1
reES : correction du devoir sur feuille n
o1
I
1. En 2010, la population d’une ruche était évaluée à 10 000 abeilles.
Le taux d’augmentation estt= −15 %= −0, 15. Le taux d’évolution réciproque estt′= 1
1+t−1= 1 0, 85−1
=0, 17647=17, 65 % ; t′≈17, 65 %. 2. Le prix réel du chocolat serait 10
µ 1+ 40
100
¶
=14.
Le prix réel serait de 14esi le marchand me vend le chocolat à 10e. La remise serait donc de 10−14
14 ≈ −0, 286 donc environ de 28, 6 %. II
Evolution du marché photovoltaïque en France et DOM.
Durant l’année 2006 2007 2008 2009
Marché photovoltaïque (en mégawatt) 9,4 35,5 104,5 268
Indice 26,5 100 294,4 754,9
1. Par exemple, en 2006 : 9, 4
35, 5×100≈26, 4
2. De 2007 à 2009, l’indice passe de 100 à 754,9, donc une croissance de 654,9 %.
De 2006 à 2007 :100−26, 5
26, 5 ≈2, 77, soit environ 277 %.
III
Imaginons que la cote de popularité d’un homme politique passe de 50 % de satisfaits à 45 % de satisfaits parmi les personnes interrogées. L’usage est de dire que sa cote de popularité a baissé de 5 points.
1. Le journaliste a tort car il calcule 50 %-45 %=5 %, ce qui n’a pas de sens puisque l’ensemble de référence n’est pas le même.
2. • 1000× 50 100=500
• 1000× 45 100=450
• 450−500
500 −0, 1= −10 %. Le pourcentage de diminution des satisfaits est de 10 %.
3. • La cote passe de 35 % à 40 % donc augmente de 5 points.
• 40−35 35 = 5
35=1
7≈0, 143 donc 14, 3 %.
IV
1. Le prix d’un article augmente d’abord de 30 % puis baisse de 30 %.
Le taux global d’évolution estT= µ
1+ 30 100
¶ µ 1− 30
100
¶
−1=1, 3×0; 7−1=0, 91−1= −0, 09= −9 %. 2. Le prix d’une action a augmenté chaque mois de 10 % et cela pendant cinq mois consécutifs.
Globalement, le prix de l’action a été multiplié par 1, 15= 1, 61051
3. Après une augmentation de 30 % puis une baisse de 15 %, le prix d ’un article ménager est de 497,25e. Le coeffi- cient multiplicateur global estC=
µ 1+ 30
100
¶
× µ
1− 15 100
¶
=1, 3×0, 85=1, 105 donc le prix initial est 497, 25
1, 105 = 450.
V
Dans une entreprise, les coûts de fabrication deqobjets sont donnés, en euros, par : C(q)=0, 1q2+10q+1500, pourq∈[0; 500].
L’entreprise vend chaque objet fabriqué 87e.
1. • C(0)=1 500 donc les coûts fixes sont de 1 500e.
• Les valeurs deqtelles queC(q)=3 500 sont les solutions de l’équation 0, 1q2+10q+1500=3500.
0, 1q2+10q+1 500=3 500⇔0, 1q2+10q+1 500−3 500=0⇔0, 1q2+10q−2 000=0.
C’est une équation du second degré :
∆=102−4×0, 1×(−2 000)=100+800=900>0 . Il y a deux solutions :
q1=−10−p 900
0, 2 =−10−30
0, 2 = −200<0 donc ne convient pas etq2=−10+p 900
0, 2 =−10+30 0, 2 =100.
La fabrication de100objets coûte 3 500een production.
2. Il est clair que R(q)=87q .
Le bénéfice est alorsB(q)=R(q)−C(q)=87q−¡
0, 1q2+10q+1 500¢
= −0, 1q2+77q−1 500.
3. Le coefficient deq2est négatif donc la fonctionq7→B(q) est d’abord croissante puis décroissante. Le maximum est atteint pourq=−b
2a = − 77
−0, 2= 385.
L’entreprise réalise un bénéfice maximum pour la réalisation de 385 objets.
Le bénéfice est alorsB(385)≈ 13 322e. VI
1. On considère une feuille de papier dont le rapport entre la longueur et la largeur reste le même lorsque celle-ci est pliée en deux perpendiculairement à sa longueur. Montrer que ce rapport est égal àp
2.
ℓ
L
L 2
On doit avoir L ℓ =
ℓ
L 2
donc L2
2 =ℓ2 donc L2 ℓ2 =2 et donc
µL ℓ
¶
=2 qui donne L ℓ=p
2.
2. L’aire de la feuille de papier est de 1
16m2.On dit avoir
L ℓ=p
2 Lℓ= 1 16
⇔
L=ℓp
2 ℓp
2×ℓ= 1 16
⇔
L=ℓp
2 ℓ2= 1 16p
2 .
On en déduitℓ= s 1
16p
2= 1
4pp 2
.
Alors : L= p2
4pp 2
pp 2 4 .
On trouveL≈0, 2973 m, soit environ 29,7 cm ; ℓ=0, 210 m, donc environ 21 cm. C’est ce qu’on ap- pelle une feuille A4.
