11.0.2 Dérivées partielles

Chapitre 11

Calcul différentiel

11.0.1 Limite et continuité

Déterminer si elle existe la limite en(0, 0)des fonctionsf :R²→Rdonnées par : 1. f¡

x,y¢

=x³ y 2. f¡

x,y¢

=ch¡ x y¢

−cos¡ x y¢ x²y² 3. f¡

x,y¢

= x y x−y

4. f¡ x,y¢

=x ysin_x¹ 5. f¡

x,y¢

= x+2y x²−y² 6. f¡

x,y¢

= x y x²+y². Exercice 11.0.2 ⋆

Déterminer si elle existe la limite en(0, 0)des fonctionsf :R²→Rdonnées par : 1. f¡

x,y¢

= x²y x²+y² 2. f¡

x,y¢

=1−cos¡ x y¢ x y² 3. f¡

x,y¢

=shxshy x+y

4. f¡ x,y¢

=x³+y³ x y 5. f¡

x,y¢

= x y shx+shy 6. f¡

x,y¢

=sinx−y x−siny. Exercice 11.0.3 ⋆⋆

Déterminer la limite lorsque(x,y)→(0, 0)de f¡

x,y¢

= x²+y²

|x| +¯

¯y¯

¯

Exercice 11.0.4 ⋆⋆

Déterminer la limite lorsque(x,y)→(0, 0)de f¡

x,y¢

=shxshy

|x| + |y| Exercice 11.0.5 ^⋆⋆

Déterminer

(x,y)lim→(0,0)

sin¡ x y¢ px²+y² Exercice 11.0.6 ⋆⋆

Soit

f(x,y)=sin⁴x+(1−cosy)² 4x⁴+y⁴ Montrer en utilisant un DL quef(x,y)−−−−−−−−→

(x,y)→(0,0)

1 4. Exercice 11.0.7 ⋆⋆

Soientf :R→Rune fonction de classe^C103/11/09 et F :

( R²\ (0, 0) −→ R

¡x,y¢

7−→ ^f(^x2+y²)−f(0) x²+y²

Déterminer lim (^x,y)→(0,0)F¡

x,y¢. Exercice 11.0.8 ⋆⋆

Soitf :R²→Rdéfinie par : f¡

x,y¢

= (₁

2x²+y²−1 six²+y²>1

−¹₂x² sinon Montrer que f est continue sur^R2.

11.0.2 Dérivées partielles

Après avoir prouvé leur existence, calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : 1. f¡

x,y¢

=ln¡ ch(x y)¢ 2. f¡

x,y¢

=x^y avecx>

0 3. f¡

x,y¢

=

argsh¡ x+y¢. 4. f¡

x,y¢

=p x²+y² 5. f¡

x,y¢

=

arctan¡

xtany¢ avec y∈R\π/2Z.

6. f ¡ x,y¢

=ycos¡ x+y¢ Exercice 11.0.10 ⋆

Soitϕ:R→Rune fonction^C1. Après avoir prouvé leur existence, déterminer les dérivées partielles d’ordre1des fonctions suivantes définies sur^R2par :

1. f(x,y)=ϕ(x+y); 2. g(x,y)=ϕ¡

x²+y²¢;

3. k(x,y)=ϕ(x y); 4. h(x,y)=Rx+y

x−yϕ(t)dt. Exercice 11.0.11 ^⋆

Soitf la fonction définie sur^R2par : f¡

x,y¢

= (_y2

x six6=0 0 six=0

1. Prouver quef admet une dérivée au point(0, 0)suivant tout vecteur de^R2. 2. Observer que néanmoinsf n’est pas continue en(0, 0).

Exercice 11.0.12 ⋆ Soitf la fonction définie sur^R2par :

f¡ x,y¢

= ( _x²_y

x⁴+y² si ^¡x,y¢ 6=0 0 si ^¡x,y¢

=0

1. Prouver quef admet une dérivée au point(0, 0)suivant tout vecteur de^R2. 2. Observer que néanmoinsf n’est pas continue en(0, 0).

Exercice 11.0.13 ⋆

On considère l’applicationf :R²7→Rdéfinie par f(x,y)=°°(x,y)°°(norme euclidienne). Étu- dier la continuité def et étudier les dérivées partielles def.

Exercice 11.0.14 ⋆

On considère une norme_k.kquelconque sur^R2et on définit f(x,y)=°°(x,y)°°. Soit^~h6=0un vecteur. Montrer queD~hf(0, 0)n’existe pas.

Exercice 11.0.15 ^⋆ Soit

f(x,y)=

(x⁴ siy>x²

y² siyÉx² Etudier la continuité def et l’existence de dérivées partielles.

Exercice 11.0.16 ⋆

La fonctionf(x,y)= |x y|^α(α>0)est-elle de classe^C1sur^R2? Exercice 11.0.17 ⋆⋆

On considère la fonctionf donnée par f¡

x,y¢

=arccos

à 1−x y p1+x²+y²+x²y²

! .

1. Calculer les dérivées partielles de f. 2. En déduire une expression simplifiée de f.

Exercice 11.0.18 ⋆ exo:2005:Feb:Mon:18:02:42

Soit la fonction de deux variables définie par :

f(x,y)=







sin(x³)−sin(y³)

x²+y² si(x,y)6=(0, 0)

0 si(x,y)=(0, 0)

Est-elle de classe^C1sur^R2? Exercice 11.0.19 ^⋆ exo:2005:Feb:Mon:18:01:10

Soit la fonctionf :R²7→Rdéfinie par f(x,y)=

(x⁴ siy>x² y² siyÉx² Étudier la continuité def et l’existence de dérivées partielles.

Exercice 11.0.20 ^⋆ Classique exo:2005:Feb:Mon:17:14:52

On considère l’application f :

½ M_n(R) −→ R

A 7−→ det(A)

a. On considère la base canonique(Ei j)1Éi,jÉn de^Mn(R). Calculer les dérivées partielles def.

b. En déduire quef est de classe^C1(E,R)et que sa différentielle en un pointA∈Eest la forme linéaire

df_A:

½ E −→ R H 7−→ Tr (eA^TH) oùeAest la comatrice deA.

Exercice 11.0.21 ^⋆ exo:2005:Feb:Mon:17:29:52

On noteE=M_n(R)etU=GLn(R)l’ensemble des matrices inversibles. On considère la fonc- tion

f :

½ U −→ M_n(R) A 7−→ A⁻¹ a. Montrer queUest un ouvert deE.

b. SoitB∈E. Montrer que pourt petit,(In+tB)est inversible et que(In+tB)⁻¹=In− tB+o(t).

c. SoitH∈Eétudier la dérivée de f selon le vecteurH.

d. Calculer les dérivées partielles de f dans la base canonique de^Mn(R)au point Aà l’aide de la comatrice deA.

e. En déduire quef est de classe^C1(U, E)et calculer sa différentielle.

Exercice 11.0.22 ⋆ exo:2005:Feb:Mon:18:46:50

Soitf :Rⁿ7→Rune fonction de classe^C1(Rⁿ,R)telle que

∀x∈Rⁿ, ∂f

∂x1

(x)=0 Montrer qu’il existeg∈C¹(Rⁿ⁻¹,R)telle que

∀(x1,x2, . . . ,xn)∈Rⁿ, f(x1,x2, . . . ,xn)=g(x2, . . . ,xn) Exercice 11.0.23 ⋆ ENS 1999

exo:2005:Feb:Mon:19:05:51

Soitf :Rⁿ7→Rune fonction de classe^C1etα∈R. On dit quef estα-homogènesi

∀X=(x1, . . . ,xn)∈Rⁿ,∀t>0, f(t x1, . . . ,t xn)=t^αf(x1, . . . ,xn) Montrer que

¡fα−homogène^¢

(i)

⇐⇒¡

∀(x1, . . . ,xn)∈Rⁿ, x1

∂f

∂x1

(x1, . . . ,xn)+ ··· +xn

∂f

∂xn

(x1, . . . ,xn)=αf(x1, . . . ,xn)¢

(ii)

Exercice 11.0.24 ^⋆ On définit une application

f :











R² −→ R

(x,y) 7−→







x ysin 1

px²+y² (x,y)6=(0, 0)

0 sinon

.

1. Montrer quef est continue sur^R2.

2. Montrer quef admet en tout point de^R2des dérivées partielles^∂f

∂x et ^∂f

∂y.

3. f est-elle de classe^C1sur^R2? Exercice 11.0.25 ⋆ Soitα∈R. On définit une application

fα:









R² −→ R

(x,y) 7−→





¡ x y

x²+y²¢α (x,y)6=(0, 0)

0 sinon

.

1. On fixe(x0,y0)∈R². Montrer que

ylim→y₀fα(x0,y)=fα(x0,y0) et lim

x→x₀fα(x,y0)=fα(x0,y0).

2. Déterminer les valeurs deαpour lesquellesfαest continue sur^R2. On prendα=¹₂dans la suite et on posef =f1

2.

3. Montrer quef possède des dérivées partielles d’ordre1à l’origine.

4. f est-elle de classe^C1sur^R2?

Exercice 11.0.26 ⋆ CCP 2011 Soitf la fonction définie par

f :





R² −→ R (x,y) 7−→

+∞X

n=0

xⁿ xⁿ+yⁿ

.

1. Déterminer et représenter le domaine de définitionDf def.

2. Montrer que la fonctionf est de classe^C1surDf en utilisant la série^X

nÊ0 zⁿ zⁿ+1. 3. Lorsque cette dérivée existe, calculer^∂f

∂x(x,y)pour(x,y)∈R²et l’écrire sous la forme d’une série de fonctions.

Exercice 11.0.27 ^⋆ Soit l’application

f :











R² −→ R

(x,y) 7−→



 x^py^q

x²+y² (x,y)6=(0, 0)

0 sinon

.

Déterminer les couples(p,q)∈N²pour lesquels : 1. f est continue sur^R2;

2. f est de classe^C1sur^R2.

Exercice 11.0.28 ^⋆

Soitf :R²→Rune application de classe^C1sur^R2.

1. SoitΘ:R→Rdéfinie parΘ(x)=f(2x,x³). Montrer queΘ est de classe^C1sur^Ret écrireΘ^′(x).

2. SoitΦ:R²→Rdéfinie parΦ(x,y)=f(2x+y,x²−y). Montrer queΦest de classe^C1 sur^R2et écrire les dérivées partielles deΦau point(x,y)∈R².

11.0.3 Différentielle

SoitEun espace euclidien muni d’un produit scalaire(.|.)etk.kla norme euclidienne associée.

Montrer que la fonctionf :

½ E −→ R

x 7−→ kxk² est différentiable en tout pointa∈Eet calculer sa différentielle.

Exercice 11.0.30 ^⋆ exo:2005:Feb:Mon:12:05:08

Soit_(E,k.k)un evn et f :

½ E −→ R

x 7−→ kxk . Montrer quef n’est pas différentiable en0E. Exercice 11.0.31 ⋆

exo:2005:Feb:Mon:12:06:28

On munitE=M_n(R)d’une norme quelconquek.ket on considère pourk∈N^⋆, l’application fk:

½ M_n(R) −→ M_n(R)

A 7−→ A^k

a. Montrer que f2est différentiable en tout pointA∈M_n(R)et calculer sa différentielle enA.

b. Même question pourfk. Exercice 11.0.32 ^⋆ exo:2005:Feb:Mon:12:39:54

On considère la fonction

f :











R² −→ R

(x,y) 7−→





 x²y

x²+y² si(x,y)6=(0, 0) 0 si(x,y)=(0, 0)

Montrer quef admet des dérivées selon tous les vecteursh=(h1,h2)non nuls ena=(0, 0)et quef n’est pas différentiable en(0, 0).

Exercice 11.0.33 ⋆ exo:2005:Feb:Mon:18:02:42

Soit la fonction de deux variables définie par :

f(x,y)=







sin(x³)−sin(y³)

x²+y² si(x,y)6=(0, 0)

0 si(x,y)=(0, 0)

Est-elle de classe^C1sur^R2?

Exercice 11.0.34 ^⋆ exo:2005:Feb:Mon:18:01:10

Soit la fonctionf :R²7→Rdéfinie par f(x,y)=

(x⁴ siy>x²

y² siyÉx² Etudier la continuité def et l’existence de dérivées partielles.

Exercice 11.0.35 ^⋆ Classique exo:2005:Feb:Mon:17:14:52

On considère l’application f :

½ M_n(R) −→ R

A 7−→ det(A)

a. On considère la base canonique(Ei j)1Éi,jÉn de^Mn(R). Calculer les dérivées partielles def.

b. En déduire quef est de classe^C1(E,R)et que sa différentielle en un pointA∈Eest la forme linéaire

df_A:

½ E −→ R H 7−→ Tr (eA^TH) oùeAest la comatrice deA.

Exercice 11.0.36 ^⋆ exo:2005:Feb:Mon:17:29:52

On noteE=M_n(R)etU=GLn(R)l’ensemble des matrices inversibles. On considère la fonc- tion

f :

½ U −→ M_n(R) A 7−→ A⁻¹ a. Montrer queUest un ouvert deE.

b. SoitB∈E. Montrer que pourt petit,(In+tB)est inversible et que(In+tB)⁻¹=In− tB+o(t).

c. SoitH∈Eétudier la dérivée def selon le vecteurH.

d. Calculer les dérivées partielles de f dans la base canonique de^Mn(R)au point Aà l’aide de la comatrice deA.

e. En déduire que f est de classe^C1(U, E)et calculer sa différentielle.

11.0.4 Fonctions de classe

Étudier la continuité, l’existence et la continuité des dérivées partielles premières def : 1. f¡

x,y¢

=

(x²y²ln¡

x²+y²¢ si^¡x,y¢ 6=0

0 si^¡x,y¢

=0 2. f¡

x,y¢

=





¡x²+y²¢ sinp ¹

x²+y² si^¡x,y¢ 6=0

0 si^¡x,y¢

=0

3. f(x,y)=







e^x4−e^y4

(x²+y²)² si(x,y)6=(0, 0)

1 si^¡x,y¢

=0 . Exercice 11.0.38 ⋆⋆

Soit la fonction de deux variables f :R²7→R définie par f(x,y)= xsiny−ysinx

x²+y² lorsque (x,y)6=(0, 0)etf(0, 0)=0. Étudier la continuité de f, l’existence et la continuité des dérivéees partielles def. La fonctionf est-elle de classe^C1sur^R2?

Exercice 11.0.39 ^⋆ Soitϕ:R→Rcontinue et

f :

½ R² −→ R

¡x,y¢

7−→ Ry x ϕ(t)dt

Montrer quef est de classe^C1sur^R2et calculer ses dérivées partielles premières.

Exercice 11.0.40 ^⋆⋆

Soitϕ:R7→Rune fonction continue. On définitf :R²7→Ren posantf(x,y)=Ry

0(x−t)ϕ(t)dt. Montrer quef est de classe^C1sur^R2et calculer les dérivées partielles def.

Exercice 11.0.41 ⋆

Soientα,β:R→Rdeux fonctions de classe^C1sur^Retg:R²→Rune fonction de classe^C1 sur^R2. Montrer que la fonction

G :

½ R −→ R

x 7−→ g(α(x),β(x)) est de classe^C1sur^Ret calculerG^′(α)pour toutα∈R.

Exercice 11.0.42 ^⋆ CCP TSI On considère la fonctionf donnée par

f(x,y)=arctanx+arctany−arctan µ x+y

1−x y

¶ .

1. Déterminer le domaine de définitionDde f et montrer qu’il est la réunion de trois ouverts de^R2.

2. Montrer quef est de classe^C1surDet calculer ses dérivées partielles^∂f

∂x et^∂f

∂y. 3. Simplifier l’expression def en admettant quef est constante sur l’ouvert non convexe

apparaissant dans son domaine de définition

Exercice 11.0.43 ⋆⋆⋆ Centrale PC 2018 Soientf :R→Rune fonction de classe^C1etF :R²→Rdonnée par :

F¡ x,y¢

=

(_f(x)−f(^y)

x−y six6=y f^′(x) sinon 1. Montrer queFest continue.

2. On suppose de plus quef est de classe^C2. Démontrer queFest de classe^C1. Indication 11.0 : On pourra se placer en (a,a)et poserϕ(t)= f(t)−(t−a)f^′(a)−

(t−a)² 2 f^′′(a).

Exercice 11.0.44 ^⋆⋆⋆ X ESPCI PC 2011

Soitf:Rⁿ→Rⁿde classe^C1telle que_∀(x,y)∈(Rⁿ)², kf(x)−f(y)k Ê kx−yk. Montrer que f réalise un^C1–difféomorphisme de^Rn sur^Rn.

Exercice 11.0.45 ^⋆⋆ X ESPCI PC 2011

Donner une condition nécessaire et suffisante sur(a,b)∈R² pour que f: (x,y)∈R²7→(x+ acosy,y+bsinx)∈R²réalise un difféomorphisme de^R2sur^R2.

Exercice 11.0.46 ⋆⋆ Centrale PC 2008

Soit f ∈C¹(R²,R). On suppose que_∀(x,y)∈(R²)², |f(x)−f(y)| É kx−yk². Montrer que f est constante.

Exercice 11.0.47 ⋆⋆ X ESPCI PC 2012

On munit^Rnde sa structure euclidienne canonique. Soitf ∈C¹(Rⁿ,R)dont toutes les dérivées partielles sont bornées par 1. Montrer que_∀(x,y)∈(Rⁿ)², |f(x)−f(y)| Ép

nkx−yk. Exercice 11.0.48 ⋆⋆ X ESPCI PC 2012

Soitf :M_n(R)→S_n(R)qui àPassociePP^T.

1. SiMappartient àGLn(R), montrer que la différentielle def enMest surjective.

2. On considère la restrictiongde f à^Sn(R). SiM∈GLn(R)∩S_n(R), la différentielle de g enMest-elle toujours surjective ?

Exercice 11.0.49 ^⋆⋆ ENS PC 2013

Soientd∈N^∗,A∈S⁺⁺_d (R). On munit^Rd de sa structure euclidienne canonique et on note^S la sphère unité de^Rd. Montrer que l’applicationΦ: (t, X0)∈R×S 7→e^tAX0∈R^d\ {0}est définie, continue et bijective.

Exercice 11.0.50 ⋆⋆ X ESPCI PC 2013

Soitf :Rⁿ→Rⁿ de classe^C1. Montrer quef est lipschitzienne sur toute boule de^Rn. Exercice 11.0.51 ⋆⋆ CCP PC 2009

Soitf :R²→Rtelle que∀(x,y)6=(0, 0), f(x,y)=p^{x y}

x²+y² etf(0, 0)=0. 1. Étudier la continuité def.

2. Déterminer ^∂f_∂x(0, 0)et^∂f_∂y(0, 0). La fonction est-elle de classe^C1sur^R2? Exercice 11.0.52 ⋆⋆ X ESPCI PC 2014

SoitF :R_n[X]→Rqui àP∈R_n[X]associeF(P)=R1

0sin(tP(t)) dt. Montrer queFest de classe C¹.

11.0.5 Dérivées de fonctions composées

Exercice 11.0.53 ^⋆

Soit f :R²→Radmettant des dérivées partielles en ses deux variables et en tout^¡x,y¢

∈R². Soit

g:

½ R −→ R t 7−→ f¡

2t, 1+t²¢ Exprimerg^′(t)en fonction des dérivées partielles^∂f_∂x et^∂f_∂y.

Exercice 11.0.54 ^⋆

Soientf :R²→Rune fonction de classe^C1et g:

½ R² −→ R

¡ρ,θ¢

7−→ f¡

ρcosθ,ρsinθ¢ . 1. Prouver quegest de classe^C1.

2. Exprimer les dérivées partielles degen fonction de celles de f. 3. Exprimer les dérivées partielles def en fonction de celles deg.

Exercice 11.0.55 ⋆

Soitf :R²→Rune fonction de classe^C1telle que :

∀t∈R, ∀¡ x,y¢

∈R², f¡

x+t,y+t¢

=f¡ x,y¢ Prouver que_∀^¡x,y¢

∈R², ^∂f_∂x¡ x,y¢

+^∂f_∂y¡ x,y¢

=0. Exercice 11.0.56 ⋆

Soitf :R²→Rune fonction de classe^C1telle que :

∀t∈R, ∀¡ x,y¢

∈R², f¡ t x,t y¢

=f¡ x,y¢ Prouver que_∀^¡x,y¢

∈R², x^∂f_∂x¡ x,y¢

+y^∂f_∂y¡ x,y¢

=0. Exercice 11.0.57 ⋆ Oral CCP 2015 On posef ¡

x,y¢

= x y

px²+y² etf(0, 0)=0. 1. Démontrer quef est continue sur^R2.

2. Démontrer quef admet des dérivées partielles en tout point de^R2. 3. f est-elle de classeC¹sur^R2? Justifier.

Exercice 11.0.58 ^⋆ Oral CCP 2015 1. Prouver que_∀(x,y)∈R²,x²+y²−x yÊ1

2(x²+y²).

2. Soientα∈Retf : R² −→ R

(x,y) 7−→





 y⁴

x²+y²−x y si (x,y)6=(0, 0)

α si (x,y)=(0, 0).

(a) Quel est le domaine de définition def ? Déterminerαpour quef soit continue sur^R2. (b) Justifier l’existence et calculer^∂f

∂x et ^∂f

∂y sur^R2\© (0, 0)ª. (c) Justifier l’existence et donner la valeur de ^∂f

∂x(0, 0)et^∂f

∂y(0, 0). (d) f est-elle de classe^C1sur^R2?

Exercice 11.0.59 ⋆ Oral CCP 2015 1. Soitf une fonction de^R2dans^R.

(a) Donner, en utilisant des quantificateurs, la définition de la continuité def en(0, 0). (b) Donner la définition de "f différentiable en(0, 0)".

2. On considère l’application définie sur^R2parf(x,y)=





x yx²−y²

x²+y² si(x,y)6=(0, 0) 0 si(x,y)=(0, 0) (a) Montrer que f est continue sur^R2.

(b) Montrer quef est de classe^C1sur^R2.

11.0.6 Fonctions de classe

Calculer, après avoir prouvé leur existence, les dérivées partielles d’ordre2des fonctions sui- vantes :

1. f¡ x,y¢

=sinxchy 2. f¡

x,y¢

=y²¡

x−y¢ 3. f¡

x,y¢

=y x²+cos¡ x²+y¢

Exercice 11.0.61 ^⋆ Soitf :R²→Rdonnée par :

f¡ x,y¢

= ( _{x y}³

x²+y² si^¡x,y¢ 6=(0, 0) 0 si^¡x,y¢

=(0, 0) 1. Montrer quef est de classe^C1sur^R2.

2. Montrer que : _∂x∂y^∂2f (0, 0)et _∂y∂x^∂2f (0, 0)existent et diffèrent. Qu’en déduire ? Exercice 11.0.62 ⋆

Soientf :R→Retϕ:R→Rde classe^C2sur^RetF :

½ R² −→ R

¡x,y¢

7−→ f ¡ x+ϕ¡

y¢¢ .