VIBRATIONS LIBRES DES CORDES EN RÉGIME NON-LINÉAIRE : MODÈLE BIDIMENSIONNEL

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Submitted on 1 Jan 1990

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VIBRATIONS LIBRES DES CORDES EN RÉGIME NON-LINÉAIRE : MODÈLE BIDIMENSIONNEL

A. Watzky

To cite this version:

A. Watzky. VIBRATIONS LIBRES DES CORDES EN RÉGIME NON-LINÉAIRE : MOD- ÈLE BIDIMENSIONNEL. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-857-C2-860.

�10.1051/jphyscol:19902199�. �jpa-00230515�

1er Congrès Français d'Acoustique 1990

VIBRATIONS LIBRES DES CORDES EN RÉGIME NON-LINÉAIRE : MODÈLE BIDIMENSIONNEL<lj

A. WATZKY

Laboratoire d'Acoustique et Mécanique, Université Paris VI, URA 868 CNRS, Tour 66, 4 Place Jussieu, F-72252 Paris Cedex 05, France

RESUME. On cherche une description des vibrations libres des cordes tenant compte de la raideur à la flexion et à la torsion et valable pour des mouvements de grande amplitude. La résolution du problème, repris dans sa généralité, utilise une construction géométrique originale et aboutit à des équations qui, excepté pour la torsion, se trouvent être une superposition des modèles existants, permettant ainsi de regrouper ceux-ci sous un même formalisme et de les retrouver comme cas particuliers.

ABSTRACT. Starting from a general Continuum Mechanics formalism and using an original geometrical construction, a model for the free vibration of stretched strings is derived, taking together (he three effects of large deflections, flexure and torsion into account. Except for the twist term, the result is found to be a superposition of the existing models which are here regrouped and can be considered as particular cases.

1 - Position du problème

L'étude des vibrations libres des corde est depuis l'Antiquité un centre d'intérêt pour les acousticiens [1], mais c'est seulement au XVni^15 siècle, avec l'avènement du calcul différentiel, qu'apparaît l'équation d'onde représentant le mouvement de la corde idéale (parfaitement souple, faibles amplitudes) [2], complétée depuis de manière à se rapprocher de la réalité. Les équations obtenues sont cependant de deux types distincts, où chacun explique une partie des phénomènes constatés expérimentalement mais reste incompatible avec une éventuelle vibration de torsion, pour laquelle on ne dispose que du modèle de la forme équation d'onde [3].

Le premier type de modèle, dérivé de la théorie des poutres et connu sous le nom de corde raide [3], tient compte de la rigidité à la flexion mais suppose le mouvement plan et de faible amplitude, négligeant les déplacements longitudinaux. Il explique la dispersion des ondes transversales qui est à l'origine de l'inharmonicité des fréquences propres et du précurseur qui modifie la forme d'onde [4-6].

Le second, d'abord obtenu par Carrier [7], considère des déplacements tridimensionnels et d'amplitude finie mais suppose la corde parfaitement souple. Il permet de décrire là précession du mouvement orbital observée en pratique [8-10] et explique la vibration d'octave et la dérive des fréquences propres.

Notons un raffinement du premier modèle tenant compte de la variation de longueur de la corde [4,11, 12], bien qu'insuffisant puisque dans ce cas un mouvement plan peut être instable [13].

On veut ici prendre en considération à la fois les éventuelles grandes amplitudes du mouvement et la raideur à la flexion et à la torsion. Il est donc nécessaire de reprendre le problème à la base en recourant au formalisme plus général de la Mécanique des Milieux Continus pour décrire le champ des déplacements et la relation de comportement contraintes-déformations dans le cas d'un cylindre élancé, élastique, homogène, isotrope, chargé à ses extrémités. Même si les déformations restent faibles, un tel corps peut subir d'importantes deflections. Les équations du mouvement sont obtenues en étendant au cas dynamique les résultats de Shield et Im [14], puis comparées aux modèles précités.

Ce travail a en partie été effectué à 1' Ecole Nationale Supérieure des Télécommunications, 46 rue Barrault, 75013 Paris, dans le Laboratoire d'Acoustique dirigé par A. Chaigne.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:19902199

C2-858 COLLOQUE DE PHYSIQUE

2

-

^{Géométrie du problème}

On se réfère à un repère cartésien f a e de vecteurs de base Ei (i=1,2,3) associés à ktconfiguration de ré- férence (corde tendue), E3 étant suivant l'axe de la corde au repos X3 (aussi noté 2). Chaque point de la corde initialement en X = (X1,X2,X3) est déplacé au cours du mouvement en Y (X,t). On utilise la con- vention d'Einstein où un indice latin peut prendre les valeurs 1,2,3 et un indice grec les valeurs

13.

Les primes identifient les différentiations partielles par rapport à z et les points celles par rapport au temps.

Introduisant le point G déplacé de x = (0,0,z) en y (z,t) qui représente la déformée de la ligne moyenne à Sinstant t , on défmit une base orthonormée mobile de vecteurs ei (z,t), liée en G à chaque section, telie que:

ei = ï~ Ek et Ei = ri ek , (1)

où rij (z,t) est la rotation en G. La variation des ei suivant z s'exprime en fonction des courbures de la ligne moyenne ~i (z,t) de vecteur ei [15]

ei' = &ijk ~k ej avec ~i =

$

^&ijk rmj' rmk

,

⁽²⁾

où qs est le tenseur des permutations. Le champ des déplacements peut s'écrire en toute généralité sous la forme:

Yi = Yi

+

( 1 -V e ) r i a X o r

+

^{t * U k}

,

₍₃₎

où v est le coefficient de Poisson, ui ( X , t ) des déplacements suivant ei dus au gauchissement de la section, et e (z,t) l'extension de la ligne moyenne.

Le trièdre mobile est construit en deux étapes respectant la symétrie du problème (FIG. 1) :

-

une rotation d'angle yi et de vecteur K transformant les Ei en ni, base orthonormée intermédiaire telle que n3 = e3, avec

2 lJ2

sin cp = ( yiP2+ y2* ) et

'2 ^lJ2 E J h e 3 = K s i n 9 ; ( yit2+ y 2 1 ~ + y 3 )

-

une rotation d'angle 8 autour de n3 qui transforme les na en e,.

- - - - Z

Ligne moyenne déformée

/ /

/ x (z)

m

x ( Z

+

dz) Ligne moyenne au repos

L , , , , c &- - - - - - - - - -

FIG. 1. Construction de la base mobile.

i

^{( i} - : x * ~ ) cos0

-

'xiyl sine

- 1x3'

cos0

-

( 1

- j

xq2 ) sine

2 2 x'

r =

-

i x y l cos8

+

( 1

-

^L yP2 ⁾ sine ( 1

-

~ y t 2 ) cos0

+

j x P q sine

2 2 Y'

- X' cos8 - y' sine

-

y' cos0

+

x' sin9 1

-

$(x"

+

yf2)

au second ordre pour les taux de déplacements latéraux.

3

-

Equations du mouvement

Notant eij (X,t) le tenseur des déformations de Green et Sij (X,t) le tenseur des contraintes de Piola- Kirchhoff associés aux ei [16]

où A et p sont les constantes de Lamé et

6,

le symbole de Kronecker, la première loi de Cauchy s'écrit à notre degré de précision en fonction du tenseur des contraintes de Piola-Lagrange Tij (X,t)

Tkt = p Yi

. .

0 Ù Tij = rik skj

. ₍₉

Shield et Im [14] donnent alors les expressions des forces résultantes Si (z,t) sur chaque section suivant les ei:

S i = - E I K ~ ' , S p = E I i c l t , S 3 = T o + E A e ; (8) où E est le module d'Young, I le moment d'inertie des sections par rapport à leur diamètre, A leur aire, et T,, la tension au repos. Posant c?

=

TdpA et c p = Elp (avec cL2 >> c? ici) et négligeant l'influence des ui, l'équation du mouvement devient, après projection sur les Ei et intégration sur une portion de corde de longueur dx,

( ri Sk )' = P A ÿi

,

soit

(9)

où 2R est un coefficient d'amortissement visqueux par unité de vitesse par unité de densité linéique pour les déplacements transversaux. Se limitant aux premiers modes transversaux [8], on peut négliger ü dans la troisième équation qui, intégrée dans le cas des extrémités fixes (~(0) = u(L) = O), donne pour les deux premi'eres

PL

C2-860 COLLOQUE DE PHYSIQUE

On reconnaît dans les trois premiers termes la corde idéale amortie découplée. Le terme suivant trouve son origine dans l'introduction de termes quadratiques dans la géométrie du probléme et se traduit par une précession du mouvement orbital et l'instabilité d'un mouvement plan. Vient ensuite l'influence de la raideur, le dernier terme montrant un couplage au travers d'une éventuelle torsion. En ce qui concerne celle-ci, on montre qu'à notre degré de précision, elle est simplement régie par l'équation d'onde

et que dans la pratique, une torsion statique est sans influence. On peut cependant la considérer comme une perturbation, en faisant ainsi une source supplémentaire d'instabilité.

4

-

Conclusion

La comparaison avec les modèles cités dans l'introduction est immédiate et montre que l'équation (Il), excepté le dernier terme, n'est autre que la superposition de ceux-ci, opération qu'il est interdit d'effectuer à cause de la non-linéarit6 de ces modèles. Ce travail permet ainsi, par une approche plus générale, de relier et de compléter les résultats antérieurs que l'on peut retrouver comme cas particuliers en se plaçant dans des hypothèses restrictives.

Références

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