www.etude-generale.com TCSI Matière : Mathématiques
Professeur : Yahya MATIOUI
Le produit scalaire dans le plan
Le produit scalaire de deux vecteurs
La norme du vecteur
Dé…nition 1 Soit un vecteur !u et deux points A et B tels que !u = AB:! La norme du vecteur !u, notée k!uk est la distance AB:
Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires.
Dé…nition 2 Soient !u et !v deux vecteurs colinéaires. On appelle produit scalaire de deux vecteurs !u et !v , le nombre réel noté !u :!v :
Si les veteurs !u et !v sont de même sens alors : !u :!v =k!uk k!v k:
Si les vecteurs !u et !v sont de sens contraires alors : !u :!v = k!uk k!vk:
Formule trigonométrique du produit scalaire
Dé…nition 3 Soient A, B et C trois points du plan tels que A 6=C et A 6=B:
Le produit scalaire de deux vecteurs AB! et AC! est le nombre : AB:!AC!=AB AC cos(BAC[):
Soient !u et !v deux vecteurs non nuls, le produit scalaire de deux vecteurs !u et !v est le nombre :
!u :!v =k!uk k!vk cos !u ;!v
Exemple 4 Soit ABC un triangle tel que AB = 3 et AC = 2 et BAC[ = 4: Calculer AB:!AC:!
On a d’après la formule trigonométrique du produit scalaire : AB:!AC! = AB AC cos(BAC)[
= 3 2 cos 4
= 6 p2
2 = 3p 2
Exemple 5 Soient !u et !v deux vecteurs tels que : !u ;!v 3 [2 ] et k!uk = 2 et k!v k= 4. Calculer !u :!v :
!u :!v = k!uk k!v k cos !u ;!v
= 2 4 cos(
3)
= 4
Vecteurs orthogonaux
Propriété 6 Soient !u et !v deux vecteurs non nuls.
Les vecteurs !u et !v sont orthogonaux si et seulement si !u :!v = 0:
Propriétés du produit scalaire
Propriété 7 Soient !u ; !v et !w trois vecteurs et pour tout k dans R on a :
!u :!v =!v :!u (On dit que le produit scalaire est commutatif):
(!u +!v )!w =!u :!w +!v :!w et (k:!u):!v = !u :(k:!v ) = k:(!u :!v ): (Linéarité du produit scalaire):
!u :!u =!u2 =k!uk2 (c’est un nombre positif):
Conclusion 8 on conclut les résultats suivants :
1. (!u +!v)2 =!u2+ 2!u :!v +!v 2 =k!uk2+ 2!u :!v +k!v k2 2. (!u !v )2 =!u2 2!u :!v +!v2 =k!uk2 2!u :!v +k!v k2 3. !u :!v = 12h
k!u +!vk2 k!uk2 k!v k2i
4. (!u +!v)(!u !v ) =!u2 !v 2 =k!uk2 k!vk2
Exemple 9 Soient !u et !v deux vecteurs tels que : !u :!v = 5 et k!uk= 3 et k!v k= 2:
! ! ! ! !
Applications du produit scalaire
Les relations métriques dans le triangle rectangle
Le triangle ABC ci-dessous est rectangle enA et [AH]la hauteur.
Théorème 10 (P ythagore) Si ABC est rectangle en A alors BC2 =AB2+AC2.
BC2 =BC!2 = (BA!+AC)! 2 =BA!2+ 2BA:!AC!+AC!2 =BA2+AC2 =AB2+AC2 Autre résultats
BA2 =BH BC et CA2 =CH BC et AH2 =HB HC et AB AC =AH BC
Théorème d’Al Kashi
Soit ABC un triangle. Calculer BC2 en fonction de AB etAC et cos A :b
On commence par BC2 :
BC2 = BC!2
= (BA!+AC)! 2
= BA!2+ 2BA:!AC!+AC!2
= BA2 2 ! AB: !
AC+AC2
= BA2+AC2 2AB:AC:cos(A)b
Théorème 11 Dans un triangle ABC, on a : BC2 =BA2+AC2 2AB:AC:cos(A):b Par la même façon on obtient : AC2 =AB2+BC2 2AB:BC:cos(Bb)etAB2 =AC2+ BC2 2AC:BC:cos(C)b
Exemple 12 Soit ABC un triangle tel que : AC = 2 et AB =p
3 et Ab= 6: Calculer BC et cos(C):b
On a d’apès le théorème d’AL Kashi :
BC2 = BA2+AC2 2AB:AC:cos(A)b
= (p
3)2+ 22 2 p
3 2 cos(
6)
= 3 + 4 4p 3
p3 2
= 1 Donc : BC = 1:
On a d’après le théorème d’AL Kashi dans le triangle ABC :
AB2 =AC2+BC2 2AC:BC:cos(C)b () cos(C) =b AC2+BC2 AB2
2AC:BC = 22+ 12 (p 3)2 2 2 1 = 1
2 Donc :Cb= 3:
Théorème de la médiane
Soit ABM un triangle et I est le milieu de[AB]: CalculerM B2+M A2 en fonction de AB etM I:
M
B
A I
M B2+M A2 = M B!2+M A!2
= ( ! M I+ !
IB)2 + ( ! M I+ !
IA)2
= M I!2+ 2M I:!IB!+IB!2+M I!2+ 2M I:!IA!+IA!2
= 2 !
M I2+ 2 ! M I(!
IB+ !
| {z }IA
=!0
) + 2 !
IB2 ; ! IB=
AB! 2
!
= 2M I!2+1 2
AB!2
= 2M I2+1 AB2
Théorème 13 Soit ABM un triangle si I est le milieu de[AB] alors : M B2+M A2 = 2M I2+1
2AB2
Exemple 14 Soit ABC un triangle et K est le milieu de [AB]: On donne : BC = 5, AC = 7 et AB= 8: Calculer CK:
On a d’après le théorème de la médiane dans le triangle ABC : CA2+CB2 = 2CK2 +AB2
2
() 2CK2 =CA2+CB2 AB2 2 () CK2 = CA2+CB2 AB22
2 () CK2 = 72+ 52 642
2 = 21 Donc : CK =p
21:
FIN
Pr : Yahya MATIOUI
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