Dr Fouad BOUKLI HACENE
E P S T T L E M C E N A N N É E 2 0 1 5 - 2 0 1 6
Chapitre 3: Mouvement amorti à un degré de liberté
1 ière Partie: VIBRATIONS
Objectifs:
1. L’équation différentielle d’un mouvement amorti 2. Les différentes solutions du problème
3. L’aspect énergétique
Définitions:
En réalité tous les systèmes physiques interagissent avec le milieu environnant.
Dans ce chapitre on doit tenir compte de l’influence de la force de frottement visqueuse proportionnelle à la vitesse des oscillations du système de la forme:
Où α est le coefficient de frottement et v est la vitesse du mobile
C’est une bonne description dans le régime de faibles vitesses.
Au-delà ; la force devient progressivement proportionnelle au carré de la vitesse.
Ce type de mouvement est appelé mouvement amorti.
v F
fr
Figure 1 .3 : Schéma d’un amortisseur mécanique
Pour un système mécanique amorti est représenté par un ressort avec une masse régie par un amortisseur; comme suit :
Modélisation mathématiques :
On calcule le Lagrangien pour le système amorti comme suit:
2 2
2 1 2
) 1 ,
( x x E E m x kx
L
c
p
L’équation de mouvement est de la forme:
x kx x L
x m avec L
x x L x
L dt
d
) .
(
0
.
kx x m x x kx x
m
On définit alors, l’oscillation amorti comme suit
m et k
m
022
Avec les constantes suivantes:
est un coefficient positif et est appelé facteur d’amortissement
Où
0 )
( )
( 2
)
( t q t
02q t q
0 :est appelée la pulsation propre du mouvement La résolution de cette équation se fait par le changement de variable, l’équation devient alors:
0 r
2
r
2
02
On calcule le discriminant ’et on obtient:
2 0 2
'
Il existe trois types de solutions selon le signe de ’
Cas où le système est fortement amorti
:On a:
0
2 0 2
2 , 1
2 1
2
)
1(
r
e A e
A t
q
rt r tOù A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales
On dit que le système a un mouvement apériodique
0 0
) 0 (
) 0 (
q t
q
q t
q
La solution de l’équation différentielle s’écrit comme suit:
'
0
Figure 2.3: Mouvement amorti apériodique
Cas où l’amortissement est critique:
On a:
0
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
r r
r
e A
t A t
q
r t2 1
2
1
)
( )
(
Où A1 et A2 sont coefficients à déterminer par les conditions initiales:
On dit que le système a un mouvement amorti critique.
0 0
) 0 (
) 0 (
q t
q
q t
q
'
0
Figure 3.3: Mouvement amorti critique
Cas où l’amortissement est faible:
On a:
0
La solution de l’équation différentielle est de la forme :
2 2
)
0cos(
)
( t Ae
t avec
q
tOù A et sont des constantes à déterminer par les conditions initiales suivantes:
On dit que le système a un mouvement oscillatoire amorti.
0 0
) 0 (
) 0 (
q t
q
q t
q
'
0
Figure 4.3: Mouvement oscillatoire amorti
On définit la pseudo-période du système T comme suit :
On définit le décrément logarithmique qui représente la décroissance des élongations maximales à une seule pseudo- période T du système due à l’amortissement faible du système comme suit:
On définit la pseudo-pulsation du système comme suit:
T T t
q
t
Ln q
) (
) (
T 2
2 2
0
Aspect énergétique
: Prenons un oscillateur mécanique comme exemple, on a l’équation du mouvement qui s’écrit comme suit :
x kx
x
m
.
On multiplie les des deux membres de l’équation ; on obtient
. 2
x x
kx x
x
m
dt x
kxdx x
d x
m
2.
D’où:
Après intégration les deux membres; on obtient
:
dt x kx
x m d
ET
2 2
2
2 1 2
1
D’où le signe moins caractérise la diminution de l’énergie totale,
Finalement; on obtient :
0 0
) ) (
(
2
T frT
x t E W
dt t
dE
On conclue que le système subit une perte d’énergie totale due au travail des forces de frottements,
On donne la puissance dissipée par les forces de frottement sous la forme de chaleur comme suit:
) ( .
.v2 x2 t Pd
D’autre par on définit la fonction dissipation, D, comme étant la demi-puissance dissipée ; et elle s’écrit comme suit:
.
22 1 2
1 P x
D
d
Pd
La force de frottement peut alors s’écrire: Fx
x F
xD
Finalement ; l’équation de Lagrange pour une coordonnée généralisée q, s’écrit alors:
p
c
E
E q
q L q avec
D q
L q
L dt
d
( , )
Oscillateur électrique:
Soit un circuit oscillant R.L.C représentée sur la figure 5.3 comme suit:
Figure 5.3 : Circuit oscillant R.L.C
Le bilan des tensions s’écrit alors :
( ) ( ) Ri ( t ) 0 C
t q dt
t L di
ap ind
Sachant que le courant i(t) pendant un temps dt apporte une charge tel que :
dt t t dq
i ( )
)
(
On obtient alors l’équation différentielle du mouvement comme suit :
) 0 ) (
( )
(
ap
ind C
t t q
q R t
q
L
On remarque que cette équation est équivalente à l’équation d’un mouvement oscillatoire amorti représentée comme suit:
0 ) ( )
( )
( ) 0
) ( ( )
( x t
m t k
m x t
C x L
t t q
L q t R q
ap ind ind
Pour des oscillations faibles, La solution générale de l’équation s’écrit alors:
) cos(
)
(t Ae
t
q t
En faisant l’analogie entre le système mécanique et le système électrique ; On obtient alors:
R et
c k
t x t
q
m L
ap ind
1
) ( )
(
L’oscillation amortie dans le cas général est régie par l’équation différentielle:
Il existe 3 types de solutions :
Cas où le système est fortement amorti :
Cas où l’amortissement est critique :
Cas où l’amortissement est faible :
On définit le décrément logarithmique par la décroissance de l’amplitude à une seule période du système:
Il faut signaler que le système subit une perte d’énergie totale due au travail des forces de frottements.
0 )
( )
( 2 )
(t q t 02q t q
Ce qu’il faut retenir!
0
0
