Enonc´e noG131 (Diophante)
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Pour i = 1 `a 42, je d´efinis l’´ev´enement Ai comme le fait que la carte noi manque au bout dej jours.
L’´ev´enement “jeu encore incomplet apr`es j jours” est la r´eunion ∪421 Ai. Sa probabilit´e s’obtient facilement par la formule de Poincar´e
Pr∪421 Ai=X
I
(−1)|I|−1Pr (∩i∈IAi)
o`uI parcourt les sous-ensembles non vides de l’ensemble {1,2, . . . ,42}.
Les sous-ensembles tels que|I|=ksont en nombreC42k. La probabilit´e cor- respondante (les cartesi1, i2, . . . , ikne sont pas apparues dans lesjpaquets) est (1−k/42)j, chaque paquet ayant la probabilit´ek/42 de contenir une des cartes de ce sous-ensemble.
La probabilit´e de jeu incomplet est donc
42
X
k=1
(−1)k−1C42k
1− k 42
j
soit pourj = 182 jours (1er janvier au 30 juin 2008) 0,41785836.
La probabilit´e d’avoir le jeu complet `a la mˆeme date est le compl´ement `a 1, soit 0,58214164.
On peut se demander combien de jours, en moyenne, il faut pour compl´eter son jeu de cartes.
On a pour cela le lemme :
Si une ´epreuve appour probabilit´e de succ`es, l’esp´erance math´ematique du nombre de fois o`u il faut r´ep´eter l’´epreuve pour obtenir un succ`es est 1/p.
Preuve : sit est cette esp´erance, consid´erons la situation apr`es la premi`ere
´epreuve. Si elle r´eussit, elle contribue `a l’esp´erancetpar 1 (nombre) pond´er´e par la probabilit´e p. Si elle rate, sa contribution est 1 +t (on est `a la case d´epart apr`es une ´epreuve pass´ee) pond´er´ee par la probabilit´e 1−p. D’o`u t=p+ (1 +t)(1−p) =t+ 1−pt.
Si l’on a d´ej`a obtenu k cartes diff´erentes, la probabilit´e d’en obtenir une k+ 1-i`eme un jour donn´e est (42−k)/42. L’esp´erance du nombre de jours pour y r´eussir est 42/(42−k).
On mettra donc 1 = 42/42 jour pour avoir une premi`ere carte, puis ensuite 42/41 jours en moyenne pour en avoir une deuxi`eme diff´erant de la premi`ere, etc., jusqu’`a 42/2 = 21 jours pour avoir l’avant-derni`ere et encore 42/1 = 42 jours pour compl´eter le jeu.
L’esp´erance du temps total est ainsi
1
42 1
1 +1
2 +. . .+ 1 41 + 1
42
= 181,72319788
Elle est voisine de 6 mois, mais la dur´ee de 6 mois laisse subsister une probabilit´e d’´echec non n´egligeable, proche en ordre de grandeur de 1/e= 0,367. . . que l’on rencontre dans bien des processus poissonniens.
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