Partie: VIBRATIONS 1

Dr Fouad BOUKLI HACENE

E P S T T L E M C E N A N N É E 2 0 1 5 - 2 0 1 6

Chapitre 4: Mouvement forcé à un degré de liberté

1 ^ière Partie: VIBRATIONS

Objectifs:

1. L’équation différentielle d’un mouvement Forcé 2. Les différentes solutions du problème

3. Le phénomène de résonance 4. Quelques applications

 Définitions:

 Les vibrations mécaniques sont à l’origine d’une grande partie des problèmes industriels.

 Ces vibrations sont symbolisées par un ensemble d’oscillateurs constitués de masse ; de ressorts et d’amortisseurs.

 On définit alors une oscillation forcée, tout système en mouvement sous l’action d’une force extérieure,

Figure 1 .4 : Schéma d’un mouvement forcé

 Modélisation mathématiques:

 On calcule le Lagrangien pour le système forcé comme suit:

2 2

2 1 2

) 1 ,

( x x E E m x kx

L  



  

 L’équation de mouvement est de la forme:

) ( .

)

( x F t

x L x

L dt

d   



 



 

 

x kx x L

x m

L  



 



 



Avec:

) ( . x F t kx

x

m        

) (t F kx

x x

m       

 Finalement, on obtient L’équation de mouvement comme suit:

 C’est une équation différentielle linéaire inhomogène avec second membre,

 Elle admet deux solutions:

o Une solution générale et o Une solution particulière

 Le mouvement forcé est exprimé en présence de la force de frottement visqueuse comme suit:

m et k

m 



2   

Avec:

Où F(t) est appelée la fonction excitation extérieure.

m t t F

q t

q t

q ( )

) ( )

( 2

)

(   ^  







, 



 La solution q(t) de l’équation différentielle ; représente la réponse du système face à l’action extérieure, qui est calculée par la somme de deux thermes:

) ( )

( )

( t q t q t

q 



Où et représentent respectivement la solution générale et la solution particulière de l’équation différentielle,

) (t

q_g q_p(t)

 Il faut signaler qu’au début du mouvement q(t) représente le régime transitoire.

 Au fil du temps la solution homogène devient négligeable devant la solution particulière ; à ce moment on a:

le régime permanent.

 Ainsi, la solution totale dans ce cas, sera de la forme suivante:

q ( t )  q

( t )

Figure 2.4 : Superposition du régime transitoire et du régime permanent

Résolution:

 Dans le cas où l’excitation est sinusoïdale de type:

) Re(

cos )

( t F

t F

e

F   

 La solution totale s’écrit alors comme suit:

) cos(

) ( )

( t  q t  A  t  

q

Où la constante A représente l’amplitude de la solution totale et  le déphasage.

 On cherche la solution de l’équation différentielle sous forme complexe :

) Re(

) ( )

( t  q

t  Ae

q

Avec

Alors: l’amplitude s’écrit sous la forme complexe comme suit:









 

j Ae

F







2

2

0 2

0

2 2 2

2 0 2

0

4 )

( )

(      





A F

2 0 2

2



 





 Artg 

 En module  En phase

)

)

( t  j  Ae

q 

) (

)

( t    Ae

q  

 L’étude des variations du module de l’amplitude se fait par:

) 0

( 



 d 

A d

A cet effet on étudie les variations de la fonction h(Ω) :

2 2 2

2 0

2 ) 4

( ) ( ) 0

(       









 h

d avec dh

 On obtient ainsi, deux pulsations:











 





2 2

0

2 ) 8

( ) 4

(  

d

Avec : dh

2 2

0 02

01

2 0

















r

 Après ; on calcule la deuxième dérivée de la fonction h(Ω);

on obtient:

) 2 (

4 12

8 8

) (

) 4

( _{2 2}

0 2

2 2

2 0 2

2             



 d 

h d

 On étudie le signe de la deuxième dérivée pour déterminer le maximum et le minimum,

 Pour la première pulsation Ω=Ω₀₁ on a:

0 )

( 0

)

( _{01 01}

''    A  

h

D’où la pulsation Ω=Ω₀₁ présente un minimum pour l’amplitude A,

 Pour la deuxième pulsation Ω=Ω₀₂ on a : 0 )

( 0

)

( _{01 01}

''    A  

h

D’où la pulsation Ω=Ω₀₂ présente un maximum pour l’amplitude A

2 2 2

2 0 2

0

max ( ) 4

) (

r r

r m

F

A      





2 2

0 0 2

2 0 0

max 2

)

(       

 

 m F

F A _r

D’où

 Pour des très faibles amortissements ; l’amplitude maximale est égale à :

0 0

0

)

(  

 ^{avec }

A 

 F

 Donc pour la pulsation Ω=Ω₀₂ on obtient la réponse maximale du système.

 On a dans ce cas le phénomène de résonnance.

 A la fréquence de résonnance l’amplitude s’exprime comme suit:

r



 La figure 3.4 illustre la variation du rapport de l’amplitude en fonction du rapport de la fréquence pour différentes valeur de ξ

 La figure 4.4 représente la variation de la phase en fonction du rapport de la fréquence pour différents valeurs de ξ

 On définit aussi :

o La largeur de la bande passante



1

2

 







Où Ω₁ , Ω₂ sont des pulsations déduites par l’intersection de la courbe de l’amplitude de la réponse du système A(Ω) et la droite

2 )

max ( r

A 

o Le facteur de qualité Q pour un faible amortissement:

1 2

 



 

Q

 Pour des Oscillations électriques:

On considère le circuit oscillant R.L.C alimenté par une source de tension sinusoïdale U(t) tel que :

t

e

U t

U ( ) 

La figure 5.4 illustre le schéma du circuit oscillant R.L.C en série alimenté par une source de tension U(t) :

Figure 5.4 : Circuit oscillant R.L.C alimenté par

Une source de tension extérieure

 Le bilan des tensions s’écrit :

) ( )

) ( ( )

( Ri t U t

C t q dt

t L di

ap

ind   

Sachant que le courant i(t) pendant un temps dt apporte une charge tel que :

dt t t dq

i ( )

)

( 

On obtient alors l’équation différentielle du mouvement comme suit :

) ) (

) ( ( )

( U t

C t t q

q R t

q

L    

On remarque que cette équation est équivalente à l’équation d’un mouvement oscillatoire forcé comme suit

m t t F

m x t k

m x t

L x t U LC

t t q

L q t R

q ( )

) ( )

( )

) ( ( )

) ( ( )

(          



 

 On peut conclure que l’analogie entre le système mécanique et le système électrique est de la forme suivante:

) ( )

1 (

) ( )

( U t F t

et R

c k

t x t

q

m L

ap ind



















 

 Dans le cas d’une excitation F(t) quelconque mais périodique de période T. Elle peut s’écrire sous la forme de série de Fourier

comme suit :

 

avec T t

n b

t n a a

t F

n

n n

 sin 2

2 cos )

(

1

0      





































T

T n

T n

T

tdt t

T F b

et

tdt n

t T F

a

dt t T F

a

sin ) 2 (

cos ) 2 (

) 1 (

0 ,

0 0

,

Où les coefficients sont déterminés comme suit:

 Application technique:

 On considère un système de réception radio modélisé par un circuit R, L_ind, C_ap en série et alimenté par une source de tension sinusoïdale d’intensité:

t cos

u )

t (

u 



Figure 12.4 : Circuit R.L.C en série

 Le circuit est en série, on peut le schématiser comme suit :

Figure 13.4 : Circuit R,L,C équivalent en série

 L’impédance équivalente totale est égale :

C ) L 1

( j R

Z~

ap ind

éq  





 Le module du courant s’écrit:

2 ap

ind 2

0 éq

0

C ) L 1

( R

u Z~

) t ( ) u

( I

 











 Le module du courant est maximum pour la valeur de:

R I_0max  u⁰

C 0 L 1

ap

ind  

 

On obtient alors la valeur

de la pulsation correspondante: ⁰

1 

  

ap ind

r

L C

:est appelée la pulsation de résonance qui ne dépend que de l’inductance et de la capacité



 La bande passante est définit:

1

2





  



Sont déterminées en résolvant l’équation paramétrique suivante:

2 ap

ind 2

max 0 0

C ) L 1

( R

u 2

I

  





L

 R





  



1 2

, 



 Le facteur de qualité s’écrit:

R Q

L





 _

 

 Remarques:

 On constate que la fréquence de résonnance ne dépend pas de la résistance R,

 Par contre la bande passante et le facteur de qualité varient en fonction de la résistance,

 Pour une bonne application technique du système, c’est-à-dire avoir une très bonne réception du signal; il faut que la résistance du circuit soit faible



Effet POGO:

 L'effet POGO est, en mécanique des structures, un phénomène oscillatoire longitudinal instable qui peut se produire dans les étages à ergols liquides d'un lanceur, générant des chocs pouvant détruire le lanceur ou sa charge.

 Cet effet est provoqué par des fluctuations de poussée du moteur, qui engendrent des vibrations de structure et des colonnes du carburant liquide, qui à leur tour se répercutent sur l'alimentation du moteur.

 Lorsque ce cycle de perturbations entre en résonance, les oscillations augmentent et peuvent détruire les structures. Le nom provient du jeu appelé POGO-stick.

 Cet effet détruisit plusieurs fusées et satellites!!!!!

Figure 7.4 : Mécanisme rencontré dans un réservoir de liquide

Soumis à des vibrations Figure 6.4 : Le jouet POGO-Stick

 Considérons le système mécanique suivant:

0

0 (0)

) 0 (

) ( )

( )

(

v x

et x

x

t F t

kx t

x m















Sachant que F(t) représente l’excitation permanente et (x₀ ; v₀) représentent les conditions initiales en position et en vitesse.

 Pour une excitation permanente de forme sinusoïdale ; on a:

t F

t

F( )  ₀ sin

 La solution de l’équation différentielle est de la forme:

m t F t

x





( 2

0 2

0



 

Figure 8.4 : Evolution temporelle de x(t)

 On remarque que la solution prend une valeur infinie lorsque Ω=ω₀ d’où l’apparition du phénomène de résonance de POGO

 Autres Exemples:

On peut citer un autre exemple du phénomène de résonnance. Il s’agit d’un ventilateur accroché au plafond d’une pièce tournant à une vitesse de rotation ω₀. Il apparaitra dans ce cas le phénomène de résonance si le mode propre des vibrations du plafond est très proche de la pulsation ω₀ ; et se traduira par un bruit désagréable.

 L’oscillation forcé dans le cas général est régie par l’équation différentielle:

 Il existe deux régimes :

 Le régime transitoire :

La solution totale du système est:

 Ce qu’il faut retenir!

m t t F

q t

q t

q ( )

) ( )

( 2 )

(  ^ ₀² 





) ( ),

(t q t

q_{g p} représentent respectivement la solution générale la solution particulière

) ( )

( )

(t q t q t

q  _g  _p

 Le régime permanent :

Caractérisé par le phénomène : « La résonance »

la solution du système est de la forme: q(t)  q_p(t)

 Il faut signaler que la force extérieure absorbe les pertes du système due aux forces de frottements,