Je dispose d'une guirlande de 2n (n>0) lampes en forme de boucle refermée sur elle-même. En position initiale un certain nombre d'entre elles ont été allumées de façon aléatoire.
J'ai un dispositif de commande qui effectue simultanément sur toutes les lampes l'opération suivante :
- position allumée pour toutes les lampes comprises entre une lampe allumée et une lampe éteinte.
- position éteinte sinon (i.e. lampe comprise entre deux lampes éteintes ou entre deux lampes allumées).
Quel est le nombre minimal N de commandes qui me garantit l'extinction complète de toutes les lampes ?
Donner une caractérisation simple des positions initiales "maximales" c'est-à-dire nécessitant effectivement d'effectuer le nombre de commandes N précédemment trouvé pour tout éteindre.
Numérotons les lampes de 0 à 2n-1 modulo 2n ; l’état d’une lampe peut être représenté par 0 ou 1 selon qu’elle est éteinte ou allumée ; soit u(m,k) l’état de la lampe k après m commandes : alors u(1,k)=u(0,k-1)+u(0,k+1) (mod 2). Donc u(2,k)=u(1,k-1)+u(1,k+1)=u(0,k-2)+u(0,k)+u(0,k)+u(0,k+2) soit
u(2,k)=u(0,k-2)+u(0,k+2) (mod 2). En itérant le processus, nous obtenons u(2p-1,k)=u(0,k-2p+1)+u(0,k-2p+3)+...+u(0,k+2p-3)+u(0,k+2p-1) et u(2p,k)=u(0,k-2p)+u(0,k+2p) (mod 2) .
Si 2p=2n-1, les lampes k-2n-1 et k+2n-1 sont confondues, et u(2n-1,k)=0 (mod 2).
Toutes les lampes seront donc éteintes après 2n-1 commandes. Une fois toutes les lampes éteintes, elles ne peuvent plus être rallumées ; comme
u(2n-1-1,k)=u(0,k-2n-1+1)+u(0,k-2n-1+3)+...+u(0,k+2n-1-3)+u(0,k+2n-1-1), si le nombre initial de lampes allumées de rangs pairs (ou impairs) est impair, les lampes ne seront pas toutes éteintes avant 2n-1 commandes.
