Ecole Préparatoire en Sciences et Techniques de Tlemcen
PHYSIQUE
VIBRATIONS
Cours et problèmes résolus
Classes préparatoires en sciences et techniques
Présenté par
Dr Fouad BOUKLI HACENE Dr Mohamed MEBROUKI
Année Universitaire : 2015-2016
Deuxième édition
Ce document est destiné aux étudiants de la deuxième année des filières scientifiques et techniques des universités et des écoles d’ingénieurs d’Algérie. Il répond au programme officiel du module « Vibrations» enseignés en deuxième année des filières Sciences et techniques et Sciences de la matière.
Ce manuel contient une série de problèmes liés aux phénomènes de vibrations avec un rappel de cours.
Le manuscrit est divisé en cinq chapitres. Le premier chapitre porte sur l’utilisation du formalisme de Lagrange pour décrire les oscillations des systèmes physiques. L’étude des oscillations linéaires (de faible amplitude) libres des systèmes à un degré de liberté est présentée dans le chapitre deux. Le troisième chapitre traite le mouvement amorti qui prend en compte les forces de frottement de type visqueux proportionnelles à la vitesse du mobile. La notion de résonance consacrée aux oscillations forcées est présentée au quatrième chapitre. Le cinquième chapitre traite les vibrations de systèmes à plusieurs degrés de liberté. Les analogies entre les systèmes électriques et mécaniques sont présentées dans les cinq chapitres.
Chaque chapitre est suivi d’une série de problèmes avec solutions détaillées permettant aux étudiants de mieux assimilés les phénomènes étudiés. Aussi, le manuscrit est enrichi par deux travaux pratiques en relation avec les sujets traités.
Chapitre 1 : Généralités sur les vibrations
1.1 Définitions
1.2 Exemples d’application 1.3 Modélisation physique 1.4 Nombre de degrés de liberté
1.5 Energie totale d’un système mécanique 1.5.1 Equilibre stable
1.5.2 Equilibre instable
1.6 Nature des forces appliquées aux systèmes mécaniques 1.7 Méthodes de détermination de la période d’oscillation 1.7.1 Principe de conservation de l’énergie mécanique 1.7.2 La loi de la dynamique de Newton
1.7.3 Formalisme de Lagrange
1.7.3.1 Genèse du principe de moindre action 1.7.3.2 Contraintes
1.7.3.3 Equations d’Euler-Lagrange 1.7.3.3.a Cas de systèmes conservatifs
1.7.3.3.b Cas de forces de frottement dépendant de la vitesse 1.7.3.3.c Fonction de dissipation de Rayleigh
1.7.3.3.d Cas d’une force extérieure dépendant du temps Exercices
Travail pratique : Conservation de l’énergie mécanique – Roue de Maxwell
Chapitre 2 : Mouvement oscillatoire à un degré de liberté
2.1 Définitions
2.2 Exemple d’oscillations mécaniques (masse+ ressort)
2.4 Applications
2.4.1 La chute libre (Le Bungee) 2.4.2 Pendule simple
2.4.3 Oscillation non linéaire 2.4.4 Pendule pesant
2.4.5 Pendule de torsion 2.5 Oscillations électriques Exercices
Chapitre 3 : Mouvement amorti à un degré de liberté
3.1 Définitions
3.2 Modélisation mathématique 3.2.1 Cas d’un amortissment fort 3.2.2 Cas d’un amortissment critique 3.2.3 Cas d’un amortissment faible 3.3 Aspects énergétiques
3.4 Système électrique équivalent Exercices
Chapitre 4 : Mouvement oscillatoire forcé d’un système mécanique à un degré de liberté
4.1 Définitions
4.2 Cas d’une force extérieure constante
4.2.2 Cas d’un amortissment critique 4.2.3 Cas d’un amortissment fort
4.3 Cas d’une force extérieure sinusoïdale
4.3.1 Etude de l’amplitude en fonction de la pulsation extérieure 4.3.1.a Dangers de la résonance
4.3.2 Etude de la phase en fonction de la pulsation extérieure 4.4 Bande passante
4.5 Cas d’une force périodique non-sinusoïdale 4.6 Energies mises en jeu
4.7 Système électrique équivalent 4.8 Effet Pogo
4.9 Système électrodynamique : le haut parleur
Travail pratique : Système amorti forcé- Pendule de Pohl Exercices
Chapitre 5 : Mouvement oscillatoire forcé d’un système mécanique à un degré de liberté
5.1 Définitions
5.1.1 Système mécanique à plusieurs sous systèmes découplés 5.1.2 Système mécanique plusieurs sous systèmes couplés 5.2 Types de couplages
5.2.a Couplage par élasticité
5.2.c Couplage par inertie 5.3 Battements
5.4 Oscillations forcées d’un système mécanique non amorti à deux degrés de liberté 5.5 Analogies électromécaniques
5.6 Modes propres de vibration d’un système mécanique à trois degrés de liberté Exercices
PAGE 1
VIBRATIONS
Chapitre 1:
Généralités sur les oscillations
PAGE 2
1.1 Définitions:
La vibration est un phénomène physique oscillatoire d’un corps en mouvement autour de sa position d’équilibre. Parmi les mouvements mécaniques les plus variés, il existe des mouvements qui se répètent : le mouvement d'une balançoire, le mouvement alternatif des pistons d'un moteur à explosion. Aussi, les ailes d'une moustique vibrent à une cadence de 100 battement par seconde et produisent un son audible. Après un tremblement de terre, celle-ci continue à vibrer à raison d'une oscillation par heure. Le corps humain est le lieu de plusieurs phénomènes de vibrations: le coeur bat, les poumons oscillent, on tremble lorsqu'on a froid, et on ne peut entendre ni parler que grâce aux vibrations du tympan et des larynges. Tous ces mouvements ont un trait commun : une répétition du mouvement sur un cycle.
Un cycle est une suite ininterrompue de mouvements ou de phénomènes qui se renouvellent toujours dans le même ordre. Prenenos à titre d'exemple le cycle à quatre temps d'un moteur à explosion. Un cycle complet comprend quatre étapes (admission, compression, explosion, échappement) qui se répètent durant un cycle moteur.
On appelle mouvement périodique un mouvement qui se répète et dont chaque cycle se reproduit identiquement. La durée d'un cycle est appelée période T, et mesurée en seconde s. Aussi, on définit la fréquence d’oscillations f comme le nombre d’oscillations qui ont lieu pendant la période T :
f T1
(1.1) mesurée en s-1 ou en Hertz (Hz). En multipliant la fréquence f par 2 on obtient l’expression de la pulsation:
f
2 (1.2) mesurée en rad.s-1
Un mouvement périodique particulièrement intéressant dans le domaine de la mécanique est celui d'un objet qui se déplace à partir de sa position d'équilibre et y revient en effectuant un mouvement de va-et-vient par rapport à cette position.
PAGE 3 Ce type de mouvement périodique se nomme oscillation ou mouvement oscillatoire.
Les oscillations d'une masse reliée à un ressort, le mouvement d'un pendule ou les vibrations d'un instrument à corde sont des exemples de mouvements oscillatoires.
Il est à noter que les vibrations peuvent représenter un risque pour la santé des salariés. On distingue deux modes d’exposition: les vibrations transmises à l’ensemble du corps, notamment lors de la conduite d’engins, et les vibrations transmises aux membres supérieurs, lors de l’utilisation de machines portatives.
En général les corps n'oscillent pas entre des limites précises à cause des forces de frictions qui dissipent l'énergie du mouvement. On ne peut pas donc éliminer la friction des mouvement périodiques mais on peut enlever son effet d'amortissement en introduisant une force extérieure (une énergie compensatrice).
1.2 Exemples d’applications :
Les vibrations transmises à l’ensemble du corps par les véhicules et les engins (chariots de manutention, engins de chantier…) et certaines machines industrielles fixes (tables vibrantes, concasseurs…).
Figure 1.1 : Les vibrations dues aux engins mécaniques
Les vibrations transmises aux membres supérieurs par des machines portatives, guidées à la main (pilonneuses, plaques vibrantes…) ou par des pièces travaillées tenues à la main (polissage...).
PAGE 4 .Figure 1.2 : les vibrations transmises par les machines portatives Tout système mécanique, incluant les machines industrielles les plus complexes, peut être représenté par des modèles formés d’un ressort, un amortisseur et une masse. Le corps humain, souvent qualifié de "belle mécanique", est décomposé à la figure 1.3 en plusieurs sous-systèmes "masse-ressort-amortisseur" représentant la tète, les épaules, la cage thoracique et les jambes ou les pieds.
Figure 1.3 : Modélisation masse-ressort-amortisseur de l’homme.
1.3 Modélisation physique :
Pour comprendre le phénomène vibratoire, on associe à tous les systèmes physiques un système "masse-ressort" qui constitue un excellent modèle représentatif pour étudier les oscillations (voir figure 1.4).
PAGE 5 Figure 1.4: Schéma masse-ressort
F(t) est la force de rappel proportionnelle à l’allongement x(t). La constante k est appelée la constante de raideur.
Il existe deux autres configurations pour le système masse-ressort, (voir figure 1.5):
Figure 1.5 : Différentes configurations pour le système masse-ressort La représentation de plusieurs ressorts se présente en deux cas :
En parallèle, on a la figure (1.6):
Figure 1.6: Ressorts en parallèle
La constante de raideur équivalente est la somme des raideurs k1 et k2 telle que :
2 1
// k k
k eq (1.3)
PAGE 6 En série, on a la figure (1.7):
Figure 1.7: Ressorts en série
La constante raideur équivalente pour les constantes k1 et k2 est telle que :
2 1
1 1 1
k k
kseq (1.4)
1.4 Nombre de degrés de liberté:
On définit n le nombre de degrés de liberté comme étant le nombre de mouvements indépendants d’un système physique qui détermine le nombre d’équations différentielles du mouvement.
A chaque degré de liberté du système mécanique on fait correspondre une coordonnée généralisée q qui peut s’identifier à une distance comme elle peut être représentée par un angle.
1.5 Energie totale d’un système mécanique:
L’énergie totale du système est définie par la somme de deux types d’énergie.
L’énergie cinétique d’un système mécanique qui s’écrit sous la forme :
n
i
j i i ij
c m q q q
E
1 2
1
(1.5) où mij
qi sont les coefficients d’inertie qui dépendent généralement des coordonnées générales. Dans une première approximation, il est possible de faire en sorte que les coefficients d’inerties soient constants. Cela permet de déboucher sur un système d’équations linéaire de mouvement.L’énergie potentielle d’un système mécanique s’écrit à partir d’un développement limité de la fonction énergie potentielle autour de sa valeur à l’équilibre :
PAGE 7
...2 0 1
, , 0 ,
,
2
1 , 1
1
j i j eq i n p j i i n
i i eq
p p
n
p q q
q q q E
q E E
q q
E
(1.6)
0,,0
Ep est une constante qu’on peut prendre nulle en choisissant convenable une référence pour l’énergie potentielles. Aussi, l’équilibre du système est caractérisé par:
0
0
i i q p
q E
(1.7) Ce sont là des conditions d’équilibre qui servent à simplifier l’expression de l’énergie potentielle.
Un mouvement oscillatoire est dit harmonique si l’allongement est faible. A cet effet, on se contente des termes quadratiques dans l’énergie potentielle :
i jj eq i
p n
j i n
p qq
q q q E
q
E
2
1 ,
1 2
, 1
, (1.8)
où
j eq i
p
ij q q
k E
2
sont les coefficients de rigidité.
On distingue pour les systèmes mécaniques deux types d’équilibre :
1.5.1 Equilibre stable:
Un système mécanique une fois déplacé de sa position d’équilibre tend à la retrouver en faisant des oscillations. Il est représenté par la figure 1.8. Dans le cas d’un système à un seul degré de liberté, l’équilibre stable est mathématiquement obtenu lorsque
2 0
2
eq p
q E
(1.9)
Ceci est aussi la condition d’oscillation du système autour de sa position d’équilibre.
Dans le cas d’un système à ndegré de liberté, la condition d’oscillation est obtenue lorsque la matrice construite à partir des dérivées deuxièmes de l’énergie potentielle
PAGE 8 par rapport aux coordonnées généralisées prises à l’équilibre est définie positive (toutes ses valeurs propres sont réelles positives).
n eq p n eq
p
n eq p eq
p
q E q
q E
q q
E q
E
2 2
1 2
1 2 2
1 2
(1.10)
Figure 1.8: équilibre stable
1.5.2 Equilibre instable :
si cette condition n’est pas remplie le système une fois écarté de cette position s’écroulera. On dit qu’on est en présence d’un équilibre instable, représenté sur la figure 1.9.Figure 1.9: équilibre instable
PAGE 9 Dans ce cas, la force de rappel prend la forme linéaire en fonction de l’allongement et s’oppose au mouvement telle que:
n
j
j j eq i
p i
p
q q
q q
E q
F E
i
1 2
2
1 (1.11)
Dans le cas d’un système simple à un degré de liberté, l’énergie potentielle s’écrit sous la forme suivante:
2
2 1kx
Ep (1.12)
où k est la constante de raideur du ressort, et la force de rappel s’écrit : kx
F (1.13) C’est la loi de Hooke.
Pour le pendule de torsion l’énergie de potentielle s’écrit alors :
2
2 1D
Ep (1.14) où D est la constante de torsion. Ainsi, le moment de rappel s’écrit alors :
t D tM( ) (1.15)
1.6 Nature des forces appliquées aux systèmes mécaniques:
On démontre qu'un champ de force F
est conservatif si et seulement si le rotationnel du champ vectoriel F
est nul. Ceci vient du fait que le rotationnel d'un gradient est toujours nul
0
U (1.16) où Uest un potentiel à l’origine de la force F
, telle que U F
(1.17) Le travail d'une force conservative est indépendant de la trajectoire et ne dépend que de la valeur du potentiel U aux points de départ et d'arrivée et est égal au gain d'énergie cinétique de la particule (énergie cinétique finale moins énergie cinétique initiale) alors que le travail des forces non conservatives est égal au gain d'énergie totale de la particule.
PAGE 10 Toute force qui dépend de la vitesse n'est pas conservative. C'est le cas d'une force de résistance au mouvement, causée soit par la viscosité, la turbulence ou le frottement. On peut définir deux types de forces non conservatives:
- Les forces dites dissipatives, qui s'opposent au mouvement, comme celles causées par la viscosité, la turbulence et le frottement dynamique.
- Les forces de contrainte, qui sont toujours perpendiculaires à la vitesse de l'objet.
Comme les forces dissipatives sont grosso modo opposées à la vitesse, et leur travail est négatif et elles ne peuvent que diminuer l'énergie mécanique de la particule. Par contre, les forces de contrainte ne peuvent exercer aucun travail, car elles sont toujours perpendiculaires au déplacement.
La force magnétique
v B
q F
, (1.18) quoiqu'elle ne soit pas considérée habituellement comme une force de contrainte, entre dans cette catégorie. La force de frottement statique entre aussi dans cette catégorie, car elle s'applique en l'absence de déplacement. En résumé, les forces dissipatives vont diminuer l'énergie totale d'un objet, alors que les forces de contrainte (incluant la force magnétique) vont la conserver (même si elles ne sont pas appelées conservatives.)
1.7 Méthodes de détermination de la période d’oscillation:
Le calcul de l’équation du mouvement pour un système conservatif peut être déterminé par trois méthodes :
1.7.1 Principe de la conservation d’énergie totale :
0tan
dt
te dE Cons
E E
ET c p T
(1.19) où ET est l’énergie totale du système.
1.7.2 La loi de la dynamique de Newton :
La seconde loi de la dynamique s’écrit sous la forme:
1 i
i
i dt
p F d
(1.20)
PAGE 11 Où pi
est la quantité de mouvement de la masse mi. Une équation importante (théorème du moment cinétique) découlant de cette même équation est la suivante:
1
/ /
i
i i O
O dt
J M d
(1.21) où M/iO
est le moment de la force appliquée sur la masse mi et Ji
le moment cinétique associé à la masse mi.
1.7.3 Méthode de Lagrange-Euler:
1.7.3.1 Genèse du principe de moindre action :
La dynamique de Newton repose sur l'idée que l'action d'une force agissant sur un objet consiste à changer sa quantité de mouvement. Leibniz, un contemporain de Newton, avait plutôt tendance à mesurer le changement en énergie causé par la force, et a, de ce fait, déplacé l'intérêt en la quantité de mouvement et le travail vers l'énergie cinétique et l'énergie potentielle.
Les méthodes variationnelles établies par Lagrange et Hamilton, sont basées sur l'analyse de l'énergie, et le système est traité comme un ensemble au lieu de parties isolées. Il s'est avéré qu'il est plus facile de suivre l'évolution de l'énergie, quantité scalaire, que de suivre des quantités cinématiques telles que les vitesses ou les accélérations.
Prenons le cas d'un objet lancé en l'air et repérons deux points de sa trajectoire en deux instants quelconques. Une infinité de courbes passent entre ces deux points et pourtant la nature n'en choisit qu'une seule. Qu'est ce qui distingue cette courbe- la trajectoire physique- de toutes les autres?
En 1744, Pierre-Louis Moreau de Maupertuis se posa cette question. Intuitivement il pressentit que les phénomènes physiques répondaient à un premier, fondamental, selon lequel la nature choisissait toujours, parmi toutes les possibilités qui s'offraient à elle, celle qui était la plus efficace qui s'exprimait par un minimum de vitesse pour un minimum de chemin parcouru. Il baptisa ce principe, le principe de moindre action.
PAGE 12 Mathématiquement, Maupertuis traduisit le principe de moindre action comme suit. Si l'on considère le mouvement d'un corps entre deux points A au temps tA et B au temps tB. Pour une énergie totale E donnée, la trajectoire sélectionnée par la nature est celle pour laquelle la grandeur
B
A
t
t B
A mvdr
K
. (1.22) est minimale.
En remarquant que
dt v r d. on obtient alors:
B
A B
A
t
t t
t B
A mvvdt T v t dt
K .. 2 ,
(1.23) où T
v,test l'énergie cinétique du corps.
Quelques années plus tard, et à partir d'une intuition semblable à celle de Mapertuis, Euler parvient à un énoncé très similaire de l'action mais en partant de l'idée que les corps tendent à adopter un état où l'énergie potentielle est minimale. L'action d'Euler s'exprimait en fonction de l'énergie potentielle U
r,tau lieu de l'énergie cinétique.
En faisant la synthèse de ces deux démarches, Lagrange a eu l’idée de proposer une nouvelle action qui s’écrivait sous la forme :
B
A
t
t B
A T r v t U r t dt
S ,, ,
(1.24) où la quantité
r v t
T r v t
U r tL ,, ,, , est connue sous le nom de Lagrangien dus sytème.
La méthode de Lagrange compare les actions correspondant à différentes trajectoires possibles et choisit le chemin pour lequel l’action est minimale. Ce critère débouche, à l’aide du calcul variationnel, aux équations dites d’Euler-Lagrange gouvernant le mouvement des corps rigides.
1.7.3.2 Contraintes :
En dehors des forces agissant sur un système lors de son mouvement, il existe dans la plupart des problèmes de la dynamique des restrictions sur le mouvement, connues
PAGE 13 sous le nom de contraintes, et qui sont dues à la nature du système et de son environnement. Ces contraintes sont exprimées sous formes de relations entre certaines coordonnées, leurs taux de variation, etc.
Ces contraintes exercent des forces sur le système et ainsi vont affecter l'évolution dans le temps des coordonnées du système. Ce sont là des forces de contraintes ou réactions. Dans la formulation du mouvement, basée sur les lois de Newton, les forces appliquées sur le système ainsi que les forces de contraintes doivent toutes incorporées. Ces dernières ne sont pas connues au préalable, puisque leurs valeurs dépendent du mouvement lui-même. C'est précisément cela qui fait que les équations du mouvement dans le formalisme de Newton sont difficiles à résoudre.
1.7.3.3 Equations d’Euler-Lagrange
Considérons une particule ponctuelle de masse m se déplaçant sans frottement sur une courbe plane comprise dans le plan xOy et dont les coordonnées vérifient les conditions suivantes :
0 ) , (
0 y x f
z
Cette particule possède un seul degré de liberté. On choisit une variable q ; appelée coordonnée généralisée pour repérer sa position.
Soit r
le vecteur de position de la particule qui s’exprime en fonction de q comme suit : rr(q)
On considère F
la résultante de toutes les forces s’exerçant sur la particule. La relation fondamentale de la dynamique s’écrit alors :
dt v md F
, où
dt r v d
est le vecteur de la
vitesse de la particule.
Soit dw le travail fournie par la force F
lors d’un déplacement infinitésimale dr comme suit :
r d F dw
. Le déplacement dr
peut s’écrire comme suit :
PAGE 14 qdq
r r
d
Dans ce cas dw peut se mettre sous la forme :
qdq r dt
v md qdq F r
dw
.
(1.25) On appelle Fq la force généralisée conjuguée de q ; où q-composante de la force, la quantité Fq définie par :
dq dw q F r
Fq
D’où :
dq F dw q
(1.26)
D’autre part, on a :
q r dt v d q r dt
v d q v r dt
d
Sachant que :
q v dt
r d q q
r dt
d
On obtient alors :
dq v vd q v r dt
d q r dt
v
d
(1.27) On a :
qq r dt
q q r dt
r
d
On obtient alors :
q v v q v v dt
d q r dt
v et d q d
v q r
Sachant maintenant que :
PAGE 15
q v v v q v q v
et
q v v v q v q v
. 2 .
1 2
1
. 2 .
1 2
1
2 2
On obtient :
2 2
2 1 2
. 1 v
v q q dt
d q r dt
v d
L’expression du travail peut alors s’écrire comme suit :
dq q v
q v dt m d
dw
2 2
2 1 2
1
(1.28)
avec : 2
2 1mv
Ec est l’énergie cinétique de la masse m ; on obtient finalement : dq F q dq
E q
E dt et d q dq
E q
E dt
dw d c c c c q
On en déduit l’équation de d’Alembert pour un système à un degré de liberté :
q c
c F
q E q
E dt
d
(1.29) 1.7.3.3.a Cas de systèmes conservatifs :
Pour les systèmes conservatifs, la force appliquée au système dérive d’un potentiel Ep et elle s’écrit :
q Fq Ep
(1.30) L’équation d’Euler- Lagrange devient alors :
q E q
E q
E dt
d c c p
(1.31) Sachant que l’énergie potentielle Ep ne dépend pas de la vitesse tel que :
0
q Ep
Finalement l’équation d’Euler-Lagrange peut alors s’écrire sous la forme suivante:
p
c E
E L q avec
L q L dt
d
0
(1.32)
PAGE 16 où on a introduit la fonction de Lagrange (ou lagrangien du système) qui est la différence de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle.
Pour un système conservatif à plusieurs degrés de liberté (nombre n), l’équation d’Euler-Lagrange s’écrit comme suit :
n q i
L q
L dt
d
i i
,...
1
0
(1.33)
1.7.3.3.b Cas des forces de frottement dépendant de la vitesse :
Considérons une situation physique dans laquelle la particule est soumise à des forces de frottement de viscosité dont la résultante ffr
est de la forme : v
ffr
(1.34) où est le coefficient de frottement et v
le vecteur vitesse de la particule.
Pour calculer la force généralisée Fp
correspondante, nous utilisons la définition du paragraphe précédent :
2 2
.
q avec r
t q q q r q
f r Fp fr
Si en plus des forces qui dérivent d’un potentiel, le système est soumis à des forces de frottement de viscosité, l’équation d’Euler-Lagrange s’écrit alors :
p
c E
E L avec q q
L q L dt
d
(1.34) Pour un système dissipatif (non conservatif) de plusieurs degrés de liberté l’équation du mouvement déterminée comme suit :
o Système en translation :
n i
q F L q
L dt
d
ext i
i
,...
1
(1.35) où Fext
sont les forces extérieures appliquées au système.
PAGE 17 o Système en rotation
n i
q M L q
L dt
d
ext i
i
,...
1
(1.36) où Mext
sont les moments extérieurs appliqués au système. Dans ce cas les forces extérieures ne dérivent pas d’un potentiel.
1.7.3.3.c Fonction de dissipation de Rayleigh:
Calculons le travail dwfr fourni par la force de frottement pendant un intervalle de temps dt lors d’un déplacement dr
:
dt v r d f
dwfr fr 2
(1.37) La quantité de chaleur dQgagnée par le système en interaction avec la particule est telle que :
dt v
dQ 2 (1.38) On définit Pd la puissance dissipée par les forces de frottement sous forme de chaleur comme suit :
2
2 x
v
Pd (1.39) Cette puissance dissipée peut être exprimée en fonction de q par :
2 2 2
2 q
t q q r dt
r v d
Pd
(1.40) Par définition, la fonction dissipation est égale à la demi-puissance dissipée et s’écrit comme suit :
2
2 1 2
1P q
D d (1.41) En général, et pour un système à n degré de liberté, la fonction de dissipation pour des frottements de type visqueux (vitesses faibles) a la forme quadratique des vitesses généralisées :
j n
j i
i ijqq
D
1
2 ,
1 (1.42) où ij sont appelés les coefficients de frottements visqueux.
PAGE 18 La qi-composante
qi
F de la force de frottement peut alors s’écrire :
i
q q
F D
i
(1.43) Finalement, l’équation d’Euler- Lagrange s’écrit alors :
n q i
D q
L q
L dt
d
i i
i
, , 1
(1.44)
1.7.3.3.d Cas d’une force extérieure dépendant du temps
Considérons le cas plus général d’une force extérieure dépendant du temps agissant sur un système soumis à des forces de frottement ‘dérivant ‘ d’une fonction dissipation D.
Soit Fext la q-composante de la force extérieure. Dans ce cas l’équation d’Euler- Lagrange peut s’écrire sous la forme suivante:
p c
ext avec L E E
q F D q
L q L dt
d
(1.45)
Dans le cas général d’un système à plusieurs degrés de liberté, il y a autant d’équations de Lagrange que de degrés de liberté. Ainsi, si le système possède n degrés de liberté, il est nécessaire d’avoir n coordonnées généralisées pi (i = 1, 2, ...., n). Nous aurons ainsi n équations d’Euler-Lagrange comme suit :
ext i i i
i
q F D q
L q
L dt
d
(1.46) où Fiext est la force extérieure qui fait varier la coordonnée généralisée qi
.
PAGE 19
Applications
PAGE 20 Exercice de rappels mathématiques:
1- donner le module et la direction du nombre complexe
4 j 5
3.2- Donner les parties réelle et imaginaire du nombre
5 4
2
j Ae
t j
sachant queA et sont réels.
3- écrire les nombres complexes suivants sous la forme a jb: Z jj et 83
. 0 j Z .
Solution:
1- on calcule directement :
4 j 5
3 4 j 5
.4 j 5
.4 j 5
4 j43 5Le module du nombre complexe est égal à :
4 j 5
3 42
43 5 2 96.23L’argument du nombre complexe est égal à :
4 5 arctg 43
2-
) 5 4 2 ( 2 sin
41 cos 5
4
2
j t
j A t
j Ae
t j
sin( ) cos( )
(4 5) 5 414
2
j t
j A t
j Ae
t j
La partie réelle du nombre complexe est égale à :
4sin( ) 5cos( )
41A t t
La partie imaginaire du nombre complexe est égale à :
PAGE 21
4cos( ) 5sin( )
41A t t 3- Le nombre complexe
k
j k j j
e e
j Z
2 2 2 2
est
j ej k e j k
Z
2 2 83 . 0 83 . 0 2 2 83
. 0
Problème 1:
Soient les systèmes physiquses représentés sur les figures 1.10 (A-B-C)
(A)
(B)
PAGE 22 (C)
Figure 1.10 : Différents types de systèmes mécaniques.
Déterminer pour chaque système :
Le nombre de degré de liberté
L’énergie cinétique et l’énergie potentielle
En déduire le Lagrangien totale.
Solution Figure 10.1-A :
Le système possède trois coordonnées x1,x2, et on a x2 lsin. Ce qui veut dire que les composantes x2, sont dépendantes. Donc, Le nombre de degrés de liberté de ce système est égal à 2.
L’énergie cinétique s’écrit :
2 2
1 2 1
i i
i
c mx
E
L’énergie potentielle se calcule comme suit :
PAGE 23
2
1 2 2
2
1 2
cos 1 )
2 ( 1
i i i
p k x x mgl k x
E
Le Lagrangien s’écrit alors :
2
1 2 2
2 1 2
2
1 2
cos 1 )
2 ( 1 2
1
i i i i
i
i p
c E m x k x x mgl k x
E
L
Les coordonnées de ce système sont 1,2 qui sont indépendantes. D’où le nombre de degré de liberté est égal à 2.
Le Lagrangien du système : L’énergie cinétique s’écrit :
2 m 2 2
m 1
c 1 m V 2
2 V 1 2m
E 1
En calculant les vitesses par rapport au repère fixe :
)) sin sin
( l y
) cos cos
( l ( x V ))
cos (cos l y
) sin (sin l ( x m O
sin ) l y
cos l ( x V cos )
l y
sin l (x m O
2 2 1 1 m
2 2 1 1 m m 2
1 m
2 1 m
2
1 1 m
1 1 m m 1
m
1 m
1
2 2 2 2
2
1 1 1 1
1
D’où :
2 m 2 m 2 m
2 m 2 m 2 m
2 2 2
1 1 1
y x V
y x V
Après calcul, l’énergie cinétique s’écrit alors:
) cos(
l m l
2m l 1
) m m 2(
Ec 1 1 2 212 2 222 2 212 12
Pour l’énergie potentielle on a :
) cos (cos
gl m cos
gl m
Ep 1 1 2 1 2
Le Lagrangien devient alors:
) cos (cos
gl m cos gl m
) cos(
l m l
2m l 1
) m m 2( L 1
2 1
2 1 1
2 1 2
1 2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 1
PAGE 24 Figure 10.1-C :
Le nombre de degré de liberté :
On définit les petits déplacements comme suit :
dépendants sont
x , x , x l
x , l x , l
x1 1 2 2 3 3 1 2 3
Le nombre de degré de liberté est égal à 1, qui est représenté par θ
Pour l’énergie cinétique on a :
2 2 3 3 2
2 2 2 2
2 1 1 2
i i 1 i
c m l
2 l 1
2m l 1
2m x 1 2m
E
1
L’énergie potentielle s’exprime:
kl m gl cos 2
kl 1 2
Ep 1 12 2 22 2 3 3
Le Lagrangien s’écrit alors :
k (l ) m gl cos 2
l 1 2 m E 1 E
L 2 3 3
2
1 i
i 3
1 i
2 i 2 i i p
c
