VIBRATIONS – CHAPITRE III.
VIBRATIONS DES SYSTEMES A DEUX D.D.L.
COUPLAGE.
q et
, q - q et q ,
, q - q
: par définis ordre
premier du
petits infiniment
des sont ε et
où ) , ( δ q introduit on
, q de ge Au voisina
0 )
detIH(
et 0 )
IH(
Tr
: donc ), ( de stable
équilibre d'
position une
) q , (q q
soit et R à rapport par
) q , (q q ddl 2 à ) ( système un
Soit
2 ..
..
. 2 e .
2 2 1
..
..
. 1 e .
1 1
e
e 2 e 1 e
2 1
e) q2 e , (q1 2)
q 1 , q (
q q
e e
) q , (q )
q , 2 (q
) q , 2 (q
) q , (q U ) / ( U
: 2 ordre l' à donc équilibre,
d' p osition une
est ) q , (q p uisque
0 ) q , (q )
q , (q
comme
..
) q , (q )
q , 2 (q
) q , 2 (q
) q , (q )
q , (q )
q , (q U
) q , (q U ) / ( U
c
2 b 1
2 a ) 1 / ( T où d'
c ) q , (q c et b ) q , (q b , a ) q , (q a : p ose on
) q , (q c )
q , (q 2 b ) 1
q , (q 2 a ) 1 / ( T
p etits infiniment
aux rap p ort p ar
2 ordre l' à donc )
q , (q c )
q , (q 2 b ) 1
q , (q 2 a /R) 1 T(
: générale forme
la de donc aux
rap p ort p ar
e quadratiqu /R)
T(
donc f conservati )
(
: s vibration des
Equations -
1
e 2 e 1 1 2 2 e
2 e 2 1 2 2 2 e
2 e 2 1 1 2 2 e
2 e 1 P P
e 2 e 1 e
2 e 1 2 e
2 e 1 1
e 2 e 1 1 2 2 e
2 e 2 1 2 2 2 e
2 e 2 1 1 2 2 e
2 e 1 2 e
2 e 1 1 e
2 e 1 P
2 1 P P
. 2 .
2 . . réd u ite
e 2 e 1 e
2 e 1 e
2 e 1
. e . 2 e 1 . 2
e 2 e 1 . 2
e 2 e 1 réd u ite
. 2 .
1 2 1 2
2 . 2 1 2
1 . 2 1
.
q q
U q
U q
R U
q U q
U
q q
U q
U q
U q
U q
U R
R R
q q q
q
q
P P
P réd u ite
P P
P P
P P
P
i
I-VIBRATIONS LIBRES NON AMORTIES : SYSTEMES CONSERVATIFS.
. élasticité par
couplage de
t coefficien le
est ) q , (q
inertie par
couplage de
t coefficien le
est c
: équations deux
les dans mêmes
les sont couplage
de ts coefficien Les
couplées.
sont équations
les t;
inversemen et
(t) de
dépend (t)
solution La
. et ,
, : initiales conditions
4 associe on
auquel s
linéarisée équations
d' Système
0
) q , (q
c ) q , (q
b ) L
0 ) q , (q
) q , (q
a )
L
: écrivent s'
s vibration des
équations Les
e 2 e 1 1 2 2
. 0 .
0 0 0 e
2 e 1 1 2 .. 2
e 2 e 2 1
2 .. 2
e 2 e 1 1 2 .. 2
e 2 e 2 1
1 .. 2
q q
U
q q
U q
U
q q c U
q U
P
P P
P P
. vibration de
p rop res modes
deux de
ion sup erp osit la
donc est solution La
II mode
I mode
) cos(
) cos(
IC de vecteurs des
sont et
, , e
e e
e Re
r et r
: soient 2
à 2 conjugués
p urs s imaginaire comp lexes
sont racines ces
donc ent, amortissem d'
p as f, conservati est
) ( comme
racines.
4 admet il
IC dans 4, degré de
est tique caractéris p oly nome
son donc d.d.l deux a
) (
nelles.
p rop ortion amp litudes
des et p hase même
p ulsation,
même ont
et où s vibration des
équations des
re p articuliè solution
une est vibration de
p rop re mode
Un
: n /Définitio
*
. vibration de
p rop res M odes
: Résolution -
2
coup lage.
de absence l'
en obtenus et
rs oscillateu
des p ulsatios les
ment, resp ective sont,
Ce sy stèmes.
du les fondamenta p ulsations
les sont et
0 ) q , b (q
1 b c
) L
0 ) q , a (q
1 a c
) L
: obtient on
) q , 1 (q
et
) q , 1 (q
:
p osant en
2 ) 2
2 (
) 2 ( 1
) 1 1 (
) 1 (
4 3
2 1 4
3 2
1
2 3,4
1 1,2
2 1
e 2 e 1 1 2 .. 2
2 2 ..
e 2 e 1 1 2 .. 2
2 1 ..
e 2 e 2 1 2 2 2
2 e
2 e 2 1 1 2 2
1
2 2
1 1
B t t A
B q A
A A
A A où
A A
A A
q
j j
q q
U q q
U
q U b q
U a
C C
C C t
j C t j C t
j C t j C
P P
P P
équilibre d'
p osition la
à e p otentiell énergie
l' de Hessienne matrice
la de valeur la
est c'
sy métrique ,
élastiques ts
coefficien des
matrice
/R) IH(
) q , (q )
q , (q
) q , (q )
q , (q IB
p ositrive définie
sy métrique matrice
, inertie d'
ts coefficien des
matrice b
c c IA a
e q e
q forme la
sous s recherchée sont
solutions les
où 0 q IB IA
: écrit s' s linéarisée équations
des sy stème Le
e.
matriciell Résolution
: /Remarque
*
initiales.
conditions des
aide l' à s déterminée et
, A , A
II mode
I mode
) cos(
A ) f(
) cos(
A ) f(
1,2 i A ) f(
B
amp litudes des
nalité p rop ortion la
écrit on elles d' une l' utilisant en
es, équivalent sont
s algébrique équations
2 les 0, det 1,2) i
( chaque Pour
et p rop res
modes des
p ulsations les
déteminer de
p ermet qui
sy stème du
tique caractéris équation
l' est c'
0 det imp oser faut
il nulles non solutions des
avoir Pour
. 0 det det
lequel p our B et A inconnues 2
à
équations deux
de homogène linéaire,
algébrique sy stème
un obtient on
, chaque p our
équations les
dans rep ortant en
) (
cos B (t) et ) cos(
) (
: p hase même
et p ulsation même
ay ant res
p articuliè solutions
des cherche On
) q , (q e
2 e 2 1 2 2 e
2 e 1 1 2 2
e 2 e 1 1 2 2 e
2 e 2 1 1 2
t j 0 t
.. j
2 1 (2) (1)
2 (2) 2
2 ) 2 ( 1
(1) 1 1
) 1 (
(i) i (i)
i
2 1
A
e 2 e 1
q U q
q U
q q
U q
U
B q A
A t A t
q
t t
A t
P P
P P
B
2 ) ( ) d(t) (
et 2
) ( ) ) (
(
d et s
avec résoudre de
et équations les
découp ler de
p ermet
(t) - (t) d(t)
et
(t) (t)
s(t)
: variables de
changement le
accordé;
dit est sy stème Le
) q , (q
) q , (q et
b a Si
: Définition
accordés.
sy stèmes les
: r p articulie Cas
/
*
p rop res.
modes des
p ulsations des
carrés les
sont
p rop res valeurs
les dont IB)
IA ( matrice la
de p rop res vecteurs
les sont solutions
Les
IB) IA ( et IB)
IA ( 0
IB) IA ( -
IA 0
IA det
- -
donc
coup lage.
de ts coefficien les
sont matrices
ces de diagonaux non
termes Les
0 0 0 0
0 0 e 2 e 2 1 2 2 e
2 e 2 1 1 2
1 - 0
0 2 0
1 - 2
1 - 1
- 2
1 -
2 0
.. 2 0
t d t s t
d t t s
q U q
U q
q q
q q
q q
q e
q q
e q q
P P
t j t
j
) 2 cos(
) 2 cos(
2 ) ( ) (t) (
et
) 2 cos(
) 2 cos(
2 ) ( ) ) (
( : finalement donc
) arctan (
et 2 )
( 2 )
( d
sin 2
d cos 2 d d : 0 t
) cos(
) m (
propre K pulsation
de harmonique r
oscillateu
0 m ) ( K
) arctan (
et 2 )
( 2 )
( s
sin 2
s cos 2 s s : 0 t
) cos(
) m (
- K propre
pulsation de
harmonique r
oscillateu
0 m ) - K (
. élasticité par
couplage de
t coefficien le
est m - K et le fondamenta pulsation
m, où K
m 0 - K
m 0 - K
: par décrit accordé
système le
Soit
: Exemple
2 2 1
1
2 2 1
1
2 0 0
. 0 0 .
2 2
2 .
. 0 0 . 0 2
0 m
. . 0 0 .
2 2
0 m .
0 0 2 m
0
2 2 2
2 .. 2
1 0 0
. 0 0 .
1 2
1 .
. 0 0 . 0 2
0 m
. . 0 0 .
1 1
0 m .
0 0 1 m
0
1 1 2
1 .. 2
2 .. 2
.. 2
d t s t
t d t s
d t s t
t d t t s
k d
t d
t d d
d
k s
t s
t s s
s
m m
m m
m m
II-OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES:
ent.
amortissem par
couplage de
ts coefficien les
sont q
P O q
P diagonaux O
non termes Les
symétrique est
IC ent, amortissem d'
ts coefficien des
matrice
q P O q
P O q
P O
q P O q
P O q
P O IC
: pose on
q P O q
P O q
P Q O
et q
P O q
P O q
P Q O
: petits infiniment
aux rapport par
1 ordre l' à
q P q O
q P q O
q P Q O
et q
P q O
q P q O
q P Q O
où d'
q q P q O
q P q O
q P q O
q P q O
q P q O
q P q O
q P q O
q P q O
q P q O
q P O
(P) V (P/R).
V - (P) V . P
: est virtuelle puissance
sa
q q P q O
q P O (P) V et q q
P q O
q P O (P/R) V :
Comme
(P/R) V
t coefficien de
ux ent visque amortissem
d' force une introduit on
, ) ( système du
P point un
En
: s linéarisée équations
des Système
2 1
2
2 2
1
2 1 2
1
.
2 1 2 .
2 .
2 1 2 .
1
2 .
2 2 .
1 1 q2
1 .
2 2 .
1 1 q1
* 2 2 .
2 2 .
1 1
* 1 1 .
2 2 .
1 1
* 2 2
* 1 1 .
2 2 .
1 1
*
*
*
* 2 2
* 1 1
* .
2 2 .
1 1
qe
qe qe
qe qe
qe qe
qe qe
f f
équations.
des système le
rapidement résoudre
de et découpler de
encore, là
permet,
(t) - (t) d(t)
et (t) (t)
s(t)
: variables de
changement le
accordé;
est système Le
q P O q
P et O ) q , (q
) q , (q
, b a si
: Remarque
initiales.
conditions des
aide l' à s déterminée sont
et ,
, constantes les
où , périodique -
pseudo régime
un d' et e apériodiqu régime
un d' ion superposit la
est c'
) t ( cos ) e
( )
( )
(
: écrit s' solution La
0.
et 0 r , 0 r a on stable étant étudiée équilibre
d' position La
r conjuguées complexes
solutions 2
et r , r réelles solutions
2 admet tique
caractéris équation
l' que suppose On
: Exemple
B.
) f(r A : amplitudes des
nalité proportion la
établir pour
elles d' une l' utilise On
es.
équivalent sont
algébrique système
du équations deux
les donc 0 det tique, caractéris équation
l' de r solution chaque
Pour
système.
du tique caractéris équation
l' est C' 0.
det impose on
nulles, non
solutions des
avoir Pour
. B et A inconnues deux
à équations deux
de homogène ,
algébrique système
un
, 0 puisque
obtient, on
s, linéarisée équations
des système le
dans solution, de
forme cette
reportant En
IC.
r ,
forme la
sous s recherchée sont
res particuliè solutions
les IC, Dans
: Résolution
q et
0 t à : initiales conditions
les adjoint on
auquel
0 q
IC q IA
: écrit s' s linéarisée mouvement
du équations des
système Le
2
2 2
1 e
2 e 2 1 2 2 e
2 e 2 1 1 2
) 3 ( ) 2 ( ) 1 ( t
- )
3 (
) 3 ( 2 3
) 2 (
) 2 ( 1 2
) 1 (
) 1 ( 1
2 1
3,4 2
1
k k
C C
. 0 .
0 0
.
0 0 0
. ..
qe qe
P P
t r t
r
rt rt
C C C
q U q
U
B B B B
B r e f
B B r e f
B B r q f
j e
B e q A
q q
IB
C C
C C
t j C C t
j j
j t
j j
j )
( j
) ( j C
t j 2 1 2
1
2 . 1
..
2 q e 2
1 q e 1
2 q e 1 q e
m 2
q 2 m
1 q 1
* 2 2
* 1 1 m
* m
*
*
* 2 2
* 1 1 . *
2 2 .
1 1
m m
B arg et
B B , A arg
, A A
e e
e e e
e e e
e (t)
q (t) et
F e F cos
F cos p ose F
on comp lexes, En
) cos(
) cos(
(t) q (t)
ci - celui à rap p ort p ar
dép hasées et
excitateur effort
l' que p ulsation même
de sont res p articuliè solutions
Les
: Résolution
cos F
cos q F
IB q IC IA
: écrit s' s linéarisée mouvement
du équations des
sy stème Le
u q .
P F O
et u
q . P F O
: suite la p ar p osera, on
t cos u
q . P Q O
et t cos u
q . P Q O
: valent elles
équilibre, d'
p osition la
de ge au voisina 1
ordre l' à
t cos F u q .
P Q O
et t cos F u q .
P Q O
: sont antes corresp ond e
généralisé force
de s comp osante les
q u q .
P q O
u q .
P t O cos F (P) V . u t cos F (P) V . P
est effort cet
de virtuelle p uissance
la
q q P q O
q P O (P) V et q q
P q O
q P O (P/R) V :
Comme
ordre p remier du
p etit infiniment
un est F et unitaire un vecteur
est u où u t cos F F
: connue p ulsation
de e sinusoidal e
excitatric force
une introduit on
, ) ( sy stème du
P p oint un
En
: s vibration des
Equations
B A B
A B
A B
A
t t
t B
t A
t q t
F F
F F
F
t t C
C
m m
m m
III-VIBRATIONS FORCEES:
B).
pour ou
( A pour
résonance -
anti ) 0 B ou ( 0 A alors 0) det
ou ( 0 det
que telle e
excitatric pulsation
une Si
amplitude.
d' résonance B
et A 0 det que telle e
excitatric pulsation
une Si
argB et
B B où d'
) R(
) Q(
- ) S(
) P(
) ( )
(
) ( ) (
) ( ) (
) (
) (
det B det
argA et
A A où d'
) R(
) Q(
- ) S(
) P(
) ( )
(
) ( ) (
) ( ) (
) (
) (
det A det
en 2 à égal ou inférieurs degré
de polynomes des
sont )
S(
et ) R(
), Q(
), P(
où
B ) ( A
) (
B ) ( A
) (
0 e
puisque
B et A inconnues 2
à équations 2
de homogène non
, algébrique système
un obtient on
BC Ac
C 1 C
2 2 1 C
C 2 C
2 1 1 C
2 C
C
1 C C
t j
C C
R F P
F
S R
Q P
F R
F P
Q F S
F
S R
Q P
S F
Q F
F S
R
F Q
P
BC AC
