Université Lille 1 UFR de Mathématiques Licence de Mathématiques (S5, année ) M305 : ANALYSE COMPLEXE

Université Lille 1 — UFR de Mathématiques Licence de Mathématiques (S5, année 2005–2006)

M305 : ANALYSE COMPLEXE

EXAMEN (PARTIEL) DU 9 NOVEMBRE 2005 (durée : 2 Heures)

Ni documents ni calculatrices Responsable : Jean-François Burnol

1 Exercice

1.1 On considère la série entière : F(w) = 2w+2

3w³+2

5w⁵+· · ·= X∞ j=0

2w^2j+1 2j+ 1

Déterminer le rayon de convergence de cette série.

1.2 On suppose |w|<1. Prouver :F(w) = Log(1 +w)−Log(1−w).

1.3 On suppose|w|<1etIm(w)≥0. Prouver0≤Arg(1+w)< ^π₂ et−^π2 <Arg(1−w)≤0.

Quelles sont les inégalités lorsqueIm(w)≤0? Montrer :

|w|<1 =⇒ |Arg(1 +w)−Arg(1−w)|< π

1.4 On suppose |w|<1. Justifier :F(w) = Log(1 +w 1−w).

1.5 On suppose|w|<1et on posez= ^1+w₁−w. Montrer|z−1|<|z+1|. En déduireRe(z)>0.

1.6 Réciproquement montrer que pour toutz avecRe(z)>0 il existe un uniquewtel que z= ¹⁺₁₋^w_w. Exprimer w en fonction dez et prouver|w|<1.

1.7 En déduire : Re(z)>0 =⇒ Logz= 2 X∞ j=0

1

2j+ 1(z−1 z+ 1)^2j+1.

1.8 En déduire : 2 (1 3+ 1

81)<Log 2<2 (1 3 + 1

72).

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Soit z la détermination principale de la racine carrée sur l’ouvertΩ =C\]− ∞,0], c’est- à-dire√z= exp(¹₂Logz).

2.1 Que vaut√

i ? Que vaut√

−i ?

2.2 Soit γ: [0,^π₂]→Ω,θ7→γ(θ) = cos(θ) +isin(θ). Calculer R

γ

√z dz.

2.3 Montrer que √z possède une primitive F sur Ω que l’on déterminera explicitement sous la condition F(1) = ²₃.

2.4 Soit Γ : [0,2π]→Ω,t7→2i+e^it. Que vautR

Γ

√z dz?

3 Exercice

Dans cet exercice on se donne, sur un ouvertU ⊂C, une fonctionf à valeurs complexes. On supposera que les dérivées partielles jusqu’au deuxième ordre ^∂f_∂x, ^∂f_∂y, ^∂_∂x^2f₂, ^∂_∂y^2f₂, _∂x∂y^∂2f = _∂y∂x^∂2f existent et sont des fonctions continues de z=x+iy.

Soit ∆ = _∂x^∂2₂ + _∂y^∂2₂ le « Laplacien ». On rappelle que l’on dit qu’une fonction F est har- monique sur un ouvert U si elle admet des dérivées partielles continues jusqu’au deuxième ordre et si∆F = 0 sur U.

3.1 Soit gla fonction z7→g(z) =zf(z). Prouver :

∆g= 2∂f

∂x+ 2i∂f

∂y + (x+iy)∆f

3.2 Prouver que f est holomorphe sur U si et seulement si à la foisf etg =zf sont des fonctions harmoniques surU.

1

Université Lille 1 — UFR de Mathématiques Licence de Mathématiques (S5, année 2005–2006)

L305 : ANALYSE COMPLEXE

CORRIGÉ de l’examen du 9 novembre 2005

Responsable : Jean-François Burnol

1 Exercice

1.1 On considère la série entière : F(w) = 2w+2

3w³+2

5w⁵+· · ·=

∞

X

j=0

2w^2j+1 2j+ 1

Déterminer le rayon de convergence de cette série.

corr.: Pour |w| >1 on a lim_j→∞ ^2|₂^w_j^|₊₁^2j+1 = ∞ donc le rayon de convergence est au plus 1. Pour |w|<1 on a lim_j→∞ ^2|₂^w_j^|₊₁^2j+1 = 0donc le rayon de convergence est au moins 1. Le rayon de convergence est 1.

1.2 On suppose|w|<1. Prouver :F(w) = Log(1 +w)−Log(1−w).

corr.: On sait que |w| < 1 =⇒ Log(1 +w) = P_∞

k=1(−1)^k−1w_k^k. Donc −Log(1−w) = +P_∞

k=1 w^k

k . Dans la somme les exposantskpairs donnent des contributions opposées. Il ne reste que les exposants impairsk= 2j+1,j∈N. Et on trouve bienLog(1+w)−Log(1−w) = 2P_∞

j=0w^2j+1 2j+1.

1.3 On suppose|w|< 1 et Im(w)≥ 0. Prouver 0 ≤Arg(1 +w)< ^π₂ et −^π2 <Arg(1−w) ≤0.

Quelles sont les inégalités lorsqueIm(w)≤0? Montrer :

|w|<1 =⇒ |Arg(1 +w)−Arg(1−w)|< π

corr.:Le nombre complexe w^′ = 1 +wvérifie, lorsque |w|<1 etIm(w)≥0 :Im(w^′) ≥0 et Re(w^′) > 0. Sa coordonnée polaire angulaire est donc comprise entre zéro et ^π₂. Donc 0≤Arg(1 +w) < ^π₂. Par contrew^′′= 1−w est lui situé dans le quadrant Im(w^′′)≤0 et Re(w^′′) >0 et a donc une coordonnée polaire angulaire dans ]− ^π2,0]. LorsqueIm(w) ≤0 les inégalités sont par le même argument 0 ≤ Arg(1−w) < ^π₂ et −^π2 <Arg(1 +w) ≤ 0.

Licence de Mathématiques (S5, troisième année) L305 « Analyse Complexe »

0≤Arg(1−w)−Arg(1 +w)< π. Dans tous les cas|Arg(1 +w)−Arg(1−w)|< π.

1.4 On suppose|w|<1. Justifier :F(w) = Log(1 +w 1−w).

corr.: On a exp(F(w)) = exp(Log(1 +w)) exp(−Log(1−w)) = (1 +w)(1−w)⁻¹. Et la partie imaginaire de F(w) est Arg(1 +w)−Arg(1−w) donc par la question précédente dans]−π,+π[. Par définition deLog cela veut effectivement dire queF(w) = Log(¹⁺₁₋^w_w).

1.5 On suppose|w|<1 et on posez= ¹⁺₁₋^w_w. Montrer|z−1|<|z+ 1|. En déduireRe(z)>0.

corr.:On az−1 = ₁²₋^w_w etz+ 1 = ₁₋²_w donc|z−1|=|w||z+ 1|. L’éventualité z+ 1 = 0 est exclue car elle donnerait 0 = ₁₋²_w, donc 0 = 2. Donc z+ 1est non nul et |w|<1 =⇒

|z−1| = |w||z+ 1| <|z+ 1|. Dans le plan complexe les points équidistants de −1 et de +1sont ceux de la médiatrice du segment[−1,+1], c’est-à-dire l’axe imaginaire. Les points plus proches de 1 que de−1sont ceux du demi-plan à droite de la médiatrice, c’est-à-dire Re(z)>0.

1.6 Réciproquement montrer que pour toutzavecRe(z)>0il existe un uniquewtel quez=^1+w_1−w. Exprimerwen fonction dezet prouver |w|<1.

corr.:L’égalité, pourz fixé,z= ¹⁺₁₋^w_w équivaut à z−zw= 1 +w(car w= 1 est impossible siz−zw= 1 +w), qui équivaut àz−1 = (z+ 1)w, qui équivaut lorsquez6=−1àw= ^z_z⁻₊₁¹. Donc effectivement lorsque z 6= −1, il existe un unique w et il est donné par la formule w= ^z_z⁻₊₁¹. LorsqueRe(z)>0on a expliqué dans la réponse précédente que|z−1|<|z+ 1| donc effectivement|w|<1.

1.7 En déduire : Re(z)>0 =⇒ Logz= 2

∞

X

j=0

1

2j+ 1(z−1 z+ 1)^2j+1.

corr.: Par la question précédente en posant w = ^z_z⁻₊₁¹, on a |w| < 1 et z = ¹⁺₁₋^w_w. Donc Log(z) = F(w) et il suffit de remplacer dans la définition deF(w) le nombre complexew par ^z_z⁻₊₁¹ d’où la formule demandée.

1.8 En déduire :2 (1 3+ 1

81)<Log 2<2 (1 3 + 1

72).

corr.:Pourz= 2on aw= ¹₃. La série est à termes positifs. On peut minorer (strictement) sa somme par les deux premiers termes ce qui donne 2¹₃ + 2¹₃(¹₃)³ = 2 (¹₃ + ₈₁¹). Pour la majoration, qui sera stricte, on remplace _2j²₊₁(¹₃)^2j+1pourj≥1par ²₃(¹₃)^2j+1= 2¹₉(¹₉)^j. La somme infinieP

j≥1 2

2j+1(¹₃)^2j+1 est donc strictement inférieure à2¹₉P

j≥1(¹₉)^j = 2¹₉

1 9

1−¹9

= 2₇₂¹, d’où la majorationLog 2<2 (¹₃+₇₂¹). On prendra note que si l’on calcule explicitement ces inégalités donnent les deux premières décimales deLog 2 = 0,693147. . ..

3

2 Exercice

Soit √

z la détermination principale de la racine carrée sur l’ouvert Ω = C\]− ∞,0], c’est-à-dire

√z= exp(¹₂Logz).

2.1 Que vaut√

i ? Que vaut√

−i ? corr.:Log(i) =i^π₂, donc√

i=e^iπ4 = ^√₂²(1 +i). De même√

−i= ^√₂²(1−i).

2.2 Soitγ: [0,^π₂]→Ω,θ7→γ(θ) = cos(θ) +isin(θ). CalculerR

γ

√z dz.

corr.: Avec z = γ(θ) = e^iθ, et dz = i e^iθdθ, on obtient, par définition, R

γ

√z dz = R_π/2

0 e^iθ/2i e^iθdθ =iR_π/2

0 e^3iθ/2dθ=i₂

3ie^3iθ/2π/2

0 = ²₃(e^3iπ/4−1) = ²₃(−^√2² −1 +i^√₂²).

2.3 Montrer que √

z possède une primitive F sur Ω que l’on déterminera explicitement sous la conditionF(1) = ²₃.

corr.:En effet l’ouvertΩest étoilé par rapport au point1. Donc toute fonction holomorphe admet une primitive dont on peut fixer la valeur arbitrairement en un point donné. Mais dans le cas de figure présent, on sait bien que la dérivée dez^a estaz^a−1, donc une primitive est donnée par ²₃z³². Il faut simplement préciser que l’on utilise ici aussi la détermination principale, c’est-à-dire z³² = exp(³₂Logz). La dérivée est en effet, par la formule de déri- vation des fonctions composées : ³₂exp(³₂Logz)_z¹ = ³₂exp(¹₂Logz) = ³₂√z. Et en fait la primitive trouvéeF(z) = ²₃z³² vérifie F(1) = ²₃ c’est donc bien celle qui est demandée.

2.4 SoitΓ : [0,2π]→Ω,t7→2i+e^it. Que vaut R

Γ

√z dz?

corr.: Il s’agit d’un lacet dans Ω et nous venons de voir que √z admet une primitive.

L’intégrale est nulle.

3 Exercice

Dans cet exercice on se donne, sur un ouvert U ⊂ C, une fonction f à valeurs complexes. On supposera que les dérivées partielles jusqu’au deuxième ordre^∂f_∂x, ^∂f_∂y,^∂_∂x^2f₂, ^∂_∂y^2f₂, _∂x∂y^∂2f = _∂y∂x^∂2f existent et sont des fonctions continues dez=x+iy.

Soit∆ = _∂x^∂2₂+_∂y^∂2₂ le « Laplacien ». On rappelle que l’on dit qu’une fonctionF est harmonique sur un ouvertU si elle admet des dérivées partielles continues jusqu’au deuxième ordre et si ∆F = 0

Licence de Mathématiques (S5, troisième année) L305 « Analyse Complexe »

3.1 Soitgla fonction z7→g(z) =zf(z). Prouver :

∆g= 2∂f

∂x + 2i∂f

∂y + (x+iy)∆f

corr.: On ag = (x+iy)f donc _∂x^∂ g =f+ (x+iy)_∂x^∂ f,(_∂x^∂ )²g = 2_∂x^∂ f + (x+iy)(_∂x^∂ )²f. De même _∂y^∂ g=if+ (x+iy)_∂y^∂ f et(_∂y^∂ )²g= 2i_∂y^∂ f+ (x+iy)(_∂y^∂ )²f. En faisant la somme cela donne la formule demandée.

3.2 Prouver quef est holomorphe surU si et seulement si à la foisf etg=zf sont des fonctions harmoniques surU.

corr.:On sait déjà, vu en en cours et/ou tds, que toute fonction holomorphe est harmonique (ses parties réelle et imaginaire sont des fonctions harmoniques à valeurs réelles, la fonction holomorphe est harmonique à valeurs complexes). Et si f est holomorphe, zf l’est aussi.

Doncf etzf sont toutes deux harmoniques. Réciproquement, par la formule de la question précédente sifetg=zf sont harmoniques, alors on obtient2^∂f_∂x+2i^∂f_∂y = ∆g−(x+iy)∆f = 0, donc ^∂f_∂x+i^∂f_∂y = 0, ^∂f_∂y =i^∂f_∂x. Cela n’est qu’une des formes usuelles pour les équations de Cauchy-Riemann, doncf est holomorphe. L’équivalence est démontrée.