MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 5 : Postulats de la mécanique. quantique

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MECANIQUE QUANTIQUE MECANIQUE QUANTIQUE

Chapitre 5 : Chapitre 5 : Postulats de la m

Postulats de la m é é canique canique quantique

quantique

Pr. M. ABD-LEFDIL

Université Mohammed V- Agdal Faculté des Sciences

Département de Physique Année universitaire 06-07 Filières SM-SMI

Introduction Introduction

AprèAprès avoir vu le formalisme maths avoir vu le formalisme mathéématique de la matique de la m

mécanique quantique, nous allons écanique quantique, nous allons éénoncer ses noncer ses postulats, qui sont valables pour tout syst

postulats, qui sont valables pour tout systèème me quantique y compris bien s

quantique y compris bien sûûr la mr la méécanique canique ondulatoire d'une particule dans l'espace.

ondulatoire d'une particule dans l'espace.

Description quantique d

Description quantique d’un syst’un systèème physique:me physique:

Etat du syst

Etat du systèème, ses observables et son me, ses observables et son éévolution volution dans le temps

dans le temps

3 3

PRINCIPE DE SUPERPOSITION : PRINCIPE DE SUPERPOSITION :

L'é L' état d'un syst tat d'un systè è me est entiè me est enti èrement d rement dé éfini, fini, à à chaque instant, par la donné chaque instant, par la donn ée d'un e d'un

vecteur ket |

vecteur ket |ψ ψ > appartenant > appartenant à à l'espace des l'espace des états é tats ξ ξ

. .

|ψ | ψ> est > est équivalent é quivalent à à ψ(x,t) qui est une ψ (x,t) qui est une fonction de carr

fonction de carré é sommable. sommable.

4 4

2 2

postulat postulat

DESCRIPTION MATHEMATIQUE DESCRIPTION MATHEMATIQUE

D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE D'UNE GRANDEUR PHYSIQUE

A toute grandeur physique mesurable A est A toute grandeur physique mesurable A est associ

associéée un ope un opéérateur linrateur linééaire hermitique agissant aire hermitique agissant dans l'espace des

dans l'espace des éétats.tats.

A=AA=A⁺⁺: <: <ψψ₁₁|A||A|ψψ₂₂>= <>= <ψψ₂₂|A||A|ψψ₁₁>>^**

A est l'observable associ

A est l'observable associéée e àà la grandeur physique Ala grandeur physique A..

Matrice ligne Matrice colonne Matrice carrée

5 5

3 3

postulat postulat

MESURES DES GRANDEURS MESURES DES GRANDEURS

PHYSIQUES

PHYSIQUES - - PRINCIPE DE PRINCIPE DE QUANTIFICATION :

QUANTIFICATION :

La mesure d'une grandeur physique A ne La mesure d'une grandeur physique A ne peut donner comme r

peut donner comme ré ésultat que l'une des sultat que l'une des valeurs propres de l'op

valeurs propres de l'op érateur correspondant é rateur correspondant à à A. A.

Remarque

Remarque : :A A é étant une observable, ses tant une observable, ses valeurs propres sont donc r

valeurs propres sont donc r éelles. é elles.

4 4

postulat postulat

DECOMPOSITION SPECTRALE : DECOMPOSITION SPECTRALE :

Cas discret d

Cas discret dééggéénnéérréé:: La probabilit

La probabilitéé PP_anan de de trouver, lors de la trouver, lors de la

mesure de l'observable mesure de l'observable A, la valeur propre a A, la valeur propre a_nn est :

est :

2

i

i n a

U P

< ψ ψ >

>

ψ

<

= ∑

|

|

∑ ∑

=

ψ

C

U

AvecAvec

7 7

formant une base dans le sous-espace propre de ξ_n associé à la valeur propre a_n .

∑ ⁼

n

a

1

P

Notons que la probabilité totale est égale à l'unité:

2 i

i n

a

C

P

⁼ ∑

8 8

--Cas d’Cas d’un spectre continu et non dun spectre continu et non dééggéénnéérréé:: Lorsqu

Lorsqu’on mesure la grandeur physique A sur un’on mesure la grandeur physique A sur un systèsystème quantique se trouvant dans me quantique se trouvant dans

L’éL’état normtat norméé||ψψ>, la probabilit>, la probabilitéédPdP_aad’d’obtenir une obtenir une valeur comprise entre a et a+da est:

valeur comprise entre a et a+da est:

dPdP_aa=|<V=|<V_αα||ψψ>|>|²²dada

OOùù||VV_αα>> est le vecteur associé à la valeur propre a de l’observable A .

9 9

5 5

postulat postulat

REDUCTION DU PAQUET D'ONDES REDUCTION DU PAQUET D'ONDES

Si la mesure de l'observable A sur le syst Si la mesure de l'observable A sur le systèème me dans l'

dans l'éétat |tat |ψψ> donne la valeur propre> donne la valeur propreaa_nn, alors , alors l'él'état du systtat du systèème immme imméédiatement aprdiatement aprèès la s la mesure ayant donn

mesure ayant donnéé la valeur ala valeur a_nnest la est la projection norm

projection norméée de |e de |ψψ> , soit :> , soit :

[ ^{< ψ P |}

^P

^{| ψ | ψ > >} ]

Remarque: Il est impossible de prévoir à l'avance avec certitude vers quel état quantique le système va passer.

On ne peut que faire des prévisions statistiques : C'est le concept d'indéterminisme.

||ψψ>:>:Etat avant la mesure

||ψψ >:>:Etataprèaprès la mesures la mesure Mesure de A

Mesure de A

||

||

rréésultat de la mesure asultat de la mesure a_nn

11 11

EVOLUTION DES SYSTEMES DANS EVOLUTION DES SYSTEMES DANS

LE TEMPS : LE TEMPS :

L'L'éévolution du vecteur ket |volution du vecteur ket |ψ> dans le temps est ψ> dans le temps est donndonnéée par l'e par l'ééquation de Schrquation de Schrödinger :ödinger :

>

ψ

∂ =

>

ψ

∂ | |

t H i h

12 12

Opé Op érateur d rateur d’é ’évolution volution

Soit un syst

Soit un systèème physique dme physique déécrit par un ket |crit par un ket |ψ>.ψ>.

On déOn définit lfinit l’’opopéérateur U(t,trateur U(t,t₀₀) qui permet de dé) qui permet de déterminer terminer

|

|ψ(t)> ψ(t)> àà partir de | ψpartir de | ψ(t(t₀₀)>:)>:

|ψ|ψ(t)>= U(t,t(t)>= U(t,t₀₀) | ψ) | ψ(t(t₀₀)>)>

On montre ais

On montre aiséément que:ment que:

--U(tU(t₀₀,t,t₀₀)=)=11

--U(t,tU(t,t₁₁) U(t) U(t₁₁,t,t₀₀)= U(t,t)= U(t,t₀₀)) --U(t,t’U(t,t’) U(t) U(t’’,t)= ,t)= 11

--A partir de lA partir de l’équation de Schr’équation de Schröödinger, on montre dinger, on montre que:que:

' dt ) t ,' t ( U ) 't ( i H 1 ) t ,t (

U ₀

t

t 0

0

∫

−

= h

13 13

Cas particulier d'un système stationnaire : H indépendant explicitement du temps..

H |H |ψψ_nn> = E> = E_nn||ψψ_nn> (cas stationnaire).> (cas stationnaire).

Supposons pour simplifier les

Supposons pour simplifier les éécritures que les critures que les valeurs propres E

valeurs propres E_nnne sont pas déne sont pas déggéénnéérréées.es.

L'ensemble des |

L'ensemble des |ψψ_nn> forme une base suivant > forme une base suivant laquelle on peut d

laquelle on peut développer n'importe quel vecteur évelopper n'importe quel vecteur

||ψ>. ψ>.

a) a) Soit Soit ààt = tt = t₀₀: |: |ψψ(t(t₀₀)> = )> = CC_nn(t(t₀₀) |) |ψψ_nn> >

oùoù CC_nn(t(t₀₀)= <)= <ψψ_nn||ψψ(t(t₀₀)>)>

b)

b) A l'instant t : |ψA l'instant t : |ψ(t)> = C(t)> = C_nn(t)|(t)|ψψ_nn>>

On montre que : On montre que :

∑ ^ _ ^{ − } _ ^{ ψ}

= ψ

n

n 0

n 0

n

E ( t t )

i exp ) t ( C )

t

( -

h

THEOREME D'EHRENFEST : THEOREME D'EHRENFEST :

Il traduit l'

Il traduit l'éévolution de la valeur moyenne d'une volution de la valeur moyenne d'une observable au cours du temps

observable au cours du temps ((<<ψ|ψ|ψψ> = 1):> = 1):

( ) ^{[ ] A , H}

i 1 dt

A dA dt

d dt

A d

+ h

= ψ ψ

=

CONSTANTE DU MOUVEMENT :

Une observable A est dite constante du mouvement si:

dt 0 A

d = 0

dt dA =

⇔ et [ ] ^{A , H = 0}

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propres communs

propres communs àà A et H (A et H (dd’’apraprèès le chapitre 4s le chapitre 4).).

Soit les |

Soit les |ψψ_nn> cet ensemble de vecteurs propres:> cet ensemble de vecteurs propres:

A|A|ψψ_nn> = a> = a_nn||ψψ_nn> et > et H|H|ψψ_nn> = E> = E_nn||ψψ_nn>>

Comme les

Comme les |ψ|ψ_nn>>sont des ésont des états stationnaires :tats stationnaires : ààtt₀₀, la mesure de A donne a, la mesure de A donne a_nn

ààtt₀₀, la mesure de H donne E, la mesure de H donne E_nn ààtt₁₁, la mesure de A donne a, la mesure de A donne a_nn ààtt_ii, la mesure de A donne a, la mesure de A donne a_nn ààtt_jj, la mesure de H donne E, la mesure de H donne E_nn La valeur propre a

La valeur propre a_nnest appelest appelée ée bon nombre bon nombre quantique

quantique: :

dt 0

dP

=