind´efiniment il arrive un moment o`utous les termes de la premi`ere ligne sont multiples dem1,1.On applique le mˆeme proc´ed´e `a la premi`ere colonne, et l’on obtient finalement une matrice donttous les termes de la premi`ere ligne et de la premi`ere colonne sont multiples dem1,1.Par op´erations ´el´ementaires on obtient une matrice dont tous les coefficentsmk,1 et m1,k
sont nuls pourk= 1.
Etape 3 : On a ainsi une matrice form´ee de deux blocs, un bloc 1×1 (le coefficientm1,1, qui v´erifieδ(m1,1) =δ(M) ) et un bloc (m−1)×(l−1) que l’on noteN. Si l’un des coefficients deN n’est pas multiple dem1,1on additionne la ligne de ce coefficient `a la premi`ere, puis par op´erations ´el´ementaires on remplace l’´el´ement en question (sur la premi`ere ligne) par le resterde sa division euclidienne parm1,1. Commeδ(r)< δ(m1,1) on a fait chuter strictementδ(M). On refait alors les ´etapes 1, 2, et 3. Commeδ(M) ne peut d´ecroˆıtre strictement ind´efiniment il arrive un moment o`u tous les coefficients du blocN sont multiples dem1,1. On r´eapplique alors l’algorithme `a N.
Le cas d’un sous-module donn´ e par une famille g´ en´ eratrice
SoitM unA-module libre de rang finimet soitN un sous-module deM. SoitC1, . . . , Cl
une familleg´en´eratricedeN. Soitφl’application lin´eaire deAlversM qui envoie (aj) sur ajCj. Comme l’image deφestN il d´ecoule de ce qui pr´ec`ede qu’il suffit, pour d´eterminer la famille de scalaires associ´ee `aNpar le th´eor`eme de la base adapt´ee (d’o`u l’on pourra tirer les facteurs invariants du quotientM/N), de choisir une base deAl, une base deM, d’´ecrire la matrice deφdans ces deux bases et de lui appliquer l’algorithme vu ci-dessus (si Aest euclidien) ou la formule avec le PGCD des mineurs. Notons que si l’on munitM (resp.Al) d’une base quelconque (e1, . . . , em) (resp. de sa base canonique) la matrice correspondante deφest simplement la matrice dont les colonnes correspondent aux Cj ´ecrits dans la base (e1, . . . , em).
Indiquons maintenant comment appliquer cette remarque `a la d´etermination pratique des invariants de similitude d’un endomorphisme. Soitkun corps et soitEunk-espace vectoriel de dimension finie. Donnons-nous un endomorphismeudeE, que l’on munit de la structure dek[X]-module correspondante. Soit (e1, . . . , en) une base deE(commek-espace vectoriel) etB= (bi,j) la matrice deudans cette base. L’applicationk[X]-lin´eaire de (k[X])n dansE qui envoie (P1, . . . , Pn) sur
Pi.eiest surjective (puisqu’elle l’est d´ej`a si l’on se restreint `a desPi constants, la famille des ei ´etant en particulier g´en´eratrice surk) ; si l’on appelleN son noyau lek[X]-moduleE est donc isomorphe `a (k[X])n/N.
On a vu en cours que N admettait pour base la famille des Vj o`u pour tout j l’on d´esigne parVj le vecteur dont la famille des coordonn´ees dans la base canonique de (k[X])n est (bi,j−δi,jX)i. Autrement dit, la matrice dont les colonnes sont lesVj exprim´es dans la base canonique de (k[X])n est la matriceB−XIn.
L’algorithme d´ecrit plus haut permet de mettre cette matrice sous la forme Dn,n(P1, . . . , Pr) pour une certaine famillePi de polynˆomes non nuls tels queP1|P2|. . .|Pr. Les facteurs invariants de E, autrement dit les invariants de similitude de u, sont alors donn´es par lesPinon inversibles; commeEest de dimension finie on sait qu’il n’y aura pas de termes nuls `a rajouter `a la liste (ce qui montre qu’en fait r=n).
Donnons maintenant un exemple d’un tel calcul. Partons d’un endomorphisme dont la matrice (dans une base convenable) est ´egale `a
2 4 −1 2 9 −2 3 12 −2
. On retranche `a cette matriceXI3et l’on trouve donc
2−X 4 −1
2 9−X −2
3 12 −2−X
. Un ´echange de la premi`ere et de la trois`eme colonne donne
−1 4 2−X
−2 9−X 2
−2−X 12 3
.
On remplaceC2 parC2+ 4C1 etC3 parC3+ (2−X)C1ce qui donne
−1 0 0
−2 1−X 2X−2
−2−X 4−4X X2−1
.
On remplaceL2parL2−2L1puisL3 parL3−(2−X)L1et l’on obtient :
−1 0 0 0 1−X 2X−2 0 4−4X X2−1
. On remplaceC3 parC3−2C2, le r´esultat est
−1 0 0
0 1−X 0
0 4−4X X2−8X+ 7
.
La derni`ere op´eration consiste `a remplacerL3parL3−4L2, ce qui donne
−1 0 0
0 1−X 0
0 0 X2−8X+ 7
.
Comme 1−X diviseX2−8X+ 7 c’est termin´e. Les invariants de similitude de l’endomor- phisme ´etudi´e sont doncX−1 etX2−8X+ 7.
2 Quelques applications des modules de type finis sur un anneau principal ` a l’alg` ebre lin´ eaire
Commutant d’un endomorphisme
Proposition 1.SoitAun anneau principal et M un A-module de type fini. Ecrivons M A/d1⊕. . .⊕A/dr
o`u les di sont des scalaires non inversibles tels que d1|d2|. . .|dr (ce sont donc les facteurs invariants deM). Les propositions suivantes sont ´equivalentes :
i) Tout endomorphisme du A-moduleM est la multiplication par un scalaire.
ii) L’entierrest ´egal `a 0 ou 1, autrement ditM est nul ou bien n’a qu’un facteur invariant.
D´emonstration.Supposons quei) est vraie et consid´erons la projection deM sur lesr−1 premiers facteurs de sa d´ecomposition ci-dessus ; c’est un endomorphisme de M, et donc commei) est suppos´ee vraie c’est la multiplication par un scalaireα. Comme cet endomor- phisme restreint au dernier facteurA/drest trivialαest nul modulodr. Lesdidivisent tous dr, et doncαest nul modulo tous lesdi; la multiplication par αest donc l’endomorphisme nul deM, ce qui montre que la somme desr−1 premiers facteurs est nulle : en cons´equence ou bienM est nul ou bienr= 1 etM est alors isomorphe `a A/d1.
Supposons que ii) est vraie. Dans ce cas M est de la forme A/d pour un certain d appartenant `aA(´eventuellement inversible si M est nul). Soitφun endomorphisme deM. Soitαappartenant `aAtel queφ(1) =α. Consid´erons un ´el´ementxdeM. On peut l’´ecrire upour un certainudansA. On a alors
φ(x) =φ(u) =φ(u.1) =u.φ(1) =uα=uα=αu=αx et doncφest la multiplication parα..
On en d´eduit la proposition suivante en alg`ebre lin´eaire :
Proposition 2.Soitk un corps, soit E un k-espace vectoriel de dimension finie et soit u un endomorphisme deE. Les proposition suivantes sont ´equivalentes :
i) Tout endomorphisme commutant avecuest un polynˆome en u.
ii) E est nul ou bien l’endomorphisme uposs`ede un et un seul invariant de similitude.
iii) Le polynˆome minimal deuest ´egal `a son polynˆome caract´eristique.
iv) Il existe une base deE dans laquelle la matrice de uest une matrice compagnon.
D´emonstration.L’´equivalence deii), iii) etiv) r´esulte directement du cours sur les mod- ules de type fini sur un anneau principal. Quant `a celle de i) et ii) elle est une simple traduction de la proposition pr´ec´edente, compte-tenu du fait (vu en cours) que les endomor- phismes duk[X]-moduleEsont exactement les applicationsk-lin´eaires commutant avecu, et que parmi ces endomorphismes les multiplications par les scalaires (donc par les ´el´ements de k[X]) sont exactement les polynˆomes enu(c’est une cons´equence imm´ediate de la d´efinition de la structure dek[X]-module induite surEparu).
Remarque.Dans le cas o`u l’endomorphismeuest suppos´e diagonalisable on peut prouver le r´esultat directement, et de mani`ere ´el´ementaire. Voici comment : dire que le polynˆome minimal deuest ´egal `a son polynˆome caract´eristique ´equivaut alors `a dire que les valeurs propres deusont deux `a deux distinctes. Pla¸cons-nous sous cette hypoth`ese et montrons que tout endomorphisme commutant avecuest un polynˆome enu. Soit (e1, . . . , en) une base de E form´ee de vecteurs propres deu; pour touti on note λi la valeur propre correspondant
`
a ei. Les λi sont par hypoth`ese deux `a deux distincts. Pour tout i le sous-espace propre associ´e `aλiest donc exactementkei. Soitvun endomorphisme commutant avecu. On voit facilement que tout sous-espace propre deu est stable parv. En particulier il existe pour toutiun scalaireµitel quev(ei) =µiei. SoitP un polynˆome tel queP(λi) =µipour touti (lesλi´etant deux `a deux distincts l’existence d’un tel polynˆome est assur´e par interpolation de Lagrange). AlorsP(u) =v.
Supposons maintenant que uposs`ede un sous-espace propre F de dimension au moins 2. Comme u est par ailleurs suppos´e diagonalisable F poss`ede un suppl´ementaire G dans E stable paru. Soitφun endomorphisme deF qui n’est pas une homoth´etie (un tel endo- morphisme existe car la dimension deF est au moins 2). L’endomorphisme de E dont la restriction `a F est φ et dont la restriction `a G est nulle commute avec u. Or ce n’est pas un polynˆome enucaru|F est une homoth´etie, et donc tout polynˆome enu|F en est encore une ; or par hypoth`ese φn’est pas une homoth´etie, ce qui ach`eve la d´emonstration.
Remarque. Le lecteur `a l’aise avec les A-modules et int´eress´e par ces questions pourra lire avec profit le paragraphe 3.11 deBasic Algebra I de Jacobson, consacr´e `a l’´etude des endomorphismes d’unA-module de type fini quelconque.
Endomorphismes semi-simples
D’une mani`ere g´en´erale on dit qu’un moduleM sur un anneau (commutatif unitaire)A estsemi-simplesi tout sous-module deM poss`ede un suppl´ementaire. On va ´etudier de plus pr`es cette notion lorsqueA est principal.
On suppose donc `a partir de maintenant queA est un anneau principal.
Un ´el´ementm d’un A-module M sera dit de torsion s’il existe a non nul dans A tel que am= 0 ; on peut l’exprimer ´egalement en disant quel’id´eal annulateur dem, c’est-`a-dire
{α∈Atqαm= 0}
est non nul. Les ´el´ements de torsion deM forment un sous-module deM; sitousles ´el´ements deM sont de torsion on dit queM est de torsion.
Soitpun ´el´ement irr´eductible deA. On dit qu’un ´el´ementm d’un A-moduleM est de torsion p-primaire si son id´eal annulateur est de la forme pnA pour un certain entier n.
L’ensemble des ´el´ements de torsionp-primaire d’un A-moduleM forme un sous-module de M que l’on noteraMp.
Lemme 1.SoitM un A-module de torsion. Alors
M =
p
Mp
o`u pparcourt l’ensemble des ´el´ements irr´eductibles de A. Si N est un sous-module de M alors
N =
p
N∩Mp.
D´emonstration.Notons que la seconde assertion d´ecoule de la premi`ere puisqu’il r´esulte imm´ediatement des d´efinitions que N est de torsion et que Np = N ∩Mp pour tout irr´eductiblep.
Pour prouver la premi`ere assertion consid´erons un ´el´ementmdeM. L’application lin´eaire φde Avers M qui envoiea suram a pour noyau l’id´eal annulateur dem qui est non nul par hypoth`ese et qui est donc de la formebApour un certainbnon nul. On peut donc ´ecrire b=
pnii o`u lespisont des irr´eductibles deux `a deux disjoints. L’image deφest isomorphe `a A/bdonc par le lemme chinois `a A/pnii. Pour toutile facteurA/pniiest form´e d’´el´ements de torsionpi-primaires etm, qui appartient bien sˆur `a l’image deφ, est donc somme de tels
´el´ements.
Supposons maitenant que l’on ait
mp = 0 o`u mp est un ´el´ement de M de torsion p-primaire pour toutp, lesmp ´etant presque tous nuls. Soit P un ensemble fini d’´el´ements irr´eductibles deA tels quemp soit nul pour toutpen dehors de P. Soit p0 appartenant `a P. Par le lemme chinois il existeaappartenant `a Atel queasoit congru `a 1 modulo l’id´eal annulateur demp0 et `a 0 modulo l’id´eal annulateur demppour toutp´el´ement deP − {√}.
En multipliant l’´egalit´e
mp = 0 par al’on obtient mp0 = 0, ce qui ach`eve la preuve du lemme.
Remarque.Si M est unA-modulede type finiil est isomorphe `a A/d1⊕. . .⊕A/dr
pour une certaine famille (d1, . . . , dr) de scalaires non inversibles tels qued1|d2|. . .|dr. On voit imm´ediatement que M est de torsion si et seulement si les di sont tous non nuls. La d´ecomposition en irr´eductibles de chaquedi et le lemme chinois permettent (voir le cours) de r´e´ecrireM sous la forme
A/pnii
o`u lespi sont irr´eductibles. Pour pfix´eMp est alors ´egal `a
i∈Ip
A/pni
o`uIp d´esigne l’ensemble desitels quepi=p.
Lemme 2.SoitM unA-module de torsion. AlorsM est semi-simple si et seulement siMp
est semi-simple pour tout ´el´ement irr´eductiblepdeA.
D´emonstration.Supposons queMpest semi-simple pour toutpet soitN un sous-module deM. On peut alors ´ecrireN = N∩Mp. Fixonsp. CommeMpest semi-simple il existe un suppl´ementaireNp deN∩MpdansMp. Il est alors imm´ediat que Np est un suppl´ementaire deN dansM.
R´eciproquement supposons M semi-simple. Soitp un irr´eductible de A et N un sous- module de Mp. Comme M est semi-simple N poss`ede un suppl´ementaire N dans M. Il est clair que N∩(N∩Mp) est nul. D’autre part soitm un ´el´ement deMp. Alors comme M = N ⊕N on peut ´ecrire m = n+n avec n dans N et n dans N. Comme m et n appartiennent `a Mp il en va de mˆeme den et doncMp=N⊕(N∩Mp), ce qui ach`eve la preuve du lemme.
Fixons maintenant un irr´eductiblep de A. Soit M un module de type fini sur A dont tous les ´el´ements sont de torsionp-primaire. Il s’´ecrit, d’apr`es ce qui a ´et´e vu plus haut, sous
la forme
A/pni.
Lemme 3. Avec les hypoth`eses et notations ci-dessus, le module M est semi-simple si et seulement sini= 1 pour touti.
D´emonstration.Sini= 1 pour toutialorsM est somme directe de copies deA/pdonc sa structure deA-module est en fait induite par une structure deA/p-espace vectoriel (A/pest en effet un corps) et les notions de sous-module et de sous-espace vectoriel deM co¨ıncident.
Or il est bien connu que tout sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel donn´e admet un suppl´ementaire, et doncM est semi-simple.
Supposons que pour un certainj l’on aitnj>1. NotonsN le sous-module
i=j
A/pni⊕pA/pnj
deM. Le quotient M/N est isomorphe `a A/p. Si N poss´edait un suppl´ementaire dans M ce suppl´ementaire serait en cons´equence isomorphe `a A/p, donc form´e d’´el´ements annul´es parp. Or les ´el´ements deM annul´es parpappartiennent tous `a N : en effet si mest un tel
´el´ement sa projection sur le facteurA/pnj est annul´ee parp, donc est la classe modulopnj d’un multiple depnj−1. Commenj est suppos´e strictement sup´erieur `a 1 tout multiple de pnj−1 est multiple dep.
FinalementN n’a pas de suppl´ementaire dansM etM n’est pas semi-simple.
Lemme 4.Soit M un A-module de type fini et de torsion, et soit d1, . . . , dr ses facteurs invariants. AlorsM est semi-simple si et seulement si les exposants des facteurs irr´eductibles dans la d´ecomposition de dr sont tous ´egaux `a 1.
D´emonstration.D’apr`es le lemme 2 le moduleM est semi-simple si et seulement si chacun desMp l’est. Pour toutple moduleMp est de la forme
A/pni
o`u lesni sont les exposants de papparaissant dans les diff´erents di. Comme Mp est semi- simple si et seulement si les ni sont tous ´egaux `a 1 le module M est semi-simple si et seulement si les exposants de la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles de chacun des di
sont ´egaux `a 1. Comme dr est multiple de tous les autres di il est n´ecessaire et suffisant, pour que la propri´et´e voulue soit v´erifi´ee, que les exposants des facteurs irr´eductibles dans la d´ecomposition dedr soient tous ´egaux `a 1.
On peut traduire ce dernier r´esultat dans le langage de l’alg`ebre lin´eaire :
Proposition.Soitk un corps, soitE unk-espace vectoriel de dimension finie et soituun endomorphisme deE. Les propri´et´es suivantes sont alors ´equivalentes :
i) Tout sous-espace deE stable paruposs`ede un suppl´ementaire stable paru.
ii) Dans la d´ecomposition en facteurs irr´eductibles du polynˆome minimal de u tous les exposants sont ´egaux `a 1.
Un endomorphisme u d’un espace vectoriel de dimension finie qui satisfait ces deux conditions ´equivalentes est ditsemi-simple. Notons que si le polynˆome caract´eristique deu est scind´e (ce qui force le polynˆome minimal `a l’ˆetre aussi) la conditionii) signifie exactement que le polynˆome minimal de uest `a `a racines simples, donc que uest diagonalisable. On en d´eduit notamment que sur un corps alg´ebriquement clos les notions d’endomorphisme semi-simpleet d’endomorphisme diagonalisableco¨ıncident.
