Solution : D'après la formule de Cartan, L X ω = di X ω + i X dω = d(i X ω) car ω est de degré maximal. La formule de Stokes nous dit alors que

1. Finir l'exercice 2 du TD précédent 2. Intégration et dérivée de Lie

Soit M une variété compacte de dimensionn,ω une forme diérentielle de degrén surM et X un champ de vecteurs surM. Montrer que

Z

M

L_Xω= 0.

Solution :

D'après la formule de Cartan, L_Xω =di_Xω+i_Xdω =d(i_Xω)car ωest de degré maximal.

La formule de Stokes nous dit alors que Z

M

L_Xω = Z

M

d(i_Xω) = 0.

3. Bouteille de Klein

On identieS¹ àR/2πZet on considèreT² =S¹×S¹. On introduitσ:T² →T² : (θ, ϕ)7→

(−θ, ϕ+π).

1 Montrer queK =T²/hId, σi a une structure naturelle de variété de classe C^∞. 2 Si K est orientable, montrer qu'on peut en déduire une orientation de T² préservée

par σ. En déduire que K n'est pas orientable.

3 En admettant que T² et S² ne sont pas diéomorphes, montrer que K n'est pas diéomorphe à P²(R). On pourra identier S² (resp. T²) au bré des orientations de P²(R) (resp. K).

Solution :

1 L'automorphisme σ est sans point xe car il change toujours la seconde coordonnée.

Le groupe hId, σiagit donc librement. Il agit de plus proprement car c'est un groupe ni. Le quotient admet donc une structure de variété de classe C^∞.

2 Notons π l'application quotient. Supposons par l'absurde que K est orientable et xons une orientation de K. Comme π est un diéomorphisme local, elle induit une orientation de T². Quitte à changer d'orientation, on peut supposer que c'est l'orientation canonique deT² (i.e. l'orientation produit où les orientations des facteurs sont induites par l'orientation canonique de R). Alors, comme π◦σ =π,σ préserve l'orientation deT². Cependant, lu dans des cartes orientées adéquates,σ :]−π;π[×]− π;π[→]−π;π[×]0; 2π[ a pour expression(θ, ϕ)7→(−θ, ϕ+π)qui est de déterminant

−1 donc négatif. L'automorphisme σ ne préserve donc pas l'orientation de T². C'est absurde.

3 Si X est une variété, on dénit son bré des orientations Xe comme l'ensemble des couples(x, o)oùxest dansX etoest une orientation de T_xM. On munit aisémentXe d'une structure de variété rendant lisse la projection canonique Xe →X. On montre alors que si Y est une variété lisse orientée, munie d'une action libre deZ/2Zqui ne respecte pas l'orientation, alorsY s'identie au bré des orientations de son quotient pour cette action. On conclut en appliquant ce résultat pour Y =S² et Y =T². 4. Volume d'un quotient

Soit X une variété compacte de dimension n. Soit G un groupe ni agissant librement par C^∞-diéomorphismes surM. On note p:X →X/G le quotient.

1 Si X/G est orientée, montrer queX est munie d'une orientation naturelle.

2 Soitω une n-forme diérentielle sur X/G. Montrer que : Z

X

p^∗ω=|G|

Z

X/G

ω.

On pourra commencer par traiter le cas où ω a support inclus dans un ouvert su- samment petit de X/G.

Solution :

1 On va prendre pour cartes orientées de X les cartes construites comme suit. Soit x ∈ X, et U, V des voisinages de x et p(x) tels que p réalise un diéomorphisme U → V. Quitte à réduire U et V, on peut supposer qu'il existe une carte orientée ϕ:V →Rⁿ deX/G. Alors ϕ◦p:V →Rⁿ est une carte orientée de X.

Il faut vérier que les changements de carte ont jacobien positif. Mais le jacobien en un point x du changement de carte entre les cartes ϕ◦p et ψ ◦p coïncide avec le jacobien en p(x) du changement de carte entre les cartes ϕ et ψ, qui est positif car les cartes ϕetψ sont des cartes orientées de X/G.

2 Soit y ∈ X/G, et p⁻¹(y) = {x1, . . . , x|G|}. Comme p est un diéomorphisme local, si U_y est un voisinage susament petit de y, p⁻¹(U_y) est réunion disjointe de |G|

ouverts U_y¹, . . . , Uy^|G| diéomorphes parp àU_y et voisinages respectifs de x₁, . . . , x|G|. Les U_y forment un recouvrement ouvert de X/G. Par compacité, on extrait un re- couvrement ni U₁, . . . , U_r (et on note p⁻¹(U_j) = U_j¹ ∪ · · · ∪U_j^|G|). On choisit une partition de l'unité χ_j adaptée au recouvrement ouvertU_j. On écrit alors :

Z

X

p^∗ω =X

j

Z

X

p^∗(χjω) = X

j

|G|

X

i=1

Z

U_jⁱ

p^∗(χjω).

Comme pinduit un diéomorphisme U_jⁱ →Uj, il vient : Z

X

p^∗ω=X

j

|G|

Z

Uj

χ_jω=|G|X

j

Z

X/G

χ_jω =|G|

Z

X/G

ω.

5. Divergence d'un champ de vecteurs

Soit M une variété diérentielle de dimension n, X un champ de vecteurs sur M etω une forme volume sur M. Désignons par div(X) la divergence du champ X par rapport à la forme ω : il s'agit d'une fonction surM dénie par d(i(X)ω) = div(X)ω. Montrer que le ot du champ X préserve la forme ω si et seulement si la divergence de X est nulle.

Calculer la divergence d'un champ X par rapport à la forme volume canonique dx₁ ∧ . . .∧ dx_n.

Solution :

La formule de Cartan donne que L_ξω = di_ξω +i_ξdω. Ici, ω est de degré maximal, donc dω = 0, si bien que L_ξω = d(i_ξω) = div(ξ)ω. Mais rappelons qu'une des dénitions de Lξω est _dt|t=0^d (ϕt)^∗ω, où ϕt est le ot de ξ. Ainsi, ω est invariante le long du ot si et seulement si Lξω = 0, i.e. si et seulement si div(ξ) = 0.

Si ω= dx₁∧. . .∧ dx_n, alors

i_ξω(x).(η₂, . . . , η_n) =

n

X

i=1

ξ_i X

σ∈Sn,σ(1)=i

ε(σ)η_2σ(2). . . η_nσ(n).

Ainsi,

i_ξω=

n

X

i=1

(−1)ⁱ⁻¹ξ₁dx₁∧. . .ddx_i∧. . . dx_n. En dérivant, on trouve

d(i_ξω) =

n

X

i=1

∂ξ_i

∂x_i dx₁∧. . .∧ dx_n, i.e. div(ξ) = P∂ξi

∂xi : on retrouve la divergence habituelle.

6. Orientabilité et formes volume

1 Soitf :Rⁿ→R une submersion, etX la sous-variété de Rⁿ dénie parX =f⁻¹(0). Montrer que X est orientable.

2 Même question avec f :Rⁿ →R^p.

3 Une sous-variété d'une variété orientable est-elle orientable ?

4 Une sous-variété orientable d'une variété orientée a-t-elle une orientation "naturelle"

(à l'instar du bord d'un domaine régulier d'une variété orientée) ?

Solution :

1 On dénit une forme volume surX(qui est de dimensionn−1) parω(x)[v₁, . . . , vn−1] = det(∇_xf, v₁, . . . , vn−1). Cela dénit bien une(n−1)-forme surX car c'est restriction d'une (n−1)-forme sur Rⁿ qui est clairement C^∞. Elle ne s'annule jamais : en eet,

∇_xf est orthogonal à kerd_xf = T_xM, et donc si v₁, . . . , vn−1 est une base de T_xM, ω(x)[v₁, . . . , vn−1]6= 0.

2 On notef = (f₁, . . . , f_p)oùf_i :Rⁿ →R. On dénit une forme volume surX (qui est de dimension n −p) par ω(x)[v₁, . . . , vn−p] = det(∇_xf₁, . . . ,∇_xf_p, v₁, . . . , vn−1), qui est bien une(n−p)-forme surXcomme précédemment. De même que précédemment, les ∇_xf_i sont dans l'orthogonal de T_xM, et ils forment une famille libre car d_xf = (h∇_xf₁,·i, . . . ,h∇_xf_p,·i) est surjective. Ainsi, ω ne s'annule pas sur X.

3 Non en général : prendre par exemple un ruban de Möbius plongé dans R³.

4 SoitM une variété orientée. Pour avoir une notion d'orientation "naturelle" des sous- variétés, on pourrait par exemple demander que l'orientation de ces sous-variétés soit préservée par les diéomorphismes de M qui préservent l'orientation de M. Cela est impossible dans le cas de la sphèreS²par exemple, en considérant un méridien comme sous-variété et la rotation d'angle π selon l'axe des pôles comme diéomorphisme : ce diéomorphisme préserve l'orientation de S² mais pas celle du méridien.

On pourrait sinon demander à ce que cette notion d'orientation naturelle coïncident avec celle induite par la variété pour les domaines à bord inclus dans M. Une fois de plus, la sphère S² et un grand cercle fournit un contre-exemple : l'orientation induite sur le grand cercle par les deux hémisphères n'est pas la même.

7. Sommes de normales

On considère la sphère unité S² ⊂ R³. Soit M une partie de S² délimitée par une sous- variété de dimension 1 fermée ∂M deS², de sorte que M est une variété à bord de bord

∂M.

On munit M et ∂M des formes volumes canoniques, qu'on note da et ds. Si x ∈ S², on note N(x)le vecteur normal unitaire sortant. Six∈∂M, on noten(x)le vecteur tangent à la sphère en xqui est le vecteur normal unitaire sortant à ∂M.

Montrer que :

Z

∂M

n(x)ds+ 2 Z Z

M

N(x)da= 0.

Solution :

On va considérer des formes diérentielles à valeurs dansR³. Les formules usuelles restent valables en raisonnant coordonnées par coordonnées dans R³.

Introduisons la 1-forme diérentielle ω sur R³ donnée par ωx(v) =−x×v, où × désigne le produit vectoriel. En particulier, on vérie que ω|∂M =n(x)ds.

Introduisons la 2-forme diérentielle α surR³ donnée par αx(v1, v2) = v1×v2. En parti- culier, on vérie que α|_M =N(x)da.

On calcule de plus que dω=−2α. Par exemple, la première coordonnée de ω est donnée parx₃dx₂−x₂dx₃, de sorte que la première coordonnée de dωest donnée par−2dx₂∧dx₃. Mais la première coordonnée de α est bien dx2∧dx3.

On applique alors le théorème de Stokes : R

∂Mn(x)ds =R

∂Mω =RR

M dω =−2RR

Mα =

−2RR

M N(x)da