E113. La suite de Conway
On considère la suite S bien connue de Conway 1,11,21,1211,111221,312211,.... dans laquelle chaque terme est obtenu en dénombrant puis en écrivant pas à pas tous les chiffres qui figurent dans la terme précédent.
Voir http://www.research.att.com/~njas/sequences/A005150.
Les termes de cette suite comportent très rapidement un nombre astronomique de chiffres. On s’intéresse au 2010ième terme appelé X.
1) Quel est le dernier chiffre de X ?
2) Combien y a-t-il de chiffres > 3 dans X ?
3) Combien y a-t-il de séquences d’un même chiffre de longueur >3 dans X ?
4) Existe-t-il au moins un terme Y de S qui est strictement inférieur à X et qui comporte les mêmes 2010 premiers chiffres ? Si oui, quel est le rang du plus petit Y ?
Solution proposée par Paul Voyer:
Le 2010ème terme de la séquence a environ 2.7x10239 chiffres.
(d'après http://www.research.att.com/~njas/sequences/table?a=5341&fmt=5) 1) Le dernier chiffre de X est un "1", comme pour tous les termes de S.
2) Il n'y a aucun chiffre >3 dans X, comme pour tous les termes de S.
3) Il n'y a aucune séquence d'un même chiffre de longueur >3 dans X, comme pour tous les termes de S.
4) Le premier chiffre du 2010ème terme est 3, comme pour tous les multiples de 3.
Si Y existe, il est multiple de 3.
On constate que tous les 3 termes, le début se répète jusqu'à une valeur qui augmente avec le rang.
La question, reformulée, est : à partir de quel rang la séquence de 2010 chiffres est-elle conservée lors du passage du rang n au rang n+3 ?
Cette séquence est stable pour les 2010 premiers chiffres (seulement pour les termes multiples de 3) à partir de Y=33.
Le calcul est disponible ici :
http://www.btinternet.com/~se16/js/looknsay.htm
