Dr Fouad BOUKLI HACENE
E P S T T L E M C E N A N N É E 2 0 1 5 - 2 0 1 6
Chapitre 5: Mouvement à plusieurs degrés de liberté
1 ière Partie: VIBRATIONS
Objectifs:
1. Les équations différentielles d’un mouvement couplé 2. Les différentes solutions du problème
3. La notion des modes propres 4. Le phénomène du Battement
5. Le mouvement forcé à plusieurs degrés de liberté 6. Notions de « Résonance et Antirésonance »
7. Quelques Applications
Définitions:
On définit les systèmes à plusieurs degrés de liberté par les systèmes qui nécessitent plusieurs coordonnées indépendantes.
Détermine le nombre des équations différentielles
Les modes propres du mouvement.
Le nombre de degré de liberté
Il existe deux types de systèmes :
Systèmes à plusieurs sous systèmes découplés:
comme le montre la figure 1.5:
Figure 1.5 : Mouvement oscillatoire non couplé à deux degrés de liberté
Il existe deux degrés de liberté :
x
1, x
2 Le Lagrangien du système s’écrit alors:
2
1 i
2 i i 2
i 2
1 i
i k x
2 x 1
2 m
L 1
Les deux sous systèmes sont indépendants et découplés:
Le système différentiel s’exprime alors:
0 0 0
0
2 2 2
2
1 1 1
1
2 2
1 1
x k x
m
x k x
m x
L x
L dt
d
x L x
L dt
d
On considère des petites oscillations devant la longueur du ressort,
1 2 1
02 1
2 1 01 2
2 2 02
1 2 1 01
m , k
m avec k
0 x
x
0 x
x
On obtient un système différentiel découplé qui s’exprime comme suit:
Les deux solutions des sous-systèmes sont indépendantes de la forme:
) t
cos(
B )
t ( x
) t
cos(
A )
t ( x
2 02
2
1 01
1
Pour un système forcé, on a le modèle représenté dans la figure 2.5 comme suit:
Figure 2.5 : Mouvement Forcé non couplé à deux degrés de liberté
Les équations différentielles du système sont données comme suit:
) (
) (
2 2
2 2
1 1
1 1
t F kx
x x
m
t F kx
x x
m
Système complexe :
C’est un système constitué par plusieurs sous-systèmes couplés comme le montre la figure 3.5:
Figure 3.5 : Mouvement oscillatoire d’un système couplé à deux degré de liberté
Le Lagrangien du système s’écrit comme suit:
2
1
2 2
2 1
2 2
1 2
1 2
1 2
) 1 2 (
1 2
) 1 ,
, , (
i
i i i
i
ix k x x k x
m x
x x x
L
Le système différentiel s’écrit:
0 kx
x ) k k
( x
m
0 kx
x ) k k
( x m x 0
) L x ( L dt
d
x 0 ) L
x ( L dt
d
1 2
2 2
2
2 1
1 1
1
2 2
1 1
Les pulsations propres :
On considère les solutions du système de types sinusoïdales
) t ( j 2
) t ( j 1
p p
Be )
t ( x
Ae )
t ( x
o En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :
o Le système admet des solutions non nulles si seulement si:
D’où :
o L’équation paramétrique s’écrit
0 kA B
) k k
m (
0 kB A
) k k
m (
2 2
p 2
1 2
p 1
0 det
k 0 k
m k
k k
k m
2 2
p 2 1
2 p
1
0 )
K 1
( )
( 12 22 2p 12 22 2
4
p
o On définit les constantes suivantes comme suit:
) )(
( 1 2
2 2
2 2 2
2 1
2 1
1 k k k k
K k m et
k m
k
Ou K est appelée le coefficient du couplage, o Les deux pulsations propres sont :
2 2 2 1 2 2
2 2 2
1 2
2 2
2 1 2
2 2 2 1 2 2
2 2 2
1 2
2 2
2 1 1
4 )
2 ( 1 2
4 )
2 ( 1 2
K K
p p
o La solution générale su système s’écrit sous la forme d’une superposition des deux modes propres, comme suit :
o Il existe 6 constantes à déterminer:
) cos(
) cos(
) (
) cos(
) cos(
) (
2 2
2 1
1 1
2
2 2
2 1
1 1
1
t B
t B
t x
t A
t A
t x
p p
p p
2 1
2 2
1
1
, , A , , B , B A
o Afin de simplifier le nombre d’inconnu; On détermine les rapports d’amplitudes aux modes propres:
2 1
2
2 1
1
/ ,
/ ,
B B
A A
p p
p p
Il existe plusieurs types de couplage:
Figure 4.5 : Couplage équivalent, Résistance-Force de frottement
Figure 5.5 : Couplage équivalent, Capacité-Ressort
Battements
:On étudie le couplage de deux systèmes mécaniques identiques représentés dans la figure 6,5 comme suit:
Figure 6.5 : Mouvement oscillatoire couplé de deux sous-systèmes identiques
Les nouvelles équations du mouvement s’écrivent comme suit:
0 kx
kx 2 x
m
0 kx
kx 2 x
m
1 2
2
2 1
1
Les solutions du système sont de types sinusoïdaux :
) t ( j 2
) t ( j 1
p p
Be )
t ( x
Ae )
t ( x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire symétrique suivant :
0 )
2 (
0 )
2 (
2 2
kA B
k m
kB A
k m
p p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si:
0 det
D’où: 0 k
2 m
k
k k
2 m
2 p 2
p
Alors on obtient l’équation paramétrique suivante :
0 k
) k 2 m
( 2p 2 2
Après calcul, on obtient
les deux pulsations propres :
m k m
k
p p
2 3
2 2 1
Les solutions générales sont de la forme suivante:
) cos(
) cos(
) (
) cos(
) cos(
) (
2 2
2 1
1 1
2
2 2
2 1
1 1
1
t B
t B
t x
t A
t A
t x
p p
p p
On étudie les rapports d’amplitude pour chaque mode propre ; On a ainsi:
m k
p p 1
Pour:
A B
A kB
A k
m p
12 2 ) 1 1 0 1 1 (
Figure 7.5 : Etat du système pour le premier mode.
« En phase »
m k
p
p 2 3
Pour:
B B
A kB
A k
m p
22 2 ) 2 2 0 2 2
(
Figure 8.5 : Etat du système pour le deuxième mode.
« En opposition de phase »
Les solutions générales deviennent alors:
) cos(
) cos(
) (
) cos(
) cos(
) (
2 2
1 1
2
2 2
1 1
1
t B
t A
t x
t B
t A
t x
p p
p p
On peut réécrire les solutions générales sous la forme matricielle:
V p p
P
t B
t A
t x
t
x
) cos(
) cos(
1 1
1 1
) (
) (
2 2
1 1
2
1
V
: représente le vecteur des modes propres :représente la matrice de passage
P
Avec:
En appliquant les conditions initiales suivantes :
0 )
( 0
) (
0 )
( )
(
2 2
1 1
t x t
x
t x C
t x
On obtient les quatre équations:
0 sin
sin 0
cos cos
0 sin
sin cos
cos
2 2
1 1
2 1
2 2
1 1
2 1
p p
p p
B A
B A
B A
C B
A
On somme et on soustrait les deux membres de chaque équation ; on aura :
0 sin
2 cos
2
0 sin
2 cos
2
2 2
2
1 1
1
p p
B C
B
A C
A
2 2
cos 0 2
sin
cos 0 2
sin
2 1
2 2
1
1 C
B A
C et B
A C
D’où :
Alors la solution générale s’écrit comme suit:
t t t t
C t
x
t t t t
C t
x t
B C t
t x
t B
C t t
x
p p
p p
p p
p p
p p
p p
sin 2 sin 2
) (
cos 2 cos 2
) ( cos
2 cos )
(
cos 2 cos
) (
2 1
2 1
2
2 1
2 1
1
2 1
2
2 1
1
2 2
2 1
2
1p p pt p
t et
On pose les constantes
suivantes:
Alors les amplitudes s’expriment comme suit:
t t
C t
x
t t
C t
x
sin sin
) (
cos cos
) (
2 1
On constate que l’amplitude est modulée.
Ce phénomène est appelé les battements ;
Figure 9.5 : Phénomène les battements Où « Modulation d’amplitude »
On applique une force extérieure de forme sinusoïdale au premier sous système qui s’exprime comme suit:
j t
e
F e R
t
F ( )
0 Les équations différentielles du mouvement s’écrivent comme suit :
0 2
) ( 2
0 )
(
) ( )
(
1 2
2
0 2
1 1
2 2
1 1
kx kx
x m
e F R t
F kx
kx x
m x
L x
L dt
d
t x F
L x
L dt
d
t j e
Mouvement oscillatoire forcé à deux degrés de liberté:
Les solutions particulières sont de la forme:
) (
2 2
) (
1 1
) ( )
(
) ( )
(
t j p
t j p
Be t
x t
x
Ae t
x t
x
On obtient un système linéaire forcé suivant :
j
j B Be
Ae A
Avec
A k B
k m
F B
k A
k m
~ ~
~ 0 ) ~
2 (
~ ~ ) 2 (
2
0 2
les modules des amplitudes sont exprimés comme suit :
) )(
( 2
2
0 2
) )(
(
) (
2 2
2 0
2 2 2
2 1 2
2 0
2 2
0 2
2 2 2
2 1 2
0 2
2 2
2 0
p p
p p
m k F
k m
k
k k
m
k
F k
m B
m k m
F
k m
k
k k
m
k m
k F
A
p
quand p
B A
2
1
m quand k
te cons
B
A
tan 0
La résonance
Anti résonance
On obtient deux phénomènes:
La figure 10.5 illustre bien les phénomènes de résonance et d’antirésonance
Figure 10.5 : Phénomène de résonance et d’anti-résonnance à deux degrés de liberté
Application:
En appliquant la force de frottement au système à deux degrés de liberté ; on éliminera les singularités au niveau des modes propres.
c’est l’une des applications les plus intéressantes en régime forcé. on peut citer comme exemple ;
l’amortisseur de FRAHM
Le modèle mécanique est donné comme suit
figure 11.5 : Modèle mécanique de l’amortisseur de FRAHM
Les nouvelles équations différentielles du mouvement:
0 ) ( )
( 0
) (
) (
1 2
2
1 2
1 1
2 2
1 1
Kx Kx
x M
x t
F Kx
x K k
x m x
L x
L dt
d
x F L x
L dt
d
i
ext
0
cos )
(
1 2
2
0 2
1 1
1
Kx Kx
x M
t F
Kx x
K k
x x
m
En régime permanent, En remplaçant la forme des solutions particulières:
) (
2 )
(
1p
( t ) Ae
i tet x
p( t ) Be
i tx
En remplaçant dans le système différentiel, on obtient un système linéaire comme suit:
ˆ 0 ˆ
) ˆ (
2
0 2
B K M
A K
F KB
A i
K k
m
p p
Les modules d’amplitudes des solutions particulières s’écrivent alors comme suit:
) (
) (
ˆ
) (
) (
ˆ
2 2
4
0
2 2
4
2 0
M K i m
m k M
K M
K m
K k
M K m F B
M K i m
m k M
K M
K m
K k
M K m
A F
La masse m est immobile lorsque la pulsation de la force extérieure est égale à :
M K
a
2 D’où l’amplitude A est nulle dans ce cas.
Dans ces conditions, un tel dispositif est appelé Un étouffeur dynamique de vibrations
La figure illustre les phénomènes de résonance et d’antirésonance
Figure 42.5 : Phénomène de résonnance et d’antirésonance
Figure 12.5. : Application technique de
l’amortisseur de FRAHM où l’Etouffeur dynamique
Il est efficace pour une bande de fréquence très réduite.
En effet ; la masse m doit être plus faible que la masse M qui doit être amortie
On peut citer d’autres exemples d’applications : l’oscillation des véhicules
Pour 3 degrés de liberté
:On a le système mécanique à trois degrés de liberté couplé comme suit:
Figure 11.5 : Mouvement oscillatoire à trois degrés de liberté
Pour l’énergie cinétique on a :
2 3 3 2
2 2 2
1 i 1
c
m x
2 x 1
2 m x 1
2 m
E 1
L’énergie potentielle est Calculée comme suit:
2 3 2
2 2 1
p k( x x )
2 ) 1
x x
( 2 k
E 1
Le Lagrangien s’exprime alors:
2 3 2
2 2 1
2 3
1 3
2 1
3 2
1
) 2 (
) 1 2 (
1
2 ) 1
, ,
, ,
, (
x x
k x
x k
x m x
x x
x x
x
L
ii
i
0 kx
kx x
m
0 kx
kx kx
2 x
m 2
0 kx
kx x
m
x 0 ) L
x ( L dt
d
x 0 ) L
x ( L dt
d
x 0 ) L
x ( L dt
d
2 3
3
3 1
2 2
2 1
1
3 3
2 2
1 1
A partir du modèle de Lagrange, le système différentiel s’écrit comme suit :
On obtient un système différentiel couplé à trois inconnus,
On considère les solutions du système de type sinusoïdales;
) t
( j 3
) t
( j 2
) t
( j 1
p p p
Ce )
t ( x
Be )
t ( x
Ae )
t ( x
En remplaçant les solutions dans le système différentiel, On obtient un système linéaire suivant :
0 kB
C ) k m
(
0 kC
kA B
) k 2 m
2 (
0 kB
A ) k m
(
2 p 2 p
2 p
On peut réécrire le système linéaire sous la forme matricielle:
0 0 0
0
) 2 2
0
2 2
2
C B A
k m
k
k k
m k
k k
m
p p
p
Le système admet des solutions non nulles si seulement si
0 det
On obtient l’équation paramétrique suivante:
0 ]
k )
k m
)[(
k m
(
2p
2p
2
2
Donc les pulsations propres sont déterminés comme suit:
m k m
k
p p p
2 0
2 3
2 2 2 1
) cos(
) cos(
) cos(
. )
( ) (
) (
3 2 1
t C
t B
t A
t x
t x
t x
P
Ainsi les solutions générales s’écrivent en fonction des modes propres comme suit
Où P est la matrice de passage qui relie les solutions générales en fonction des modes propres,
Les éléments de la matrice de passage sont les composantes des vecteurs propres associés à chaque mode propres,
Pour le premier vecteur propre associé à la valeur propre:
V
1
0 )
( 0
0 )
2 2
(
0 0
) (
1 1
2 1 1
1 1
1 2
1
1 1
1 2
1
kB C
k m
A
kC kA
B k m
C kB
A k m
p p
p
m
k
p
2
1Est:
0 0
1
1 1
1
B
C A
B
1
0
1
V
1 Pour le deuxième vecteur propre associé à la valeur propre:
22p 0
Est:
V
2
0 )
( 0
0 )
2 2
(
0 0
) (
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
kB C
k m
A
kC kA
B k m
C kB
A k m
p p
p
2 2
2 2
C B
B A
1
1
1
V
2 Pour le troisième vecteur propre associé à la valeur propre:
m k
p 2 2
3
Est:
V
3
0 )
( 0
0 )
2 2
(
0 0
) (
3 3
2 3 3
3 3
3 2
3
3 3
3 2
3
kB C
k m
A
kC kA
B k m
C kB
A k m
p p
p
3 3
3 3
C B
B A
