VIBRATIONS-CHAPITRE II:
VIBRATIONS DES SYSTEMES A 1 D.D.L
ordre.
premier du
petits infiniment
q et
, q - q introduit
on , q de ge Au voisina
d 0
/R) (
U et d
d 0
/R) (
dU :
donc
) ( de stable équilibre
d' position une
q soit et R à rapport par
q ddl 1 à ) ( système un
Soit
..
..
. e .
e
2 P 2 P
e
q
q
q
q qe q qe) (q a
) q d (
U d
avec 0
) 2 T
propre période
(de propre
pulsation de
harmonique r
oscillateu un
d' équation l'
est c'
0 ) q d (
U d
) (q a
: écrit s'
Lagrange de
équation l'
1, ordre l'
à
) q d (
U d ....
) q d (
U d ) q d (
) dU q d (
dU
donc q) ( U /R) (
et U
q ) q ( a' 2 1 q et T q ) q ( a' q ) (q a q
T dt
d
; q ) q a(
q T donc
q 0 ) q a(
où q
) q a(
2 /R) 1 T(
forme la
de donc q
% e quadratiqu )
q T(q, /R)
T(
: s vibration des
Equation /
*
e e 2
P 2
0 2
0 ..
0 0
0 e
2 P .. 2
e
e 2
P 2 e
2 P 2 P e
P e
P P
. 2 . 2
..
. .
.
. 2 .
.
q q
q q
q q
I-Systèmes conservatifs: l’oscillateur harmonique.
1
équation d'
ellipse une
décrit système
du tif représenta point
le ) , ( phase de
plan le Dans /
*
. vibration la
à rapport par
avance
quadrature en
est 2 ) t
( cos
) t ( sin t)
( e vibratoir vitesse
La /
*
tan et
: finalement soit
) ( sin
) ( cos 0
t à donc
) t ( sin t)
( est e vibratoir vitesse
la
) 0 t (
) 0 t 0 (
t à
: effet en
; et
constantes 2
les calculer de
permettent initiales
conditions Les
temps.
des origine l'
à phase et
vibration la
de maximale amplitude
) t ( cos )
t ( donc (t) Re
) t (
IC x IC ) B , A ( où e
B e
A (t)
j
r et j r : IC dans solutions
2 donc 0 r
: soit 0, A et e A (t)
pour obtenu
est tique caractéris
polynôme Le
: s vibration Les
/
*
20 2m
. 2
2m 2
.
0 0
m 0
0 m .
0 0
. 0 2
0 .2 2 0
0 m
. 0 0
m
0 m
0 0
m .
. 0
. 0
m m
0 m
c c
c j
c j
0 2
0 1
2 0 2
r t
0 0
c
t c t
• II- Vibrations amorties .
*/ Amortisseur visqueux linéaire de coefficient de frottement a La masse de l’amortisseur sera supposée négligeable.
A Fluide B
visqueux
0 f
f : déformer.
se sans translate
se r amortisseu l'
(B/R) V
(A/R) V
Si
(A/R) V
(B/R) V
f
: B en et
(B/R) V
(A/R) V
f
: A en
: R sont,
r amortisseu l'
par exercées
forces Les
A A
B
B
a
a
) (
4 est
nt discrimina son
IC r 0
r
2 r : est équation cette
de tique caractéris
polynome Le
que tel )
( système du
ent amortissem d'
t coefficien le
est )
(q a 2
) dq (
P dO
où
0
2
: soit
0 ) q d (
U d
) dq (
P dO
) (q a
: écrit s' linéarisée mouvement
du équation L'
) dq (
P dO - Q : vaut elle équilibre, d'
position la
de ge au voisina 1
ordre l' à
dq q P dO - Q : est ante correspond e
généralisé force
de composante la
q dq q
P dO - (P) V . (P/R) V - (P) V . f P est effort cet
de virtuelle puissance
la
dq q P dO (P) V et dq q
P dO (P/R) V
: comme
; frottement de
t coefficien
le est (P/R);
V - f visqueux frottement
de force une
introduit on
précédent, )
( système du
P point un
En
2 0 2
2 0 2
1 e
2
2 0 .
..
e 2
P . 2
.. 2 e
2 . 2 .
. * 2
*
*
*
* . *
a
a
a
a
a a
a a
T
q
q q
q
e
e
e
*/Equation des vibrations:
0 0
2 2
0 2
2 0 t
-
2 2
0 2
2 2
0 1
2 2
0 2
0
t - 0
2 0 2
t -
2 0 2
2 2
0 2
1 0
T T donc et
: Re
T 2 période -
pseudo a
l et :
par pulsation -
pseudo la
définit on
initiales.
conditions des
aide l' à déterminés seront
et A où )
t (
cos e A (t)
r
et r
: conjuguées complexes
solutions 2
a tique caractéris
polynome le
, ) (
j 4
. périodique -
pseudo régime
faible;
ent amortissem
Si
initiales.
conditions des
aide l' à déterminés seront
et A où e
B) A t ( (t)
r : double solution
une a tique caractéris
polynome le
, 0
critique.
régime critique;
ent amortissem
Si
initiales.
conditions des
aide l' à déterminés seront
et A où )
t (
sh e A (t)
r et r
: réelles solutions
2 a tique caractéris
polynome le
, 0
e.
apériodiqu régime
élevé;
ent amortissem
Si
. Résolution /
*
marque
j j
B
*Régime critique.
*Régime pseudo-périodique.
T e ln
A e ln A
T) x(t ln x(t) :
par défini que
logarithmi décrément
le
*
) e (
e A e
A )
x(t : effet en
; e par divisée est
e A x(t)
vibration la
de amplitude l'
duquel bout
au temps le
est c' 1 :
tique caractéris son temps
*
: par ée caractéris être
peut système
du vibration la
de amplitude l'
de ce décroissan la
prés k
à défini
, )
( arctan et
A
:
on trouve
) ( sin A
) ( cos A :
soit
) t
( sin e
A )
t ( cos e
A )
( et ) t ( cos e
A
(t) : puisque
) ( sin A )
( cos A )
0 t (
) ( cos A )
0 t ( 0
t à
effet en ; vibration la
nt compléteme définir
de permettent initiales
conditions Les
. périodique -
pseudo régime
du Etude /
*
) ( -
t -
1 - t - )
(t - t
-
0 0 0 . 2
0 2
0 0 . 0 .
0
. 0
t - t
- . .
t -
. 0
. .
0
T e
e t x t
T T
t
F t
t q F
q
F u q
F u q u
u F
e
m e
m e
cos ) (q a
2
: soit
cos )
q d (
U d
) dq (
P dO
) (q a
: écrit s' linéarisée mouvement
du équation
L'
).
dq ( P F dO
: suite la par posera,
on
t cos ).
dq ( P Q dO
: vaut elle équilibre,
d' position la
de ge au voisina 1
ordre l' à
t cos F dq .
P Q dO
: est ante correspond
e généralisé force
de composante
la
q t cos F dq .
P dO (P)
V . u t cos F (P) V . P
est effort cet
de virtuelle
puissance la
dq q P dO (P) V et dq q
P dO (P/R)
V : Comme
. que ordre même
du petit infiniment
un est F que suppose
On
unitaire vecteur
u où u t cos F F
: connue e
sinusoidal e
excitatric force
une introduit
on , ) ( système du
P point un En
e 2
0 .
..
e 2
P . 2
.. 2 e
m
* m
*
*
*
* . *
m
a
III- Vibrations forcées .
) (
) (q a
et
on trouve
Si
*
) - ( ) (q a
et
0
on trouve
Si
*
0 sin
) - ( -
) (q cos a
) - ( soit
t cos ) (q a ) cos(
) - (
).
cos(
) ( de compte en tenant
cos ) (q a
: écrit s' s vibration des
équation L'
: ) 0 (
fs conservati systèmes
des Cas - 1
).
cos(
) ( : prendra on
ci;
- celle à rapport par
déphasée et
e excitatric force
la que
pulsation même
de e sinusoidal est
) forcé régime
( complète équation
l' de re particuliè solution
La
*
établi..
nt précédemme re
transitoi régime
le nt complèteme déterminer
à servent initiales
conditions Les
*
long..
moins ou plus un temps
d' bout au disparait re
transitoi régime
ce
) réel cas ( amorti système
un d' cas le ns précède.Da qui
ce dans établie
déja été a (t) ransitoire
solution t La
*
) ( forcé régime
(t) re transitoi régime
(t)
complète équation
l' de
re particuliè Solution
membre second
sans équation l'
de
générale Solution
solution La
membre second
avec constants,
ts coefficien à
, 2 ordre linéaired'
elle différenti équation
une d' agit s' Il
2 0 2 0 e
2 2
0 0 e
2 2
0
e 2
2 0 e
2 2
0
e f 2
0 ..
f tr
f tr
F F et
F F t
t
t t
F t
t t
t
fm fm
fm fm fm
fm fm
chapitre).
ce de fin voir ( battements de
phénomène
voisines pulsations
de tions deux vibra de
ion superposit la
est ) ( )
( )
( , si
que Notons
re).
transitoi régime
( membre second
sans équation l'
de générale solution
la avec ) pulsation même
coincide(
elle car
valable plus
est n' utilisée, nt
précédemme ,
) établi régime (
complète elle
différenti équation
l' de re particuliè solution
La
ent).
amortissem d'
pas ( infinie devient s
vibration des
amplitude l'
: amplitude d'
résonance
Si
0 0
t t
t trans forcé
*Evolutions de l’amplitude et la phase en fonction de la pulsation réduite /
0
k 2
arctan soit
2 0
arctan
) arg(
et 0 ) ) (q arg( a )
arg(
) arg(z' arg(z)
) arg(z.z' :
argument en
4
) (q a
1 et
) 0 (q a , 0
z' z z.z' : module en
) (q a
2
0 e
avec t
e ) (q 2 a
(t) et
)
( : puisque
e ) (q par a cos
) (q a remplaçant en
et ) ( Re ) ( , )
(
: posant en
complexes, en
le on travail ,
ultérieurs calculs
des simplicité la
Pour
) cos(
) ( forme la
sous solution la
recherche on
cos
) (q a
2
: 0) (
amortis systèmes
des Cas - 2
2 2
0 2
2 0
e 2
2 2 2 2
0 e
e e
2 2
0
t j t
j e
2 2
0
) ( .. 2
) . (
t j e f e
) (
e f 2
0 .
..
j fm
fm
j fm
j fm
j t j fm
t j fm C
f t
j fm C
f
C f t
j fm C
f
fm
F e F
F e e F
j
e F e j
e e
j t
t F t F
t e
t
t t
F t
- - - -- - - ϕ - - -
- - - - - - -
- - - ϕ
=0
+
2
m) (
0
q
ea F
m 2
0
m
2
La vibration est en retard de ϕ par rapport à la force excitatrice.
ϕ
) cos(
) cos(
(t)
2 ) cos(
) sin(
) ( et ) cos(
) (
. polaire angle
d' et A norme de
un vecteur par
e représenté sera
) t ( cos A grandeur toute
, Fresnel
de plan le Dans Fresnel.
de on constructi la
utilisant en
retrouvés être
peuvent réultats
Ces
: Remarque /
*
2 f 2
..
. . .
f
t t
t t
t t
t
fm fm
fm f fm
fm
F k d
df f F
fmr r
fm
2 2
0 2 r
2 0 e
2 2
0 r
0 2
2 0
2 2
0 2
2 2 2
2 2
0 e
arctan 2 et
4
2 ) (q a
: pour
cas;
ce dans
maximum.
est vibration
la de amplitude l'
laquelle pour
amplitude, d'
résonance de
pulsation dite
2 e
excitatric pulsation
une existe il
, 2
si donc 0 2
si
0 2
) 0 (
: si maximum un
par passe
4
) (q a ) (
: forcée vibration
la de amplitude L'
: amplitude d'
Résonance /
*
2 1 2
1 2
2 1
1
2 1 2
0 2
0 . . 0
2 0 .
.
0 . 0 2 ..
. 0
.
0
pt - e e
e 2
0 . ..
0 .
et que telles ) (
cos A et ) (
cos A X et
et voisines pulsations
de et calculs) des
simplicité la
pour ( A amplitude même
de tions deux vibra considère
On
ement.
sinusoidal modulée
est résultante s
vibration la
de amplitude L'
voisines.
pulsations de
tions deux vibra superpose
on lorsqu' observé
est battements des
phénomène Le
: s /Battement
*
(t).
déterminer de
alors permet inverse
ée transform la
p
2 p
) 2 (p )(p) F(p)
L(
: soit
F(p) )(p)
L(
)(p) L(
2 )(p) L(
: écrit s' équation l'
de ée transform La
- p - )(p) L(
p )(p) L(
et - )(p) L(
p )(p) L(
: a on ; de Laplace de
ée transform la
) L(
soit
e ) (q a
) ( F(p) f
est ) (q a
) ( de f Laplace de
ée transform la
alors 0 pour t 0 f(t) et intégrable est
f Si
) (q a
) ( f 2 : s vibration des
équation l'
de résolution la
pour Laplace de
ée transform la
utilise On
: f(t) quelconque excitation
une d' Cas /
*
. de valeut la
soit quelque ce
et pour
résone e vibratoir vitesse
la de
amplitude L'
: Remarque
t t
t dt t
t
fm
)
cos ( ) cos ( )
( 2 ) (
cos )
( cos 2 )
(
) (
cos B ) (
cos A X
utilisera on
amplitude, même
la pas ont n' suprpose on
l' que s vibration les
Si : Remarque
. résultante vibration
la de modulée amplitude
l' est c'
2 ) cos (
au terme rapport
par lentement
trés varie 2
) cos (
A 2 terme Le
T 2 2
T et
: comme
2 ) cos (
. 2
) cos (
. A 2 X
2 ) et (
2 ) (
2
) (
) cos (
. 2
) (
) cos (
. A 2 X
: obtient on
, b cos a cas 2 b) - cos(a b)
(a cos : utilisant en
et
2
) (
) b (
2
) (
) a (
b
: a posant en
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 1 2
1
M m
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 1
t B t
t A B t
A
t t
t t
t t
t t
t t t
b a
t
M m
M m
M m
M m
M m
