Th´ eor` eme d’inversion locale et ´ etudes locales de fonctions

Ecole Normale Sup´´ erieure – FIMFA – Ann´ee 2010-2011 Travaux dirig´es de Topologie et Calcul diff´erentiel Franc¸ois B´eguin

Feuille d’exercices n

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Th´ eor` eme d’inversion locale et ´ etudes locales de fonctions

1 -

SoitF =C⁰([0,1],R) muni de la norme de la convergence uniforme, etEle sous-espace ferm´e deC²([0,1],R) des fonctions qui s’annulent en 0 et 1, muni de la norme kykE = ky⁰⁰k∞+ky⁰k∞+kyk∞. On se donne deux fonctions h et k r´eelles continues sur [0,1], et on consid`ere l’application φ : E → F d´efinie par φ(y) =y⁰⁰+hy⁰²+ky².

1. Montrer que l’applicationψ:E×E→F d´efinie parψ(y, z) =h·y⁰·z⁰+k·y·z est bilin´eaire continue.

2. Montrer queφest de classeC¹ surE et calculer la diff´erentielledφ₍₀₎ deφen 0.

3. En d´eduire qu’il existe >0 tel que, pour toute fonctionf ∈F v´erifiant kfk∞ < , il existey ∈E tel queφ(y) =f, c’est-`a-dire une solution de l’´equation diff´erentielley⁰⁰+h(x)y⁰²+k(x)y²=f(x) qui s’annule en 0 et en 1.

2 -

Soit P ∈ C[X] est un polynˆome non constant, et S l’ensemble des z´eros de P⁰. En consid´erantC\P(S), montrer queP(C) =C. On utilisera le th´eor`eme d’inversion locale et un argument de connexit´e.

3 -

On munitRⁿde sa norme euclidienne. Rappelons quef :Rⁿ→Rⁿest uneisom´etriesi, pour tousx, y∈Rⁿ, kf(y)−f(x)k=ky−xk. Soitf une application de classeC² deRⁿ dans lui-mˆeme. On va montrer qu’une isom´etrie est n´ec´essairement affine.

1. Que peut on dire de la diff´erentielle de f ?

2. Montrer que pour tout h, k, l∈Rⁿ, et pour toutx∈Rⁿ, on a D

d⁽²⁾f(x).(h, l), df(x).kE +D

df(x).h , d⁽²⁾f(x).(k, l)E

= 0.

.

3. On noteg(h, k, l) =

d⁽²⁾f(x).(h, l), df(x).k

. D´eduire de la question pr´ec´edente queg(h, k, l) =−g(k, h, l) puis montrer que g(h, k, l) = 0.

4. Montrer quedf(x) est un isomorphisme, puis que d⁽²⁾f(x) = 0.

5. Conclure quef est affine.

4 -

1. (Lemme de r´eduction r´eguli`ere des formes quadratiques) On note S<sub>n</sub>(R) l’espace des matrices carr´ees sym´etriques r´eelles de taille n. On fixe une matrice A<sub>0</sub> ∈ S<sub>n</sub>(R) inversible, et on consid`ere l’application φ : Mn(R) → Sn(R), d´efinie par φ(M) = ^tM A0M. Montrer que φ est C^∞ ; calculer dφ(I), v´erifier qu’elle est surjective et trouver son noyau. En d´eduire qu’il existe un voisinageV deA0 dansSn(R) et une applicationA7→P(A) de classeC^∞deV dansGLn(R), avecP(A0) =I, telle queA=^tP(A)A0P(A) pour tout A∈V.

2. Soit U un ouvert de Rⁿ contenant 0 et f ∈ C³(U;R). On suppose que f(0) = 0, df(0) = 0 et que d⁽²⁾f(0) est une forme bilin´eaire sym´etrique non d´eg´en´er´ee, de signature (p, n−p). Montrer qu’il existe un diff´eomorphismeϕ:x7→ude classeC¹ d’un voisinage de 0 sur un voisinage de 0 dansRⁿ, avecϕ(0) = 0, tel que f(x) =u²₁+· · ·+u²_p−u²_p+1− · · · −u²_n au voisinage de l’origine.

Indication. On commencera par ´ecriref(x) =P

i,ja_i,j(x)x_ix_j avec des fonctionsa_i,j de classeC¹.

3.(Une application classique)Montrer que les points critiques non d´eg´en´er´es d’une fonctionf ∈C³(Rⁿ;R) sont isol´es.

5 -

SoitU un ouvert non vide deRⁿ,F, g1, . . . , gk∈C¹(U;R) (aveck < n). On noteZ l’ensemble suivant : Z :=n

x∈U | g₁(x) =· · ·=g_k(x) = 0o .

On suppose qu’en tout pointx∈Z, les formes lin´eairesdg1(x), . . . , dgk(x) sont lin´eairement ind´ependantes¹. On noteg:= (g1, . . . , gk).

1. On suppose que le point a ∈ Z est un extremum local de la restriction de F `a Z. On va montrer l’existence de coefficients r´eelsλ1, . . . , λk, appel´esmultiplicateurs de Lagrange, tels que la relation suivante soit satisfaite :

dF(a) =

k

X

i=1

λ_idg_i(a).

a. Montrer qu’il existe une base deRⁿ et un voisinage ouvert V de ainclus dans U dans lesquelsZ se repr´esente sous la forme :

Z=n

(x1, . . . , xn)∈Rⁿ | (x1, . . . , xk) =ϕ(xk+1, . . . , xn)o ,

pour une certaine application de classeC¹ d´efinie au voisinage de α := (ak+1, . . . , an), o`u a s’´ecrit (a1, . . . , an) dans la base.

b. Montrer que Kerdg(a) =n

(h₁, . . . , h_n)∈Rⁿ | (h₁, . . . , h_k) =dϕ_α(h_k+1, . . . , h_n)o . c. En d´eduire que Kerdg(a)⊂KerdF(a). Conclure.

2. L’espace tangent ena`aZ est l’espace affineTaZ :=a+ Kerdg(a). On appelle Hessienne deF ena, not´ee Hessa(F), la restriction `aTaZde la forme bilin´eaired⁽²⁾F(a)−Pk

i=1λid⁽²⁾gi(a). Montrer que si Hessa(F) est d´efinie positive, alorsaest un maximum (local) strict deF restreint `aZ. Que peut-on dire de la r´eciproque?

1ceci ´etablit queZest une sous-vari´et´e deRⁿ

3.(Un exemple d’application)Montrer que, pour pour tous r´eelsx, y, z on a

|xyz|≤ 1 9√

3(|x|+|y|+|z|)²(x²+y²+z²)^1/2. Indication: on pourra introduire la fonctionf : [0,+∞[³→Rd´efinie par

f(x, y, z) = xyz

(x+y+z)² si (x, y, z)6= (0,0,0) f(0,0,0) = 0

et appliquer le th´eor`eme des extrema li´es `a un compact bien choisi.

6 -

On rappelle que le support d’une fonctionf :R→Rest l’adh´erence def⁻¹(R\ {0}). Dans cet exercice, on souhaite montrer le r´esultat suivant :

Soit (cn)n∈Nune suite de r´eels,Iun voisinage ouvert de 0 dansR. Il existef ∈C^∞(I), `a support dansI, tel que

∀n∈N, f⁽ⁿ⁾(0) =c_n.

1. Montrer l’existence d’une fonctionϕ∈C^∞(R), `a support dans ]−1,1[, qui vaut 1 au voisinage de 0.

2. On introduit, pourεn suffisamment petit pour que ]−εn, εn[⊂I, la fonction gn(x) =cnϕ

x ε_n

xⁿ n!. Montrer que siεn est assez petit, on a

g^(α)n (x)

≤2⁻ⁿ surR, siα∈ {0, . . . , n−1}.

3. Conclure, en utilisant la fonctionf(x) :=

+∞

P

n=0

gn(x).

7 -

SoitF un ferm´e de Rⁿ. Un th´eor`eme de Whitney ´etablit queF est le lieu des z´eros d’une fonction r´eelle de classeC<sup>∞</sup>, c’est-`a-dire qu’il existe une fonctionf :Rⁿ→Rde classeC^∞ telle queF =f⁻¹({0}).

1. Montrer qu’il existe une famille d´enombrable de boules (B_i)_i∈I et d’applications f_i ∈C^∞(Rⁿ;R) telles queF =Rⁿ−S

i∈IB_i,et pour tout i∈I, on a n

x∈Rⁿ | f_i(x) = 0o

=Rⁿ−B_i.

2. Construire l’applicationf recherch´ee `a partir desfi.