Calcul des vibrations d’une poutre
Nicolas Kielbasiewicz, Ensta([email protected])
On s’int´eresse aux vibrations d’une poutre (monodimensionnelle) encastr´ee en chacune de ses ex- tr´emit´es.
On admettra que les vibrations de la poutre sont r´egies par l’´equation :
∂2u
∂t2 +∂4u
∂x4 = 0
u(x,0) =u0(x), (d´eform´ee initiale)
∂u
∂t(x,0) =u1(x), (vitesse initiale)
(1)
les conditions d’encastrement s’´ecrivant :
u(0, t) = ∂u
∂x(0, t) = 0 u(1, t) = ∂u
∂x(1, t) = 0
(2)
I Partie th´ eorique
1. Soit w(x) une fonction d´efinie sur [0,1], non nulle telle que
d4w
dx4 =λw
w(0) =w0(0) = 0, w(1) =w0(1) = 0,
(3)
1
Montrez que n´ecessairementλ >0, puis que si les couples (λ, w) et (λ0, w0) satisfont l’´equation (3) avec λ6=λ0, alors
Z 1 0
w(x)w0(x)dx= 0
2. Calculez toutes les fonctions propres w solutions de (3). Montrez que ces fonctions forment une suite d´enombrable. On d´esignera par {wn} la suite ainsi d´efinie avec la condition de normalisation
Z 1 0
|wn(x)|2 dx= 1
3. On admet que {wn} est une base deL2(0,1). Dans le d´eveloppement u(x) =X
n≥1
unwn(x) d´eterminez l’expression deunen fonction de u et wn(x).
4. En utilisant les questions pr´ec´edentes, donnez une expression de la solution du probl`eme (1)-(2) sous la forme d’un d´eveloppement en s´erie.
II Partie num´ erique
On utilise pour approcher l’´equation (1) le sch´ema num´erique suivant dans lequel θ repr´esente un param`etre compris entre 0 et 1.
un+1j −2unj +un−1j
∆t2 + [θwjn+1+ (1−2θ)wjn+θwjn−1] = 0 (4) o`u nous avons pos´e
wnj = unj+2−4unj+1+ 6unj −4unj−1+unj−2 h4
Pour approcher les conditions aux limites, on pose u0=u1 = 0
uN =uN−1 = 0 (5)
1. Ecrire en SCILAB un programme de simulation correspondant `a ce sch´ema. Il convient de distinguer les cas θ= 0 etθ6= 0.
2. Etudiez la stabilit´e du sch´ema en fonction de la valeur du param`etre θ. Qu’en concluez-vous ? 3. On fixe θ= 14. Effectuez une simulation num´erique sur l’intervalle de temps 0 ≤t≤2 et pour les donn´ees initiales suivantes
u0(x) =x2(1−x)2 u1(x) = 0
On repr´esentera la solution `a la date t=0.5 pour les param`etres de discr´etisation h=1/100 et
∆t=0.002. Etudiez num´eriquement l’influence des param`etres de discr´etisation h et ∆t sur la pr´ecision des calculs et le coˆut informatique.
4. En faisant attention `a la condition de stabilit´e, effectuez `a pr´esent une simulation pour θ = 0.
Comparez avec la question pr´ec´edente.
5. Ecrivez un programme mettant en oeuvre la formule analytique obtenue dans la premi`ere partie, et comparez les r´esultats avec ceux de la question (3).
6. Reprendre les questions 3, 4, et 5 avec plusieurs autres donn´ees initiales, au moins deux. Pour l’une d’entre elles, on pourra par exemple choisir des donn´ees plus concentr´ees en espace. (On sugg`ere la donn´ee initiale suivante :x2(1−x)2exp(−500(x−0.2)2) )
2
