SUR QUELQUES PROBLEMES D’É COULEMENTS A SURFACES LIBRES AVEC TENSION DE SURFACE

Texte intégral

(1)REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF. THESE Présentée à la Faculté des Sciences Département de Mathématiques Pour l’Obtention du Diplôme de. DOCTORAT D’ETAT Option : Mathématiques Appliquées Par. Mr. Abdelkrim MERZOUGUI THEME. SUR QUELQUES PROBLEMES D’É COULEMENTS A SURFACES LIBRES AVEC TENSION DE SURFACE. Soutenue Le :16/12/2007 Devant le jury. Président :. Dr.. N. BENSALEM. Prof. Université Ferhat Abbas Sétif.. Rapporteur : Examinateurs :. Dr. Dr. Dr. Dr.. H. MEKIAS N. HAMRI N. BENHAMIDOUCHE D. BENTERKI. Prof. Prof. M.C M.C. Université Ferhat Abbas Sétif. Université Mentouri Constantine. Université Mohamed Boudiaf M’sila. Université Ferhat Abbas Sétif..

(2) Dédicace Cette thèse est dédiée à mon père, décédé il ya deux ans, qui m'a toujours poussé et motivé dans mes études. Sans lui, je n'aurais certainement pas fait d'études longues. Cette thèse représente donc l'aboutissement du soutien et des encouragements qu'il m'a prodigués tout au long de ma scolarité. Qu'il en soit béni et remercié par cette trop modeste dédicace..

(3) Remerciements Je tiens à exprimer ma profonde reconnaissance à Monsieur H. Mekias Professeur à l’université de Sétif, qui a dirigé ce travail, pour ses conseils, ses encouragements, ses disponibilités, qui ont contribués à l’élaboration de ce travail. Que Dieu le bénisse et le recompose de ses efforts fructueux Je remercie Mr. N. Bensalem, Professeur à l’université de Sétif, qui m’a honoré en acceptant de présider ce jury, je lui exprime mon respect et toute ma reconnaissance. Mes vifs remerciements vont également à Monsieur N. Hamri Professeur à l’université Mentouri de Constantine, qui a accepté de juger ce travail et d’être membre du jury. Mes vifs remerciements vont également à monsieur : D. Benterki maître de conférence à l’université de Sétif pour ses conseils, ses encouragements, ses aides continues, et sa gentillesse. Je le remercie d’avoir accepté d’être membre du jury. Je remercie vivement Monsieur N. Benhamidouche maître de conférence à l’université de M’sila d’avoir accepté de juger ce travail et d’être membre du jury. Ces remarques pertinentes m’ont souvent éclairé dans ce travail. Je tiens aussi à remercier Monsieur B. Bouderah pour son aide précieux. Enfin, mes vifs remerciements à toute personne ayant participé de près ou de loin à la réalisation de ce travail..

(4) Table des mati` eres 1 Introduction g´ en´ erale 1.1. 3. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.1.1. Méthode des lignes de courant libres . . . . . . . . . .. 5. 1.1.2. Tension de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 2 Effets de la tension de surface sur un ´ ecoulement bidimensionnel passant au dessus d’une plaque inclin´ ee. 10. 2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. 2.2. Formulation générale du problème . . . . . . . . . . . . . . . . 12. 2.3. Procédure numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1. Comportement local de la vitesse au voisinage des singularités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23. 2.3.2. Formulation de la série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25. 2.3.3. Forme de la surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. 2.3.4. Discussion des résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29. 3 Effets de la tension de surface sur un ´ ecoulement dans un canal contre un mur inclin´ e. 40. 1.

(5) 3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 3.2. Formulation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. 3.3. Procédure numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51. 3.4. Comportement asymptotique de la vitesse au voisinage du point de stagnation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53. 3.5. 3.4.1. Formulation de la série : . . . . . . . . . . . . . . . . . 54. 3.4.2. Forme de la surface libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 56. 3.4.3. Calcul du degré de contraction . . . . . . . . . . . . . . 58. Résultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.5.1. solution sans tension de surface : . . . . . . . . . . . . 61. 3.5.2. solution avec tension de surface : . . . . . . . . . . . . 65. Conclusion g´ en´ erale. 73. Bibliographie. 75. 2.

(6) Chapitre 1 Introduction g´ en´ erale. 3.

(7) 1.1. Introduction. Plusieurs applications dans la mécanique des fluides comportent des écoulements dans des domaines délimités par des parois rigides d’une part, et des interfaces (surfaces libres) d’autre part. Des exemples classiques sont les écoulements dans des ruisseaux, rivières et canals etc · · ·. Ou bien le mouvement d’un bâteau sur une masse d’eau qui peut être assimilé a` un écoulement à surface libre au-dessous et autour de la coque du bâteau en considérant un repère réferentiel lié au bâteau. les problèmes réels, tels qu’ils sont cités dans les exemples précédents, sont tridimensionnels. Mais des simplifications considérables peuvent être introduites si l’écoulement admet une symétrie. Plus particulièrement si les caractéristiques de l’écoulement sont invariantes dans une direction perpendiculaire a` un plan fixe, le problème devient bidimensionnel se rapportant aux variables cartésiennes du plan fixe considéré. Aussi, une autre version est la symétrie cylindrique. Les caractéristiques de l’écoulement sont invariables par rapport à l’angle θ des coordonnées cylindriques rapportées a` un axe fixe (l’axe de symétrie). Dans le cas o` u l’écoulement est bidimensionnel, on identifie le plan des variables cartésiennes (x, y) de l’écoulement au plan de la variable complexe z = x + iy. Si de plus, on considère que l’écoulement est irrotationnel et invicide, alors on peut montrer que la fonction ξ(z) = u − iv ((u, v) composantes du champs du vecteur vitesse) est une fonction méromorphe (analytique sauf en des points discrets isolés). De là, le problème de l’écoulement se réduit a` la recherche d’une fonction méromorphe qui satisfait certaines conditions (conditions aux limites du problème).. 4.

(8) Dans cette thèse, on considère un écoulement bidimentionnel, stationnaire, invicide, et irrotationnel. L’étude est ainsi rapportée a` la recherche d’une fonction méromorphe ayant des singularités bien déterminées selon le problème considéré. Nous traitons deux problémes. Un probléme de cavitation et l’autre d’un jet contre un mˆ ur incliné. Pour les deux problèmes on considère les cas de la tension de surface négligée et non négligée. Lorsque la tension superficielle est négligée, la solution exacte pour ces écoulements est obtenue via la théorie des lignes de courant [13]. De telles solutions prouvent que la surface libre a une courbure infinie au point de séparation, la courbure n’est pas singulière lorsque la tension superficielle est négligée. Par contre, lorsque la tension superficielle est prise en considération, la courbure de la surface libre a` l’intersection avec la paroi rigide devient singulière. Des solutions analytiques ne sont pas connues à nos jours. Une approche numérique est appliquée avec succés.. 1.1.1. M´ ethode des lignes de courant libres. La théorie des fonctions analytiques complexes développées au siècle dernier, a rendu possible ( avec des conditions aux limites appropriées) l’étude des écoulements bidimensionnels stationnaires et irrotationnels d’un fluide incompressible. Considérant que le fluide et non pesant (accélération g = 0) et que les parois de contact avec un corps solide sont rectilignes et en l’abscence des tensions de surface et surfaces libres, la théorie des transformations conformes a donné des solutions explicites exactes. Grâce à la transformation d’hodographe donné par Kirchhoff, les écoulements délimités par des surfaces libres et des parois rigides rectilignes négligeant les tensions de sur5.

(9) face, sont devennus accessibles et des solutions explicites exactes peuvent être établies. Si aucune surface libre n’est présente et l’effet de la gravité n’est pas considéré, l’écoulement dans le plan physique est un polygone. Utilisant les transformations de Schwarz-Christoffel, l’écoulement est transformé en un écoulement dans le demi plan superieur. la ligne polygonale représentant la paroi rigide est transformé en une ligne droite. Si les lignes de courant libres sont présentes et l’effet de la gravité et la tension de surface sont négligeables, le domaine de l’écoulement dans le plan transformé par une transformation conforme appropriée( transformation d’hodographe donnée par Kirchhoff) est aussi un polygone. ce qui nous permet dans les deux cas de trouver la solution explicite exacte du problème. Si on identifie le plan physique d’écoulement au plan cartésien (x, y), la base de la méthode de résolution des problèmes a` surface libre, introduite par Kirchhoff (1869), est l’introduction de la fonction complexe Ω définie par : !. U Ω = log = log = log + iθ 1.1 q √ df o` u z = x + iy, f = φ + iψ, = u(x, y) − iv(x, y) et q = u2 + v 2 avec dz (u, v) sont les composantes du vecteur vitesse, θ est l’angle entre le vecU df/ dz. . U u − iv. . teur vitesse et l’axe des x, U est la vitesse de référence. La fonction Ω a de simples propriétés : sa partie réelle est constante sur chaque ligne de courant libre, et sa partie imaginaire est constante sur chaque paroi rigide rectiligne. Par conséquent, l’écoulement est représenté par une figure plane de côtés rectilignes(polygone) noté Ω. C’est aussi le cas de la transformation f , qui transforme les lignes de courant du plan physique z en des lignes droites parallèles à l’axe φ. Il est évident que, si nous pouvons transformer le plan 6.

(10) Ω vers la moitié supérieure (resp. inférieure) d’un autre plan d’une certaine variable complexe auxiliaire λ, alors la relation entre z et f ou entre dz/df et f est paramétriquement déterminée. Mais la méthode des lignes de courant se limite a` des écoulements des fluides sans poids dans des domaines de frontières rectilignes ou des surfaces libres. Des développements des moyens de calcul numériques a` partir du mi-siecle dernier a` ce jours on fait résurgir la méthode des lignes de courant pour formuler les problèmes d’écoulement a` surface libre des fluides pesants, ou bien sans négliger les tensions de surface, ou bien les deux à la fois. Le travail de cette thèse s’iscrit dans cette optique. Nous considerons deux types de problèmes. Le premier problème est un écoulement d’un fluide sans poids passant au dessus d’une plaque finie et incliné d’un angle β de l’horizontale, laissant derière la plaque une cavité qui s’étend à linfini. le deuxième propblème est un écoulement d’un jet contre deux mˆ urs inclinés faisant entre eux un angle 2β. Dans les deux probèmes, les tensions de surface sont prise en considération, tandisque la gravité est négligé.. 1.1.2. Tension de surface. Souvent, les fluides en écoulement ne sont pas homogène. Dans les écoulements laminaires stables les fluides se séparent tel que le fluide lourd se place au dessous du fluide léger. la surface séparatrice est appelé ”interface”. Une particule du fluide a` linterieur d’un fluide est soumie à des forces internes équilibré se traduisant par un scalaire appelé pression. si la particule est sur l’interface, les forces sur la particule son en déséquilibre dˆ u a la discontinuité de la densité de part et d’autre de l’interface ( les deux fluides sont de densités 7.

(11) différentes). Pour maintenir la particule sur l’interface en équilibre des forces tangencielles a` l’interface se crées pour combler le déficite dans la résultante des forces surfaciques agissantes sur la particule. Cette force connue uniquement sur les interfaces est appelée ”tension de surface”. C’est cette tension de surface qui permet a` une moustique de marcher sur une surface d’eau sans se noyer. Dans le cas ou l’interface est une surface libre, ( la densité du fluide léger est négligeable par raport a` la densité du fluide lourd, exemple : interface gazliquide ), la pression au dessus de la surface libre est considérée constante égale a` P0 . La tension de surface T peut être exprimée par la différence de pression entre les deux faces de la surface libre et elle est liée a` la courbure de la surface libre et est donnée par la relation de Laplace : P − P0 = KT. 1.2. o` u P est la pression a` l’interieur du fluide juste au dessus de la surface libre, P0 la pression sur la surface libre en dehors du fluide, K la courbure de la surface libre. Ce travail se compose essentiellement de deux chapitres, précédé d’une introduction générale du problème, o` u on a introduit la notion de la théorie des lignes de courant libre dˆ ue a` Kirchhoff et leurs applications à la résolution du problème, dont l’idée principale de cette théorie est l’introduction de la vitesse complexe. Dans le second chapitre, on traite le problème de cavitation d’un écoulement potentiel, bidimensionnel d’un fluide incompressible et non visqueux, passant au dessus d’une plaque mince inclinée d’un angle β. En tenant compte de la tension de surface, la solution est caractérisée par le nombre de Weber α. Nous adoptons la méthode de troncation de la série introduite par Vanden-Broeck et Keller qui consiste à discrétiser la surface 8.

(12) libre. On trouve la solution pour chaque valeur du nombre de Weber α > α∗ et pour tout angle d’inclinaison β. Lorsque α −→ ∞, la forme de la surface libre coincide avec celle trouvée paramétriquement via la théorie des lignes de courant libres et les transformations conformes. l’angle de séparation γ est égale à π, ce qui signifie que le fluide quitte la plaque tangentiellement. Pour α < ∞, l’angle γ > π. Le cas α −→ 0, la surface libre tens vers une demi droite parallèle a` l’axe des x d’équation y = H sin β. Ici, paradoxalement avec ce qui est connu sur les écoulements à surface libre, les ondes capillaires ne sont pas observées ceci est peut être lié a` la procedure utilisée mais la solution ne peut être calculée pour des valeurs assez petites. Dans le troisième chapitre, on traite le problème d’un écoulement d’un fluide incompressible et non visqueux dans un canal contre un mˆ ur de longueur semi-infinie incliné d’un angle β. Si on prend pour symétrie le fond de l’écoulement qui est une ligne de courant, le problème est considéré comme un jet entrant dans un angle de valeur β. Le problème est caractérisé par le nombre de Weber α. La méthode utilisée dans ce chapitre est la même utilisée dans le chapitre 2. En négligeant la tension de surface, (α −→ ∞), on a trouvé la solution exacte du problème par la méthode des lignes de courant et les transformations conformes, ainsi que le degré de contraction qui coincide avec celui trouvé π numériquement (c = 0.6405846 pour β = ). Pour chaque β fixé, 0 ≤ β < π 2 et pour tout α, 0 < α < ∞, on remarque que la forme de la surface s’aplatie et tend vers une droite. De plus il existe une valeur critique α∗ , telle que pour tout α ≥ α∗ , la solution du problème existe et est unique pour chaque angle d’inclinaison β. Pour α < α∗ , on montre que le processus diverge et le problème n’a pas de solution.. 9.

(13) Chapitre 2 Effets de la tension de surface sur un ´ ecoulement bidimensionnel passant au dessus d’une plaque inclin´ ee. 10.

(14) 2.1. Introduction. Considérons un écoulement stationnaire, bidimensionnel a` surface libre dans le demi plan supérieur passant au dessus d’une plaque mince de lone inclinée d’un angle β. Derrière la plaque, une cavité se formr et gueur H s’étend vers l’infini. Nous supposons que la pression a` l’intérieur de la cavité est constante. Le fluide est considéré comme incompressible, non visqueux et e. l’écoulement est irrotationnel et uniforme à l’infini de vitesse U En l’absence de gravité et de tension de surface la solution du problème est obtenue explicitement et la forme de la surface libre est donnée paramétriquement via la méthode des lignes de courant (1.1). Si nous tenons en compte l’effet de la tension de surface, le problème ne peut avoir de solution analytique. Le problème de cavitation d’un écoulement passant au-dessus d’un obstacle a été traité par plusieurs auteurs dont nous citons Joukowski, Riabouchinsky, Rochko, Vanden-Broeck etc· · ·, une bonne bibliographie sur le problème de cavitation est donnée dans ”jets weakes and cavities” [6], [22], [24]. Dans le problème de cavitation d’un écoulement au dessus d’un obstacle circulaire, si nous considérons que l’angle γ compté positivement dans le sens contraire des aiguilles d’une montre de la tangente de l’obstacle et de la tangente de la surface libre au point o` u le fluide quitte l’obstacle, VandenBroeck [26] a conjecturé qu’il existent des valeurs du nombre de Weber pour lesquelles γ = π (la surface libre quitte l’obstacle tangentiellement), puis il l’a confirmé plus tard. Dans ce travail, selon l’idée de Vanden-Broeck, nous essayons de répondre a` la question : existe-il un angle d’inclinaison β pour une valeur finie de α 11.

(15) pour lequel la surface libre quitte la plaque tangentiellement. On montre numériquement que ce n’est pas le cas. Pour toutes les valeurs de 0 < β ≤ π, l’angle γ est tel que π < γ < β + π avec le cas limite γ −→ π quand α −→ ∞ et γ −→ β + π lorsque α −→ 0. Pour β = 0, il semble que la solution est insignifiante et est unique pour toutes les valeurs du nombre de Weber α. L’essai de forcer le programme pour que la solution soit différente de la solution insignifiante a échoué. Ce cas particulier a besoin d’une étude particulière. Comme nous allons voir, le problème sera caractérisé par deux paramètres : l’angle β et le nombre de Weber α donné par : α=. e 2H e ρeU . Te. 2.1. e et H e sont respectivement la vitesse et la longueur de la plaque, Te est la U tension de surface. Notons que dans tout ce qui suit, les variables notées avec (∼) sont des variables avec leurs dimensions physiques et les variables sans (∼) sont sans dimensions.. 2.2. Formulation g´ en´ erale du probl` eme. Soit un écoulement bidimensionnel, irrotationnel sur un plan horizontal x e0 oe x d’un fluide incompressible, non visqueux, passant au dessus d’une plaque e (nomé ci-après par obsmince OB inclinée d’un angle β, et de longueur H tacle). L’écoulement forme par la suite derrière la plaque une cavité limitée par une surface libre BC qui s’étend vers l’infini (Fig. 2.1).. 12.

(16) y. C.  U B A. O. Cavité. . x. Figure 2.1 Figure 2.1 (a). Schéma de l'écoulement et des coordonnées. La longueur de la plaque ~ est H La surface libre est BC,  est l'angle entre le fond horizontal et la plaque incline.  est l'angle de séparation entre la plaque et la surface libre BC. La figure est un calcul effectif du profile de la surface libre pour    4 et =10.. 13.

(17) y. . U. C. B A. O. 2. x. B C. Figure 2.1 Figure 2.1 (b). Schéma de l'écoulement et des coordonnées. La longueur de la plaque ~ est H La surface libre est BC,  est l'angle entre le fond horizontal et la plaque incline.  est l'angle de séparation entre la plaque et la surface libre BC. La figure est un calcul effectif du profile de la surface libre pour    4 et =10.. 14.

(18) Nous supposons que lorsque x e tend vers moins l’infini, la vitesse s’approche de la vitesse uniforme, et que la pression à l’intérieur de la cavité est constante. Le plan x e0 oe x, ye0 oe y du couple (e x, ye) sera considéré comme plan de la variable complexe ze = x e + ie y ( i est le nombre complexe tel que i2 = −1 ). Soit V~ = (e u(e x, ye), ve(e x, ye)) le champ du vecteur vitesse de l’écoulement. Nous introduisons la fonction potentielle complexe e x, ye) fe = ϕ(e e x, ye) + iψ(e. 2.2. o` u ϕ e et ψe sont la fonction potentielle de vitesse et la fonction de courant respectivement. La vitesse complexe est donnée par : ξe = u e − ie v. 2.3. o` uu e et ve sont les composantes du vecteur vitesse dans la direction des x e et ye respectivement. De la théorie des écoulements potentiels, les fonctions ϕ e et ψe vérifient les relations.  ∂ φe ∂ ψe    u e= = ∂e x ∂e y e  ∂ ψe ∂φ   ve = =− ∂e y ∂e x. 2.4. qu’on connaˆıt comme les conditions de Cauchy Reimann. La relation (2.4) montre que la vitesse complexe ξe et la fonction complexe fe = ϕ e + iψe sont des fonctions analytiques en ze = x e+ ie y de plus, on a la relation : dfe ξe = 2.5 de z Û e en (e Sans perte de généralité, on choisit ϕ e = −K x, ye) = (0, 0) et ψe = 0 sur la ligne de courant AOBC (Fig.2.2). 15.

(19) ~. A. O. C. B. Figure 2.2. Le plan potentiel complexe. 16. ~ ~ f    i ~. ~ .

(20) En supposant que la pression pe0 a` l’intérieur de la cavité est constante, la condition de Bernoulli sur la surface libre s’écrit alors : 1 2 pe qe + = C sur ψe = 0, −∞ < φe < +∞ 2 ρe. 2.6. pe est la pression du fluide sur la surface libre BC, ρe est la densité du fluide √ et qe = u e2 + ve2 est le module de la vitesse du fluide sur la surface libre. Soit pe0 la pression en dehors de l’écoulement (au dessus de la surface libre). Puisque à l’infini l’écoulement est supposé uniforme, la surface libre est une droite parallèle à l’axe x e0 oe x, nous avons donc pe = pe0 . Alors la constante C dans l’équation (2.6) est évaluée à l’infini par : 1 e 2 pe0 U + = C. ρe 2. 2.7. La relation entre pe et pe0 est donnée par la relation de Laplace pe − pe0 =. Te e = TeK e R. sur BC. 2.8. e et K e désignent respectivement le rayon o` u Te dénote la tension de surface, R e est négatif de courbure et la courbure de la surface libre. Par convention, K si le centre de courbure est en dehors de l’écoulement, de signe positif dans e est de signe négatif. En substituant (2.8) le cas contraire. Dans notre cas K dans (2.6) on trouve : 1 2 Te e 1 e2 qe − K = U . 2 ρe 2. 2.9. Pour des raisons de simplification de l’équation ci-dessus, on est conduit a` choisir certaines grandeurs, qu’on peut a` partir desquelles exprimer (2.9) en e comme unité variables non dimensionnelles. Pour cela, nous choisissons H 17.

(21) e comme unité de vitesse. On pose : de longueur et U x=. x e , e H. y=. ye , e H. q=. qe , e U. e eH e = H. K=K e R. 2.10. En substituant (2.10) dans (2.9) on trouve : Te 1 e 2 1 e2 (U q) − = U . e Re eρ 2 2 H. 2.11. utilisant la relation (2.1), l’équation (2.11) devient alors : q2 −. 2 K = 1, α. 2.12. o` u α est le nombre de Weber donné par (2.1). u e ve On note par ξ = − i = u − iv. Comme u − iv est analytique, alors : e e U U ξ = u − iv = eτ −iθ ,. 2.13. o` u θ = − arg(ξ) désigne l’angle entre le vecteur vitesse et l’horizontale et eτ = |ξ| . Evaluons maintenant la courbure K. On a par définition en coordonnées intrinsèques curviligne :

(22)

(23)

(24) d~eT

(25) d~eT 1

(26)

(27) = 1 = K ~eN = ~eN ⇒

(28) ds R ds

(29) R. 2.14. o` u ~eT et ~eN sont les vecteurs unitaires tangentiel et normal a` la surface libre respectivement, ds désigne un élément de longueur d’arc sur la surface libre. Soit V~ = (u, v) = (eτ cos θ, eτ sin θ) le vecteur vitesse de l’écoulement,

(30)

(31)

(32)

(33) q =

(34) V~

(35) = eτ . De la géometrie differentielle plane, si une courbe est parametrée par un parametre t, alors :

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41) d~eT

(42)

(43) d~eT dt

(44)

(45) d~eT

(46)

(47) =

(48)

(49)

(50)

(51) ds

(52)

(53) dt ds

(54) =

(55) dt 18.

(56) 1

(57)

(58) q

(59).

(60) donc

(61)

(62)

(63) d~eT

(64) −τ 1

(65) e . =

(66) R

(67) dt

(68) d’autre part on a

(69)

(70)

(71)

(72)

(73) d~eT

(74)

(75) dθ

(76) dθ dθ d~eT

(77) =

(78)

(79) = (− sin θ, cos θ) =⇒

(80)

(81) dt dt dt dt

(82)

(83) dt

(84) comme. dθ ∂θ ∂x ∂θ ∂y = + dt ∂x ∂t ∂y ∂t ∂θ ∂φ ∂x ∂φ ∂y = + ∂φ ∂x ∂t ∂y ∂t ∂θ 2τ = e ∂φ. d’o` u

(85)

(86)

(87) ∂θ

(88) 1 = K =

(89)

(90)

(91)

(92) eτ sur BC R ∂φ. 2.15. Par suite, l’équation de Bernoulli en variables non dimensionnelles sur la ligne de courant BC s’écrit : 2τ. e avec les conditions   θ = 0,  θ =β,.

(93)

(94) 2

(95)

(96) ∂θ

(97)

(98) τ −

(99)

(100) e = 1, α ∂φ. ψ = 0,. ˆ −∞ < φ < −K. ψ = 0,. ˆ <φ<0 −K. 2.16. sur. AO,. 2.17. sur OB.. Le problème est de déterminer la fonction τ −iθ analytique dans la région ψ > 0 et qui vérifie les conditions (2.16) et (2.17). Ce qui termine la formulation du problème.. 19.

(101) 2.3. Proc´ edure num´ erique. Pour résoudre le problème numériquement, on applique la technique de troncation de série utilisée par Vanden-Broeck et Keller[28]. Avant d’écrire la forme de la série, on transforme le domaine occupé par le fluide dans le plan f (Fig.2.2) en un quart de disque unité dans le premier quadrant de la variable t (Fig.2.3). Les parois rigides AO et OB sont transformées sur les rayons du cercle et la surface libre sur la circonférence. La surface libre sera donc décrite par la nouvelle variable σ telle que : t = eiσ π avec 0 ≤ σ ≤ . 2. 20.

(102) C A. O. . Figure 2.3. Le plan potentiel complexe t.. 21. B.

(103) La transformation qui applique le domaine de l’écoulement du plan f dans le plan t est donnée par : ˆ f = −K ˆ = avec K. . t2 − 1 t2 + 1. 2 .. 2.18. 2 π+4. Les points A, O, B et C dans le plan f se transforment respectivement aux points t = i, t = 0, t = 1 et t = i. Les points de la surface libre dans le plan t sont donnés par la relation : t = |t| eiσ. avec 0 ≤ σ ≤. π , 2. 2.19. et dans le plan f par la relation : f = φ,. avec φ ≥ 0.. 2.20. En substituant (2.19) et (2.20) dans l’équation (2.18) on trouve : ˆ f = φ = −K. . e2iσ − 1 e2iσ − 1. 2 sur BC. 2.21. ˆ tan2 σ = −K Ce qui implique que tan σ dσ cos2 σ. 2.22. dσ cos2 σ = sur BC ˆ tan σ dφ 2K. 2.23. ˆ df = dφ = 2K par suite. d’autre part, on a sur la surface libre dθ dφ. =. ∂θ ∂σ cos2 σ ∂σ = ˆ tan σ ∂φ ∂σ ∂φ 2K 22. 2.24.

(104) En utilisant (2.23) et (2.24) l’équation de Bernoulli (2.16) devient. e. 2τ. 1 cos2 σ − ˆ tan σ αK.

(105)

(106)

(107) ∂θ

(108) τ

(109)

(110) e = 1

(111) ∂σ

(112). sur BC.. 2.25. Dans tout le domaine de l’écoulement, la vitesse complexe ξ(t) = u − iv est analytique excepté aux points de singularités O et B qui correspondent aux points t = 0 et t = i, o` u l’écoulement est autour d’un angle. Donc une étude asymptotique aux voisinages de ces points est nécessaire.. 2.3.1. Comportement local de la vitesse au voisinage des singularit´ es. Les points singuliers dans le plan de l’écoulement réel z sont : z = 0 o` u la vitesse est nulle et z = zB qui correspondent respectivement aux points t = 0 et t = 1 dans le plan t. a- Comportement asymptotique au voisinage de t = 0 La configuration de l’écoulement au voisinage de t = 0 dans le plan t est la même qu’au point B, or l’écoulement au voisinage de z = 0 est un écoulement dans un angle de π − β, dont la fonction complexe f est donnée par : f (z) ∼. a µ π ˆ o` z −K u µ= µ π−β. ce qui donne : z∼. hµ a. ˆ f +K. i µ1. ˆ et ψ = 0 lorsque φ −→ −K. En substituant (2.19) dans la relation ci-dessus, on trouve :. 23.

(113) ". ˆ 4t2 1 πK z∼ a π − β t2 + 1 comme ξ =. # µ1 lorsque t −→ 0. df on trouve : dz ". ˆ 4t2 1 πK ξ∼a a π − β t2 + 1. #1− µ1. donc 2β. ξ = O(t π ) lorsque t −→ 0. 2.26. b-Comportement asymptotique au voisinage du point de s´ eparation t = 1. La tentative de considérer que le fluide quitte le bout de la plaque B tangentiellement i.e. γ = π pour toute valeur du nombre de Weber α a échouée. Pour cela, on a laissé la liberté à l’angle de séparation de prendre des valeurs autres que π, i.e. le fluide quite la plaque non tangentiellement. Par la suite,Nous allons voir effectivement pour chaque valeur du nombre de Weber α, il existe un angle β 6= π unique. L’écoulement au point B est autour d’un angle γ. Donc au point de B, la fonction potentiel suivante est donnée par la relation asymptotique suivante :. f∼. a π (z − zB )n o` u µ= lorsque z −→ zB µ γ. 2.27. π df ∼ a(z − zB ) γ −1 lorsque z −→ zB . dz. 2.28. d’o` u. ξ=. 24.

(114) Puisque sur la surface libre ψ = 0, alors : ˆ f = φ = −K. . t2 − 1 t2 + 1. 2 sur BC.. De l’équation (2.28) et l’équation ci-dessus on tire 2 2 # πγ ˆ −π K t − 1 z − zB ∼ lorsque z −→ zB aγ t2 + 1 ". 2.29. En substituant (2.27) dans (2.29) on trouve π 2 #1− πγ −1 2 ˆ γ −π Ka t −1 lorsque t −→ 1, ξ∼ γ t2 + 1. ". 2.30. comme −2 t2 + 1 ∼ 2 t −1 1 − t2. lorsque t −→ 1,. donc γ. ξ ∼ C(1 − t2 )2(1− π ) lorsque t −→ 1. Donc, on peut écrire le comportement de la fonction ξ au voisinage du point de séparation par : ξ ∼ O(. 2.3.2. 1 − t2 2(1− γ ) π ) lorsque t −→ 1. 2. 2.31. Formulation de la s´ erie.. Après avoir déterminer le comportement local de l’écoulement au voisinage des singularités t = 0 et t = 1, on défini la fonction Ω(t) par :. ξ(t) = g(t)Ω(t) 25.

(115) o` u g(t) contient les singularités et les zéros données en (2.26) et (2.31). La fonction Ω(t) est analytique a` l’intérieur du quart de disque unité, alors elle se développe en série entière. C’est à dire : ξ(t) = g(t) exp. ∞ X. ! an tn. 2.32. n=0. En utilisant les conditions aux limites (2.17) et les relations (2.26) et (2.31), l’équation (2.32) devient alors : 2β. ξ(t) = u − iv = e−iβ t π (. ∞ X 1 − t2 2(1− γ ) π exp( ) ak t2k ) 2 k=0. 2.33. o` u les coefficients ak et γ sont des constantes a` déterminer, la série doit être convergente dans le quart de disque unité du plan t. Il est facile de vérifier que les conditions v = 0 sur AO et u = cos β sur OB sont satisfaites si on choisit toutes les ak et γ des réelles. En substituant (2.19) dans (2.33) on obtient : γ 2(1− π ). eτ −iθ = (sin σ) ". exp. ∞ X. ! ak−1 cos 2(k − 1)σ ×. k=1. ∞ X β γ ak−1 sin 2(k − 1)σ exp −i β + π − γ − 2σ( − + 1) − π π k=1. En conséquence  X ∞  β γ   ak−1 sin 2(k − 1)σ   θ(σ) = β + π − γ − 2σ( π − π + 1) − k=1 ! ∞ X γ   τ (σ)  = (sin σ)2(1− π ) exp ak−1 cos 2(k − 1)σ   e. !#. 2.36. k=1. Pour exprimer l’équation de Bernoulli en terme de σ, on remplace τ (σ) et. 26.

(116) θ(σ) par leurs valeurs données dans (2.36) dans l’équation (2.25) on trouve : ! ∞ X γ γ 1 cos2 σ (sin σ)4(1− π ) exp 2 (sin σ)2(1− π ) × ak−1 cos 2(k − 1)σ − ˆ tan σ αK k=1

(117) !

(118) ∞ ∞

(119)

(120) X X γ β

(121)

(122) exp ak−1 cos 2(k − 1)σ

(123) = 1 ak−1 cos 2(k − 1)σ

(124) −2( − + 1) −

(125)

(126) π π k=1 k=1 2.37 Pour déterminer les coefficients ak et l’angle γ on tronque la série après N h πi en N + 1 points en introduisant termes. Ainsi on discrétise l’intervalle 0, 2 π 1 σ(I) = I− I = 1, 2, · · · , N + 1 2.38 2(N + 1) 2 En satisfaisant l’équation (2.37) en des points de collocation (2.38) on obtient un système de N + 1 équations algébriques non linéaire à N + 1 inconnues a1, a2 , · · · , aN et γ. !. N X. γ 1 cos2 σ (sin σ(I))2(1− π ) × ak−1 cos 2(k − 1)σ(I) − ˆ tan σ αK k=1

(127)

(128) ! N N

(129)

(130) X X β γ

(131)

(132) ak−1 cos 2(k − 1)σ(I)

(133) = 1 exp ak−1 cos 2(k − 1)σ(I)

(134) −2( − + 1) −

(135)

(136) π π k=1 k=1 2.39 γ 4(1− π ). (sin σ(I)). exp 2. Pour I = 1, 2, · · · , N + 1 Le nombre de Weber α et l’angle β sont des paramètres. Pour résoudre le système (2.39) on utilise la méthode de Newton.. 2.3.3. Forme de la surface libre. Pour déterminer la forme de la surfce libre, on utilise la relation connue dans les écoulements potentielles et bidimensionnels par :. 27.

(137) ∂x ∂y 1 +i = = e−τ +iθ ∂φ ∂φ u − iv. 2.40. ce qui est équivalent a` :  ∂x   = e−τ cos θ ∂φ ∂y   = e−τ cos θ ∂φ on a. 2.41. ∂x ∂φ ∂y ∂y ∂φ ∂x = et = sur la surface libre ∂σ ∂φ ∂σ ∂σ ∂φ ∂σ. En substituant (2.23), (2.36) dans (2.41) on trouve. ∂x ∂y , en chaque ∂σ ∂σ. point σ(I) i.e.,. !  N X ˆ γ  ∂x 2 K tan σ(I)   ak−1 cos 2(k − 1)σ(I) × (σ(I)) = (sin σ(I))2( π −1) exp −  2 σ(I)  ∂σ cos   k=1  !  ∞  X  β γ   cos β + π − γ − 2σ( − + 1) − ak−1 sin 2(k − 1)σ   π π k=1 ! N X ˆ  γ ∂y 2K tan σ(I)    ak−1 cos 2(k − 1)σ(I) × (σ(I)) = (sin σ(I))2(− π ) exp −  2  ∂σ cos σ(I)  k=1  !  ∞  X  β γ    ak−1 sin 2(k − 1)σ sin β + π − γ − 2σ( − + 1) −  π π k=1 2.42 2 π+4 Ainsi, la forme de la surface libre est obtenue en intégrant numériquement π les relations dans (2.42) dans l’intervalle 0 < σ < avec la condition initiale 2 x(0) = cos β et y(0) = sin β. ˆ = avec K. 28.

(138) 2.3.4. Discussion des r´ esultats. a-Solution sans tension de surface Lorsque la tension de surface est négligée, le nombre de Weber tend vers l’infini, l’équation (2.25) devient : e2τ = u2 + v 2 = 1. sur BC. et le système (2.39) se réduit a` : γ 4(1− π ). (sin σ(I)). exp 2. N X. ! ak−1 cos 2(k − 1)σ(I). = 1,. 2.43. k=1. avec I = 1, 2, · · · , N + 1 o` u les σ(I) sont donnée par la relation (2.38). La méthode décrite ci-dessus permet de trouver l’angle γ et les coefficients ak de la série (2.39) pour chaque 0 < β ≤ π. Le tableau (2.1) montre les valeurs obtenue pour α −→ +∞ de l’angle de séparation γ pour différentes valeurs de l’angle β. Nous constatons que les ak sont négligeables et l’angle de séparation γ ∼ π ce qui implique qu’il n’y a pas de singularité au point de séparation B, i.e, le fluide quitte la plaque tangentiellement. En substituant les valeurs de γ (γ ∼ π) et ceux de ak (ak ∼ 0) dans (2.33) ce qui mène a` la solution exacte : obtient la solution 2β. ξ(t) = u − iv = e−iβ t π. sur la surface libre. Cette solution est la même obtenue par la méthode de Kirchhoff dans le chapitre I. La figure (Fig.2.4) représente le graphe de la surface libre pour les deux méthodes de résolution (exacte et numérique). 29.

(139) .          3.1415901 3.1415906 3.1424110 3.1415901 3.1415901 3.1415901 3.1415901 Tableau 2.1: Valeurs de l'angle de séparation  (  ) pour différentes valeurs de l'angle d’inclinaison .. 30.

(140) b-Solution avec tension de surface On utilise la même méthode pour résoudre le système non linéaire (2.39) pour différentes valeurs du nombre de Weber α et pour chaque angle β, 0 ≤ β ≤ π. On trouve pour chaque valeur de α l’angle γ et les coefficients ak de la série (2.33), le tableau (2.2) présente quelques valeurs des coefficients ak et l’angle γ pour différentes valeurs de l’angle β. Les résultats présentés ici ont été obtenus pour N = 40.. 31.

(141)      05  80  200                . . a1. a5. a9. a20. a30. a40. 5.41323. -2.6002 10-2. 1.9017 10-3. 4.2224 10-4. 1.4902 10-5. 1.2967 10-5. 2.3427 10-6. 4.23965. -1.0218 10-1. -3.2857 10-3. -8.0640 10-4. -9.9611 10-5. -2.8414 10-5. -5.0539 10-6. 3.42702. -7.0978 10-2. -9.5606 10-3. -2.3241 10-3. -2.8198 10-4. -7.3907 10-5. -7.0108 10-6. 3.31913. -5.2569 10-2. -8.8626 10-3. -2.4193 10-3. -3.2588 10-4. -8.9314 10-5. -4.0961 10-6. . 3.14159. -2.5817 10-16. -1.0074 10-17. -4.6868 10-17. -2.0988 10-17. -1.6914 10-17. -4.328110-18. . 4.62762. -2.7984 10-2. 9.6822 10-4. 1.4099 10-4. -1.0057 10-5. -1.6367 10-6. -8.1446 10-8. . 4.1604. -7.0305 10-2. -9.6613 10-4. -3.0907 10-4. -4.2063 10-5. -1.0601 10-5. -2.2104 10-6. . 3.69593. -7.2642 10-2. -4.5260 10-3. -9.6521 10-4. -1.0566 10-4. -2.3357 10-5. -4.5381 10-6. . 3.27926. -3.8886 10-2. -6.1498 10-3. -1.6160 10-3. -2.0651 10-4. -5.1615 10-5. -3.4491 10-6. . 3.14159. 6.4433 10-16. 2.2491 10-16. 1.0667 10-17. 2.6377 10-17. 1.0669 10-17. -1.4877 10-17. . 3.79451. -2.9004 10-2. 9.8314 10-5. -3.4932 10-5. -1.1422 10-5. -2.2081 10-6. -4.6708 10-7. . 3.74496. -3.3294 10-2. -1.8338 10-4. -9.0163 10-5. -1.4852 10-5. -2.9607 10-6. -6.8167 10-7. . 3.42174. -3.7446 10-2. -2.3932 10-3. -5.0194 10-4. -5.3106 10-5. -1.1565 10-5. -2.2325 10-6. . 3.20091. -1.7580 10-2. -2.9682 10-3. -8.1096 10-4. -1.0928 10-4. -2.9949 10-5. -1.3733 10-6. . 3.14159. -3.4896 10-7. -2.8324 10-8. -4.1943 10-9. 4.0970 10-9. 2.1350 10-9. 3.4657 10-10. 0.038. 6.18097. -1.5147 10-2. 4.2973 10-3. 6.3238 10-4. 3.0884 10-4. -2.0740 10-4. -5.2458 10-5. . 4.55058. -1.1481 10-1. -1.5777 10-3. -5.0446 10-4. -7.2950 10-5. -2.1464 10-5. -3.8420 10-6. . 3.7660. -1.1731 10-1. -1.1472 10-2. -2.5603 10-3. -2.7897 10-4. -7.3945 10-5. -1.0441 10-5. . 3.47914. -8.7915 10-2. -1.2528 10-2. -3.1395 10-3. -3.7409 10-4. -9.7314 10-5. -8.5273 10-6. . 3.14159. 3.9802 10-15. 1.3746 10-15. 6.3670 10-16. 2.0279 10-16. 7.7593 10-17. 4.0853 10-18. Tableau 2.2 : Quelques valeurs des coefficients an de la série (2.32) pour différentes valeurs du nombre de Weber  et pour différentes valeurs de l'angle d’inclinaison .. 32.

(142) Comme il apparaˆıt dans le tableau (2.1), les coefficients ak sont décroissants lorsque k croit et que la série est uniformément, absolument convergente pour chaque β, 0 ≤ β ≤ π et pour tout nombre de Weber α. En effet on a :

(143)

(144) ∞ ∞ ∞

(145) X

(146) X X 1

(147) 2(k−1)

(148) ak t |ak | ≤ <∞

(149)

(150) ≤

(151)

(152) k2 k=1. k=1. k=1. Pour chaque angle β, 0 ≤ β ≤ π, et pour tout α assez grand (α ≥ 103 ), l’angle de séparation γ tend vers π tableau 2.1. La condition α → ∞ réduit π et α −→ ∞, en utilisant la la relation (2.25) a` u2 + v 2 = 1. Pour β = 2 méthode de Kirchhoff des lignes de courant, on obtient la solution analytique du problème par :  " 12 12 # 1  s s   ˆ 2 −K ˆ log  x(s) = s2 + Ks +1 + ˆ ˆ K K 1  ˆ   ˆ +K ˆ 2 2 + Kπ  y(s) = 2 Ks 2 qui est identique a` celle trouvée numériquement figure(Fig.2.4).. 2.44. Lorsque le nombre de Weber α décroit de l’infini a` zéro, la forme de la surface libre tend vers une demi droite parallèle à l’axe x0 ox et l’angle de séparation γ −→ β + π. Dans ce cas, puisque l’écoulement dans le plan réel est un polygône, la solution peut être déterminée explicitement en utilisant les transformations conformes.. 33.

(153) y 15.00 14.0 13.0 12.0 11.0. 10.00 9.0 8.0 7.0 6.0. 5.00 4.0 3.0 2.0 1.0. 0.00 0.00. 5.00. 10.00. 15.00. 20.00. 25.00. 30.00. 35.00. x 40.00. Figure 2.4 : Forme de la surface libre pour    2 et    comparée à la solution exacte. 34.

(154) π 2 On transforme le plan réel de l’écoulement dans le plan f de la figure. Solution pour α −→ 0 et β =. (Fig.2.2), en utilisant la transformation de Schwartz-Christoffel (1.1) du Chapitre I on trouve : s −1 1 dz f 2 ˆ f2 = A =A f +K ˆ df f +K Après intégration on trouve : 2H z= π. r. f f ( + 1) − arg sinh ˆ K ˆ K. r. f ˆ K. !. φ ˆ K. !. + iH. Or sur la surface libre f = φ (φ ≥ 0), alors 2H z= π. r. φ φ ( + 1) − arg sinh ˆ K ˆ K. o` u H est la longueur de la plaque.. 35. r. + iH. 2.45.

(155) y 14 12.  . 10.  . 8 6. . 4 2. . 0. x 0. 20. 40. 60. Figure 2.5 : Forme de la surface libre pour    nombre de Weber . 36. 2. 80. et pour différentes valeurs du. 100.

(156) 6.  . 5.  4. 3.  . 2. 1. 0 0. 20. 40. Figure 2.6 : Forme de la surface libre pour    nombre de Weber . 37. 60. 4. 80. 100. et pour différentes valeurs du.

(157) 15. 13. 10. 8  . 5. . 3  . 0 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Figure 2.7 : Forme de la surface libre pour    et pour différentes valeurs du nombre de Weber . 38.

(158) . 3,5. 3,0. 2,5. 2,0. 1,5. 1,0. 0,5. 1/. 0,0 0. 5. 10. 15. 20. 25. 30. Figure 2.8 : Variation de l'angle d'inclinaison  en fonction du nombre de Weber . 39.

(159) Chapitre 3 Effets de la tension de surface sur un ´ ecoulement dans un canal contre un mur inclin´ e. 40.

(160) 3.1. Introduction. Nous considérons un écoulement bidimensionnel stationnaire dans un canal contre un mˆ ur de longueur semi-infinie, faisant un angle β avec l’horizontal (fig.3.1(a)). Le fluide est supposé non visqueux, incompressible et l’écoulement est irrotationnel. Si nous prenons la symétrie par rapport au fond de l’écoulement, qui est une ligne de courant, nous obtenons un écoulement d’un jet symétrique empiétant dans un angle constitué par les deux plaques de longueurs semiinfinies (fig.3.1(b)). Le problème de jets contre des obstacles a été étudié par plusieurs auteurs. Weidong Peng et David F.Parker [17] ont considéré un jet contre un mur vertical de forme irrégulière. Dans leur travail les auteurs ont considéré différentes géométries règulières du mur, symétrique et non symétrique. Négligeant la force de pesanteur et la tension de surface ils ont pu formuler le problème dans une équation intégrale sur la surface libre qui l’ont résolu numériquement. F. Dias, A. R. Elcrat et L. N. Trefethen [8] ont considéré un jet sortant d’un bec de forme polygonale, négligeant la force gravitationnelle et la tension de surface. Malgré que le problème pourrait être résolu théoriquement par la transformation de Schwartz-christoffel, mais dans le cas o` u le bec possède plusieurs coins, la transformation de SchwartzChristoffel est obsolète. Pour remédier à cette limitation mathématique, les auteurs ont décrit une procédure mathématique éfficace pour calculer les jets bidimensionnels sortant d’un récipient dont la forme de sa sortie est polygonale. J. M. Vanden-Broeck et Tuck E. O.[27] ont calculé l’écoulement près de l’intersection d’un mur vertical avec une surface libre en tenant compte seulement de la gravité en premier lieu, ensuite la gravité et tension de la 41.

(161) surface. Dans leur récent travail ils ont présenté la solution locale capillaire de l’intersection d’une surface libre avec le mur. On peut trouvrer un travail similaire dans ( bow flow) o` u la ligne de courant séparatrice peut être assimiler a` un fond rigide. En [1993] F. Dias et J.M. Vanden-Broeck [21] ont calculé par la méthode de troncation de série un modèle pour un jet contre un bâteau, o` u ils ont négligé la tension de la surface et prennent en compte la force de gravité. Dans ce travail on néglige l’effet de gravité mais tenant compte de l’effet de tension de surface. On suppose que les vitesses et les hauteurs des écoulements uniformes en amont est la mème, on les note par e et H e respectivement. Lorsque les effets de la tension de surface et la force U de gravité g sont négligées, le problème possède une solution exacte qui peut être calculée par la méthode des lignes de courant dˆ ue à Kirchhoff (voir, par exemple[[5],[6] ]). Si l’effet de la tension de surface ou la force de gravité est considéré, la condition sur la surface libre est non linéaire et le problème n’a pas de solution analytique connue. La méthode de troncation de série est utilisée dans ce problème pour calculer l’écoulement contre un mur. Cette technique a été utilisée par Birkhoff et Zarantonello [6], Vanden-Broeck et Keller [11], F. Dias et Vanden-Broeck [21] , pour calculer les écoulements non linéaires à surface libre. Comme nous le verrons, l’écoulement sera caractérisé par les deux paramètres : l’angle β entre le fond horizontal de l’écoulement et le mur, et le de nombre de Weber défini par : α=. e 2H e ρeU , Te. o` u Te désigne la tension de surface et ρe la densité du fluide.. 42. 3.1.

(162) 3.2. Formulation du probl` eme. Considérons un écoulement potentiel, bidimensionnel dans un canal contre un mur incliné de longueur semi infinie. Le mur incliné rencontre le fond horizontal au point O faisant un angle β. Nous supposons que le fluide est non visqueux, incompressible et l’écoulement est irrotationnel et stationnaire. Puisque l’écoulement est supposée potentiel, la vitesse normale est nulle sur les frontières rigides : le fond horizontal de l’écoulement et le mur incliné. Loin en amont, nous supposons que l’écoulement est uniforme donc, les vitesses et e et H e respectiles amplitudes de l’écoulement s’approchent des constantes U vement. L’écoulement est limité par la surface libre A0 C 0 B 0 , le fond horizontal AO et le mur incliné OB. En l’absence de la pesanteur l’écoulement s’étend vers −∞ dans la direction du fond et vers +∞ dans la direction du mur incliné OB (Fig. 3.1(a)). Notre formulation est faite pour l’écoulement dans un canal. Nous choisissons les coordonnés cartésiennes tel que l’axe des x e le long de la ligne de courant (fond de l’écoulement) passant par le point de stagnation O et l’axe des ye ascendant par le point O (considéré comme origine des axes). L’angle β est compté positivement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre de l’axe positive des x e. Puisque l’écoulement est potentiel et est e et la même hauteur H e a` l’infini, considéré uniforme avec la même vitesse U donc elle est symétrique par rapport a` la bissectrice de l’angle AOB. On note par C 0 le point d’intersection de la bissectrice de l’angle AOB avec la surface libre, soit (xc , yc ) ses coordonnés.. 43.

(163) ~ y. B. 6. B' 4. C' A' A. . ~ L. ~ H -6. 2. -4. -2. 0O. ~ x. 0 2. -2. -4. -6. Figure 3.1 Figure 3.1(a). Schéma de l'écoulement et des coordonnées. La hauteur du fluide à ~ l'infini est H . La surface libre est A'C'B',  est l'angle entre le fond horizontal et le mur incliné. La figure est un calcul effectif du profile de la surface libre pour   2 3 et  =200.. 44.

(164) y. A'. 6,0. A' 4,0. C' A'. ~ 2L. ~ 2H -6,0. -4,0. A''. -2,0. C''. 2,0. 0,0 0,0 O. x 2,0. -2,0. -4,0. B'' B''. -6,0. Figure 3.1 Figure 3.1 (b). Schéma de l'écoulement est des coordonnées d'un jet impiétant dans ~ un angle de 2(-). La hauteur du jet à l'infini est H . Le jet est supposé symétrique donc la droite AO est une ligne de courant. L'axe x le long de la ligne de courant AO et l'axe y est vertical passant par le point O. La figure est un calcul effectif du profile de la surface libre pour   2 3 et  =200.. 45.

(165) Dans ce travail, on néglige l’effet de la gravité mais on tiens compte de l’effet de tension de surface. Si on néglige les effets de la tension de surface et de la gravité le problème a une solution analytique exacte qui peut être calculée par les transformations conformes et la théorie des lignes de courant. Puisque l’écoulement est irrotationnel et le fluide est incompressible, nous définissons la variable complexe ze = x e + ie y et la fonction potentiel complexe fe = φe + iψe o` u φe est la fonction potentiel et ψe est la fonction de courant. Puisque φe et ψe sont les solutions conjuguées de l’équation de Laplace, fe(e z) est une fonction analytique de ze dans la région de l’écoulement. La vitesse complexe conjuguée est donnée par : dfe ξe = =u e(e x, ye) − ie v (e x, ye) de z. 3.2. o` uu e et ve sont les composantes du vecteur vitesse de l’écoulement respectivement, et sont données par :. u e=. ∂ φe ∂ ψe = , ∂e x ∂e y. ve =. ∂ φe ∂ ψe =− . ∂e y ∂e x. 3.3. On choisit ψe = 0 sur la ligne de courant AOB et φe = 0 a` l’origine O eH e sur la ligne de courant A0 C 0 B 0 . la fonction ((e x, ye) = (0, 0)), alors ψe = U complexe fe = φe + iψe transforme le plan de l’écoulement à une bande infini eH e (Fig.3.2 ). d’amplitude U. 46.

(166) ~. A’. A. C’. O. ~ ~ Figure 3.2 . Le plan potentiel complexe f    i~. 47. B’. B. ~ .

(167) Sur la ligne de courant ( surface libre) A0 C 0 B 0 , l’équation de Bernoulli est satisfaite et telle que : 1 2 pe e H, e −∞ < φe < +∞ qe + = C sur ψe = U 2 ρe. 3.4. o` u pe est la pression du fluide au point sur la surface libre A0 C 0 B 0 , ρe est la √ densité du fluide et qe = u e2 + ve2 est la vitesse de la particule sur la surface libre. On note par pe0 la pression en dehors de l’écoulement juste au-dessus de la surface libre. pe0 est supposée constante. Puisque loin en amont la surface libre est horizontale, nous avons pe = pe0 . Donc, la constante C de l’équation (3.4 ) est évaluée selon les conditions a` l’infini, elle est donnée par : 1 e 2 pe0 U + = C. 2 ρe. 3.5. la relation entre pe et pe0 est donnée par la formule de Laplace : e pe − pe0 = −TeK.. 3.6. e désignent respectivement la tension de surface et la courbure de o` u Te et K e est positif si le centre de courbure de la la surface libre avec la convention K e est négatif s’il est en dehors surface libre est à l’intérieur de l’écoulement et K de l’écoulement. En substituant (3.5) dans (3.4), en utilisant la relation (3.6) on obtient : 1 2 Te e 1 e2 qe − K = U . 2 ρe 2. 3.7. e comme unité En introduisant les variables non dimensionnelles en prenant H e comme unité de vitesse. Les variables non dimensionnelles de longueur et U sont données par : x=. x e ; e H. y=. ye ; e H. q=. qe ; e U. 48. e R; e K = H.. c=. yec e H. 3.8.

(168) le paramètre non dimensionnel c a une caractéristique spéciale : il mesure le rapport de l’amplitude du point le plus proche sur la surface libre du point de stagnation O a` l’amplitude de l’écoulement à l’infini, ce rapport est appelé : coefficient de contraction. La fonction potentiel complexe f et la fonction de vitesse complexe ξ, en variables non dimensionnelles sont données par : f = φ + iψ,. ξ=. df = u − iv dz. 3.9. donc u=. ∂φ ∂ψ = ∂x ∂y. et. v=. ∂φ ∂ψ =− ∂y ∂x. 3.10. (z = x + iy, φ et ψ sont la fonction potentiel complexe est la fonction de courant non dimensionnel respectivement, u est l’abscisse du vecteur vitesse dans la direction de l’axe des x , v son ordonné dans la direction de l’axe des y). Utilisant (3.8) et la relation (3.1) l’équation de Bernoulli (3.7) se réduit en variables non dimensionnelles a` : q2 −. 2 K = 1. α. 3.11. o` u α est le nombre de Weber défini en (3.1). Ainsi, le problème physique de l’écoulement formulé ci-dessus peut être formulé comme un problème au limite de la fonction potentiel φ(x, y). 1. ∇2 φ = 0 dans le domaine de l’écoulement. ∂φ = 0 sur les parois rigides. 2. ∂η 2 3. |∇φ|2 − K = 1 sur la surface libre. α 4. φ(0, 0) = 0.. 49.

(169) Résoudre le problème dans cette forme est très difficile, particulièrement est que la condition non linéaire est déterminée sur une frontière inconnue (la surface libre). Au lieu de résoudre le problème dans sa forme équations aux dérivées partielles en φ, nous tirons d’avantage de cette propriété pour un écoulement potentiel bidimensionnel (comme dans notre problème) et si le plan dans lequel l’écoulement peut s’identifier au plan complexe, la vitesse complexe ξ = u − iv et la fonction complexe potentiel f = φ + iψ, sont des fonctions analytiques. D’o` u nous utilisons toutes les propriétés nécessaires des fonctions analytiques d’une variable complexe ; la formulation intégrale, la formulation de la série, la transformation conforme etc· · · . Nous réecrivons la vitesse complexe ξ avec les nouvelles variables τ et θ par : ξ = u − iv = eτ −iθ. 3.12. o` u eτ = |ξ| et θ est l’angle que forme la ligne de courant avec l’axe des x. D’après (2.15) (voir chapitre 2) la courbure K s’écrit avec les nouvelles variables τ et θ par :

(170)

(171)

(172) ∂θ

(173) K =

(174)

(175)

(176)

(177) eτ sur la surface libre ∂φ. 3.13. On remplace K par sa valeur dans l’équation (3.11) on trouve :

(178)

(179)

(180) ∂θ

(181) α τ

(182)

(183) = (e − e−τ )

(184) ∂φ

(185) 2. ψ = 1, −∞ < φ < ∞.. 3.14. Les conditions cinématiques sur AO et OB deviennent :   θ = 0,  θ =β,. ψ = 0, ψ = 0,. −∞ < φ < 0 0<φ<∞ 50. sur sur. AO OB. 3.15.

(186) Nous chercherons τ − iθ comme fonction analytique de f = φ + iψ dans la la bande 0 < ψ < 1 et qui vérifie les conditions (3.14) et (3.15).. 3.3. Proc´ edure num´ erique. En utilisant la transformation de schwartz-christoffel, nous transformons la bande 0 < ψ < 1 dans le plan f au demi disque unité inférieur de la variable auxiliaire t (Fig.3.3) par la transformation : 2 f = log π. . 1−t 1+t. .. 3.16. Le point de stagnation O est transformé à l’origine, les points a` l’infini A = A0 et B = B 0 correspondent aux points t = 1 et t = −1 respectivement. Dˆ u à la symétrie, le point C est transformé au point t = −i. Les parois rigides se transforment sur le diamètre et la surface libre sur la circonférence inférieure du demi cercle (Fig3.3). Les points de la surface libre dans le plans t sont donnés par : t = |t| eiσ avec − π ≤ σ ≤ 0. 3.17. f = φ + i avec − ∞ < φ < ∞. 3.18. et dans le plan f par :. 51.

(187) B=B'. O. A=A'. . C'. Figure 3.3 . Le plan potentiel complexe t.. 52.

(188) Pour résoudre le problème on é

(189) crit

(190) l’équation de Bernoulli (3.14) dans le

(191) ∂θ

(192) plan t. Pour cela, on doit évaluer

(193)

(194)

(195)

(196) . ∂φ En substituant ( 3.17) dans (3.9) on trouve : f =φ+i=. σ 2 log −i tan π 2. 3.19. ce qui implique que ∂φ 2 = ∂σ π sin σ. 3.20. d’autre part, on a sur la surface libre ∂θ ∂θ ∂σ π ∂θ = = sin σ ∂φ ∂σ ∂φ 2 ∂σ Finalement l’équation de Bernoulli devient :

(197)

(198)

(199) ∂θ

(200) π exp(2τ ) − exp(τ ) sin(σ)

(201)

(202)

(203)

(204) = 1 sur A0 C 0 B 0 α ∂σ. 3.21. Dans tout le domaine d’écoulement, la vitesse complexe de ξ(t) = u − iv est analytique sauf au point O, qui correspond à t = 0, o` u l’écoulement est à l’intérieur d’un angle. Par conséquent, une étude asymptotique est nécessaire au voisinage de ce point.. 3.4. Comportement asymptotique de la vitesse au voisinage du point de stagnation. Au point O, nous avons un écoulement a` l’intérieur de l’angle π − β, donc l’écoulement est donné par la fonction complexe suivante : 53.

(205) f (z) =. a µ π z avec µ = µ π−β. ce qui donne. z∼. h µ i µ1 f a. lorsque φ −→ 0 et ψ = 0. En substitant (3.16) dans la relation ci-dessus on trouve : . 1 π z∼ log aπ−β comme ξ =. . 1−t 1+t. µ1 lorsque t −→ 0. df alors dz . 1 π ξ∼a log aπ−β. . 1−t 1+t. 1− µ1. on a log. 1−t 1+t. . = −2t + O t2. . ce qui donne. ξ=. 3.4.1. β df ∼ (t π ) dz. lorsque. Formulation de la s´ erie :. Nous définissons la fonction Ω(t) comme suit : ξ(t) = g(t)Ω(t). 54. t −→ 0.. 3.22.

(206) o` u g(t) contient les singularités et les zéros. La fonction Ω(t) est analytique a` l’intérieur du disque unité |t| < 1, alors elle se développe en série. C’est a` dire : ξ(t) = g(t) exp. ∞ X. ! an tn. 3.23. n=0. En utilisant les conditions aux limites (3.15) et la relation (3.22) l’équation (3.23) devient alors : ∞ X β ξ(t) = u − iv = t π exp( ak t2k ). 3.24. k=0. o` u les coefficients ak sont des constantes réelles à déterminer. L’équation (3.24) vérifie toutes les conditions aux limites sauf la condition non linéaire de Bernoulli (3.21), de plus la série (3.24) doit être convergente dans le demi disque unité inférieur du plan t. Il est facile de vérifier que les conditions v = 0 sur AO et u = cos β sur OB sont satisfaites si on choisit tous les ak des réelles. En substituant (3.17) dans (3.24) on obtient : !# "∞ ∞ X X βσ ak sin 2(k − 1)σ ak cos 2(k − 1)σ + i + eτ −iθ = exp π k=1 k=1. 3.25. d’o` u       θ(σ) = −   τ (σ)    e. ∞ βσ X + ak sin 2(k − 1)σ π k=1 ! ∞ X = exp ak cos 2(k − 1)σ. ! 3.26. k=1. En utilisant t = |t| eiσ donc les points de la surface libre A0 C 0 B 0 sont donnés par t = eiσ et −π < σ < 0. Utilisant (3.26) l’expression (3.21) s’écrit alors : 55.

(207) ∞ X. ! ∞ X π exp 2 ak cos 2(k − 1)σ − sin σ exp ak cos 2(k − 1)σ × α k=1 k=1

(208) !

(209) ∞

(210) β X

(211)

(212)

(213) + ak cos 2(k − 1)σ

(214) = 1

(215)

(216) π