Transform´ee de Laplace et Transformation Complexe D-IRIS2-01.tex
TS 2 IRIS : Devoir n˚ 1
1)
a) D´eterminer la transform´ee de Laplace suivante : F(p) =L[t sin(3t)e−2t U(t)]
b) D´eterminer l’original suivant : f(t) =L−1
p2+p+ 7 (p+ 3)(p2+ 4)
.
2)
En utilisant la transformation de Laplace, d´eterminer les fonctions x et y de la variable t qui v´erifient le syst`eme diff´erentiel suivant :
dx(t)
dt − x(t) − y(t) = U(t) dy(t)
dt − 6x(t) − 2y(t) = 0
conditions initiales :
x(0) = 0 y(0) = 1
3)
Soitf la transformation complexe qui `a tout pointM d’affixez associe le pointM0 =f(M) d’affixe Z =f(z) tel que : z 7→ Z =f(z) = iz
z+i a) Calculer les nombres complexes u et v tels que : f(z) = u
z+i +v .
b) D´eterminer la nature de la transformationf en la d´ecomposant en transformations
´el´ementaires.
c) Sur deux figures diff´erentes, repr´esenter les images respectives par la transformation f des figures suivantes :
– D l’axe des r´eels : D7→D0 =f(D) – ∆ l’axe des imaginaires : ∆7→∆0 =f(∆)
Pr´eciser et nommer les transform´ees interm´ediaires sur chaque figure.
d) Quel est l’ensemble E des points d’affixe (1 +yi) avec y >0 r´eel.
– Repr´esenter cet ensemble E sur une troisi`eme figure.
– Repr´esenter E0 =f(E) son image par f sur cette mˆeme figure.
Donner un nom aux points remarquables et indiquer leurs affixes sur la figure.
e) D´eterminer graphiquement, en justifiant votre r´eponse, dans quel intervalle varient les arguments des affixes des points de l’ensembleE0 =f(E).
♣♦♥
♠ LATEX 2ε
Transform´ee de Laplace et Transformation Complexe D-IRIS2-01.tex
TS 2 IRIS : Devoir n˚ 1 (Solution)
1)
a) D´eterminer la transform´ee de Laplace suivante : F(p) = L[t sin(3t)e−2tU(t)]
On a les transform´ees de Laplace suivantes : L
g(t) = sin(3t)U(t) 7−→ G(p) = 3
p2+ 9
h(t) = tsin(3t)U(t) =t g(t) 7−→ H(p) = −H0(p) = 6p (p2+ 9)2 f(t) = tsin(3t)e−2tU(t) = h(t)e−2t 7−→ F(p) = H(p+ 2) = 6(p+ 2)
(p+ 2)2+ 92
F(p) = 6p+ 12) p2+ 4p+ 132
b) D´eterminer l’original suivant : f(t) =L−1
p2+p+ 7 (p+ 3)(p2+ 4)
.
F(p) = p2+p+ 7
(p+ 3)(p2+ 4) = 1
p+ 3 + 1 p2+ 4 f(t) =
e−3t+1
2sin(2t)
U(t)
2)
D´eterminer les fonctions x ety qui v´erifient le syst`eme diff´erentiel suivant :
dx(t)
dt − x(t) − y(t) = U(t) dy(t)
dt − 6x(t) − 2y(t) = 0
conditions initiales :
x(0) = 0 y(0) = 1
Avec les transform´ees de Laplace suivantes : L[x] =X et L[y] =Y
p X(p) − X(p) − Y(p) = 1 p (p Y(p)−1) − 6X(p) − 2Y(p) = 0
(p−1)X(p) − Y(p) = 1 p
−6X(p) + (p−2)X(p) = 1 On r´esout en utilisant les d´eterminants :
D=
p−1 −1
−6 p−2
= p−2
p + 1 = 2(p−1) p
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♠ 2 / 4 LATEX 2ε
Transform´ee de Laplace et Transformation Complexe D-IRIS2-01.tex
DX = 1 p −1 1 p−2
= (p−1)(p−2)−6 =p2−3p−4 = (p+ 1)(p−4)
DY =
p−1 1 p
−6 1
= (p−1) + 6
p = p2−p+ 6 p
X(p) = 2p−2
p(p+ 1)(p−4) = 1/2
p +−4/5
p+ 1 + 3/10 p−4 Y(p) = p2−p+ 6
p(p+ 1)(p−4) = −3/2
p + 8/5
p+ 1 + 9/10 p−4
x(t) = 1
2 −4
5e−t+ 3 10e4t
U(t) y(t) =
−3 2 +8
5e−t+ 9 10e4t
U(t)
3)
Soitf la transformation complexe qui `a tout pointM d’affixez associe le pointM0 =f(M) d’affixe Z =f(z) tel que : z 7→ Z =f(z) = iz
z+i a) Calculer u etv tels que : f(z) = u
z+i +v f(z) = 1 z+i +i b) D´ecomposer la transformation f en transformations ´el´ementaires.
z7−→f1 z1 =z+i7−→f2 z2 = 1 z1
f3
7−→Z =f(z) = z2+i
Ce qui signifie quef est la compos´ee de f1,f2 etf3 successivement dans cet ordre.
z 7−→ Z =f(z) =f3
f2 f1(z) Avec :
f1 Translation de vecteur d’affixe (i) f2 Inversion Complexe
f3 =f1 Translation de vecteur d’affixe (i)
c) Sur deux figures diff´erentes, repr´esenter les images respectives par la transformation f des figures suivantes :
– D l’axe des r´eels : D7→D0 =f(D) – ∆ l’axe des imaginaires : ∆7→∆0 =f(∆)
Pr´eciser et nommer les transform´ees interm´ediaires sur chaque figure.
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♠ 3 / 4 LATEX 2ε
Transform´ee de Laplace et Transformation Complexe D-IRIS2-01.tex
D7−→f1 D1 7−→f2 D2 7−→f3 D0 =f(D) et ∆7−→f1 ∆1 7−→f2 ∆2 7−→f3 ∆0 =f(∆)
D 1
i D1
D2 D0
∆ = ∆1 = ∆2 = ∆0
1 i
d) Quel est l’ensemble E des points d’affixe (1 +yi) avec y >0 r´eel.
E est la demie droite verticale x= 1 et y >0 – Repr´esenter cet ensemble E sur une troisi`eme figure.
– Repr´esenter E0 =f(E) son image par f sur cette mˆeme figure.
Donner un nom aux points remarquables et indiquer leurs affixes sur la figure.
E 7−→f1 E1 7−→f2 E2 7−→f3 E0 =f(E)
R iR
1 i
E E1
E3
E0
e) D´eterminer graphiquement, en justifiant votre r´eponse, dans quel intervalle varient les arguments des affixes des points de l’ensembleE0 =f(E).
L’intervalle dans lequel varient les arguments des affixes des points de l’ensemble E0 est visualis´e en jaune sur la figure :
Si z ∈E0 =f(E) alors π
4 <arg(z)< π 2
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♠ 4 / 4 LATEX 2ε
