Cours : Fonctions

CHAPITRE 02

Fonctions - Généralités.

Objectif

Les fonctions sont un outil mathématique indispensable au lycée.

Que ce soit évidemment en Mathématiques, en Physique, en économie et dans encore beaucoup d’autres matières l’étude de fonctions est omniprésente.

Par l’exemple, l’indice de masse corporelle (IMC) est une fonction qui sert à l’Organisation Mondiale de la Santé (OMS) à définir un « poids sain ».

On a ₂

T

IMC= P

où P est le poids exprimé en kilo, T la taille exprimée en mètres.

L’OMS définit alors le poids sain comme celui correspondant à un IMC compris entre 18.5 et 25.

Les difficultés de ce chapitre sont multiples :

Ce chapitre est riche en vocabulaire, aussi il faut impérativement connaître les définitions du cours.

Les méthodes algébriques (c’est-à-dire de calcul) vont sans cesse se mélanger aux méthodes graphiques.

Mais cette difficulté est aussi un avantage, puisque tout résultat algébrique pourra être appuyé par une lecture graphique.

La maîtrise des règles de calcul est capitale dans ce chapitre, aussi il vous est fortement conseillé de réviser en parallèle tout ce qui concerne les développements, identité remarquables…

Animations liées sur le site :

Lecture graphique : une activité pour lire image, signe, antécédent…

http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/fct_lecture-graphique/index.php

Outils graphiques : tracer une ou deux fonctions et résoudre des équations ou inéquations.

http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/outil-graphique/index.php Tracer une courbe : applet java cette fois.

http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/fct_associe/PetitGrapheur.php QCM sur les fonctions, pour se tester.

http://mathemitec.free.fr/animations/se-tester/Fonctions/index.php

Activité d’introduction.

1. Remplir les tableaux de valeurs ci-dessous (c’est-à-dire pour chaque valeur de x, calculer le y correspondant).

En bleu En rouge

2. Placer en bleu les points de coordonnées (x ;y) avec y = 3x-1.

Tracer l’ensemble des points de coordonnées (x, 3x-1) : on appelle cet ensemble la courbe représentative de la fonction f(x) = 3x-1.

3. Placer en rouge les points de coordonnées (x ;y) avec y = x².

Tracer l’ensemble des points de coordonnées (x, x²) : on appelle cet ensemble la courbe représentative de la fonction f(x) = x².

4. Par quelle égalité peut-on traduire le fait qu’un point d’abscisse x appartienne aux deux courbes ?

En déduire, graphiquement, les solutions de l’équation x² = 3x –1.

I - Généralité sur les fonctions

Définition.

On appelle fonction f un procédé de calcul qui permet, à partir d’un nombre x donné, d’associer au plus un nombre (c’est-à-dire un ou aucun) noté f(x) ou y.

On note souvent ce réel y = f(x).

Autrement dit, une fonction est un objet qui à un nombre x associe, soit rien, soit un autre nombre f(x).

Exemple : Soit f la fonction qui à un nombre x associe le nombre

x

. On notera f(x) =

x

cette fonction.

On voit que lorsque x est négatif, f n’associe aucun nombre alors que pour x positif, f associe un nombre.

La définition est donc vérifiée : on dit que f est définie sur [0;+∞[. Exercice I-1 :

Soit f la fonction f qui à un nombre réel x associe la nombre x²-3. On note donc, f(x) = x²-3.

1. Déterminer f(0) ; f(2) ; f(-4) et f(

3

).

2. Trouver les nombres x tels que f(x) = 6.

Exercice I-2 :

Soit f la fonction f définie par f(x) = (x-3)².

1. Déterminer f(0) ; f(2) et f(

3

).

2. Trouver les nombres x tels que f(x) = 0.

x y = 3x-1

-3 -2 -1 0 1 2 3

Tableau de valeurs

x -3 -2 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 y = x²

Tableau de valeurs

Définition.

On appelle ensemble de définition d’une fonction f, noté Df en général, l’ensemble de tous les nombres x où on peut calculer f(x) (cad où f(x) est définie).

Exemple : L’ensemble de définition de la fonction f(x) =

x

est

[ 0 , +∞ [

: en effet, pour tout x positif, on peut calculer f(x) mais lorsque x est strictement négatif, f(x) n’est pas définie.

Exercice I-3 :

Donner les ensembles de définition sous forme d’intervalles des fonctions suivantes :

x x

f ( ) = 1

^;

g ( x ) = x

³

− 2 x ² + 1

^;

^{h ( x ) =} ( ^{2 x + 1} )( ^{1 3 − 7 x} )

^;

^{k ( x ) = x}

²

^{1 + 1}

x x

l ( ) = 3 −

Définition.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et R un repère du plan.

On appelle courbe représentative de la fonction f l’ensemble de tous les points de coordonnées (x,y) où x est dans I et y = f(x).

Exemple : Dans l’activité d’introduction, la courbe représentant f est une droite d’équation y = 3x-1 et celle représentant g est une courbe d’équation y = x² (on l’appelle parabole).

Remarques.

Lorsqu’une courbe est donnée :

> Pour déterminer si cette courbe représente une fonction, on regarde si pour chaque valeur de x (de l’axe des abscisses), il y a au plus une image.

S’il y en a 2 ou +, la courbe ne représente pas une fonction.

> Si la courbe représente une fonction f, pour déterminer graphiquement l’ensemble de définition de f, on détermine les valeurs de x qui ont une image.

Exercice I-4 :

1. Parmi les courbes ci-dessous, lesquelles représentent une fonction. Justifier votre réponse.

2. Lorsque la courbe représente une fonction, déterminer graphiquement son domaine de définition.

Définition.

Lorsque y = f(x), on dit que f(x) est l’image de x par f.

On dit aussi que x est un antécédent de f(x) par f.

METHODE : Soit la fonction f :

→ Pour déterminer l’image de x, on doit calculer le nombre f(x).

→ Pour trouver les antécédents d’un nombre m, on doit résoudre l’équation f(x) = m.

Exemple.

Si f(x) = x².

f(4) = 16 donc 16 est l’image de 4 par f ou encore 16 est un antécédent de 4 par f.

16 admet un autre antécédent par f : -4. En effet, f(-4) = 16.

RESUME : L IMAGE

UN ANTECEDENT

( ) x ← → f x

> L’image d’un réel x est unique.

> Un nombre m peut n’avoir aucun antécédent, un seul ou plusieurs…

Exercice I-5 :

Soit f la fonction qui à tout réel x associe le réel 1 ₂ ( ) 1 f x = x

+ . 1. Donner l’image de 3 par f ; de –1. Calculer f(0) et f(1).

2. Quels sont les antécédents de 1 par f ? de 1

2 ? de –1 ?

Nous allons voir que pour répondre à ces questions et même beaucoup d’autres, l’interprétation graphique sera capitale.

II – Méthodes graphiques

→ Voir les absolument animations du site ainsi que la fiche Bilan/Méthode sur les fonctions.

→ Méthode 1 : Soit f une fonction représentée par la courbe Cf.

Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) = k, on détermine les abscisses des points d’intersection Cf et de la droite horizontale d’équation y = k.

Exercice II-1 : Soit f la fonction représentée graphiquement par la courbe Cf ci-dessous.

1. Déterminer graphiquement le domaine de f.

2. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = ½.

3. Déterminer le ou les antécédents éventuels de 1, de -1 .

4. Graphiquement, il semble que le nombre f(x) ne dépasse jamais un nombre, lequel ?

Cas particulier à connaître.

Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0, on détermine l’intersection de Cf et de l’axe des abscisses.

Par exemple, la fonction précédente ne s’annule pas sur son domaine de définition.

→ Méthode 2 : Soit f une fonction représentée par la courbe Cf.

Pour résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ≤ k, on détermine les abscisses des points de Cf qui sont siutés sous la droite horizontale d’équation y = k.

Exercice II-2 : Soit f la fonction représentée graphiquement par la courbe Cf ci-dessous.

1. Pour la fonction précédente, résoudre l’inéquation f(x) ≥ ½ (adapter la méthode 2).

2. De même résoudre l’inéquation f(x) 3

≤4. Cas particulier à connaître.

Pour résoudre graphiquement l’inéquation f(x) ≤ 0, on détermine l’abscisse des points de Cf situés sous l’axe des abscisses (qui est d’équation y = 0 !).

→ Méthode 3 : Soit f une fonction représentée par la courbe Cf, g une fonction représentée par Cg.

Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x), on détermine les abscisses des points d’intersection de Cf et de Cg.

Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) ≤ g(x), on détermine les abscisses des points de Cf qui sont siutés sous la courbe Cg.

2 3 4

-1 -2

-3 0 1

1

x y

Exercice II-3 : Soit f la fonction représentée graphiquement par la courbe Cf de

l’exercice II-1.

1. Tracer sur ce même repère, la courbe représentant g(x) = x-1.

2. En déduire les solutions de l’inéquation f(x) < x-1.

III – Maximum - Minimum d’une fonction

Définition.

La fonction f est majorée par M sur I si : pour tout x de I, f(x) ≤ M.

On dit que M est un maximum de f sur I si M est un majorant atteint de f cad si M est un majorant de f et que M admet un antécédent par f.

La fonction f est minorée par m sur I si : pour tout x de I, m ≤ f(x).

On dit que M est un minimum de f sur I si m est un minorant atteint de f cad si m est un minorant de f et que m admet un antécédent par f.

On dit que f est bornée sur I si elle admet un minorant et un majorant.

Il y a aura principalement trois types d’arguments pour justifier qu’une fonction est minorée ou majorée :

1. L’argument graphique, qui sera essentiel en seconde.

2. Le tableau de variation d’une fonction, argument principal (voir paragraphe suivant) 3. L’aspect algébrique.

Exercice III-1 : Soit f une fonction représentée graphiquement par la courbe Cf ci-dessous.

1. Déterminer graphiquement le domaine de définition de f.

2. a. Donner deux majorants de f.

b. f admet-elle un maximum ? 3. a. Donner deux minorants de f.

b. f admet-elle un minimum ? 4. f est-elle bornée ?

5. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0 ; f(x) = -1.

6. On admet ici que f(x) = x² - 2x – 1.

a. Vérifier que f(x) = (x-1)² - 2.

b. Démontrer que -2 est le minimum de f.

Remarquons qu’il existe des fonctions non minorées ou non majorées.

Par exemple, si on considère la fonction carrée définie sur IR, il n’existe aucun réel M tel que x² < M pour tout x. Cette fonction n’est donc pa majorée sur IR.

Enfin, voici un paragraphe capital, quelque soit votre future section…

2 -1

2

-1

-2

0 1

1

x y

2 3 4

-1 -2

-3 0 1

1

x y

IV – Sens de variation d’une fonction.

Définition.

→Une fonction f est dite croissante sur un intervalle I si f conserve le sens des inégalités sur I : cela signifie que pour tout a, b

∈

I, si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b).

→Une fonction f est dite décroissante sur un intervalle I I si f renverse le sens des inégalités sur I : cela signifie que pour tout a, b

∈

I, si a ≤ b alors f(a) ≥ f(b).

→Une fonction est constante sur un intervalle I si il existe un réel a tel que pour tout x de I, f(x) = a.

→Une fonction monotone sur I est une fonction croissante sur I ou décroissante sur I.

Interprétation Graphique.

→pour une fonction croissante, quand x augmente f(x) augmente ; quand x diminue f(x) diminue.

La courbe représentative de f « monte » quand on la regarde de gauche à droite.

→pour une fonction décroissante, quand x augmente f(x) diminue ; quand x diminue f(x) augmente.

La courbe représentative de f « descends » quand on la regarde de gauche à droite.

Exemples.

Les fonctions affines f(x) = ax + b sont des fonctions décroissantes sur IR pour a<0, et croissantes sur IR si a>0.

La fonction carré (activité d’introduction) est croissante sur ℝ⁺ mais décroissante sur ℝ⁻. En conclusion, une même fonction peut avoir différent sens de variation suivant l’intervalle où on l’étudie.

Exercice IV-1.

1. La fonction suivante est-elle monotone sur IR ? 2. Déterminer les intervalles où elle est monotone.

Tableau de variations :

Objectif : on cherche à résumer les variations de f dans un tableau.

Exemple.

Voici le tableau de variations sur ℝ de la fonction précédente : x -∞ -2 +∞

f

1

-1 -2 -3 -4

2

-1

-2

-3

0 1

1

x y

Exercice IV-2.

Donner un exemple graphique de fonctions ayant le même tableau de variations que ci-dessus.

Corrigé des exercices du chapitres

Corrigé de l’activité d’introduction 1. Voici les tableaux de valeurs demandés.

En bleu En rouge

2. 3.Voir les courbes associées ci-dessous.

4. Par quelle égalité peut-on traduire le fait qu’un point d’abscisse x appartienne aux deux courbes ?

Quand un point d’abscisse x est sur la courbe bleue, son ordonnée est y = 3x-1.

Quand un point d’abscisse x est sur la courbe rouge, son ordonnée est y = x².

Si un point est commun aux deux courbes, on a donc x² = 3x-1.

En déduire,

graphiquement, les solutions de

l’équation x² = 3x – 1.

Graphiquement, il y a deux points d’intersection, donc deux solutions à l’équation x² = 3x- 1.

On lit graphiquement x qui veut environ 0.35 et 2.6.

Tracé de points de coordonnées (x ;y) dans le plan repéré.

x y = 3x-1

-3 -10

-2 -7

-1 -4

0 -1

1 2

2 5

3 8

Tableau de valeurs

x -3 -2 -1,50 -1,00 -0,50 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

y = x² 9 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9

Tableau de valeurs

I - Généralité sur les fonctions

Corrigé Exercice I-1 : On a f(x) = x²-3.

1. Donc f(0) = 0² -3 = -3 ; f(2) = 2² - 3 = 4 - 3 = 1; f(-4) = (-4)² - 3 = 16 – 3 =13 et f(

3

) = (

3

)² - 3 = 3 – 3 =0.

2. On veut résoudre l’équation f(x) = 6.

On a f(x) = 6

⇔

x² - 3 = 6

⇔

x² - 9 = 0

⇔

(x-3)(x+3) = 0

⇔

x=-3 ou x =3.

Corrigé Exercice I-2 : On a f(x) = (x-3)².

1. Donc f(0) = (0-3)² = 9 ; f(2) = (2-3)² = 1; f(

3

) = (

3

-3)² = (

3

)²+3²-6

3

donc f(

3

) =12-6

3

.

2. On veut résoudre l’équation f(x) = 0.

On a f(x) = 0

⇔

(x-3)² = 0

⇔

(x-3) (x-3) = 0

⇔

^{x-3 = 0}

⇔

^{x =3.}

Corrigé Exercice I-3 :

Donner les ensembles de définition des fonctions suivantes : on ne sait pas diviser par 0 donc

x x

f ( ) = 1

est définie pour x non nul :

D

_f

= ] −∞ ; 0 [ ∪ ] 0 ; +∞ [

.

1

² 2 )

( x = x

³

− x +

g

est définie pour n’importe quel nombre x : en effet, pour tout réel x on sait calculer le cube ou le carré…

D

^g

= ] −∞ ; +∞ [

.

( ^x )( ^x )

x

h ( ) = 2 + 1 1 3 − 7

est non définie lorsque

(

^{2x+1 3 7}

)(

^{− x}

)

⁼⁰ cad lorsque x = –1/2 ou x = 3/7.

1 1 3 3

] ; [ ] ; [ ] ; [

2 2 7 7

Df = − ∞ − ∪ − ∪ + ∞ .

1 ) 1 ( =

₂

+

x x

k

est définie lorsque x² + 1 est non nul. Mais comme x² +1 > 0 pour tout x, le dénominateur est toujours non nul.

D

k

= ] −∞ ; +∞ [

.

x x

l ( ) = 3 −

est définie quand

3 − x ≥ 0 ⇔ 3 ≥ x

^donc

D

f

= ]−∞ ; 3 ]

. Corrigé Exercice I-4 :

Notons les courbes C1, C2, … C6 en allant de gauche à droite en commençant par en haut à gauche (ouf !).

C1 représente une fonction puisque chaque x admet au plus une image : on lit que son domaine de définition est [-2 ;2].

C2 ne représente pas une fonction. Par exemple, le nombre 0 admet 2 mages, 2 et –2.

C3 représente une fonction de domaine [-1 ;3].

C4 représente une fonction de domaine [-1 ;2].

C5 représente une fonction de domaine [-1 ;-0.5]

∪

[ 0.5 ;1].

C6 ne représente pas une fonction puisque x = 1 admet par exemple plusieurs images.

Corrigé Exercice I-5 :

1. L’image de 3 est le nombre f(3) : 1 1 (3) 1 3² 10

f = =

+ . De même :

( )

^{1 1}

( 1) 1 1 ² 2

f − = =

+ − , 1 1

(0) 1

1 0² 1

f = = =

+ et 1 1

(1) 1 1² 2

f = =

+ .

2. Pour déterminer les antécédents éventuels de 1 par f, on résout l’équation f(x)=1.

2 2

( ) 1 1 1 1 1 0 0

1 ²

f x x x x

= ⇔ x = ⇔ = + ⇔ = ⇔ =

+ : 1 admet un unique antécédent.

De même, 1 1 1 ^{2 2}

( ) 2 1 1 1 1

2 1 ² 2

f x x x x ou x

= ⇔ x = ⇔ = + ⇔ = ⇔ = − =

+ : ½ admet deux

antécédents.

Enfin, 1 ^{2 2}

( ) 1 1 1 1 2

1 ²

f x x x

= − ⇔ x = − ⇔ = − − ⇔ = −

+ : comme un carré n’est jamais strictement

négatif, cette équation n’admet pas de solutions et donc -1 n’a aucun antécédent par f.

II – Méthodes graphiques

Corrigé Exercice II-1 :

1. f est définie sur [-3 ;4].

2. on trace la droite horizontale d’équation y = ½ : on lit deux points d’intersection d’abscisses environ -1 et 1.

Cette équation admet donc deux solutions, 1 et -1.

3. C’est le même type de question : f(x) = 1 a une unique solution : x = 0.

f(x) = -1 n’a aucune solution.

4. Il semble que le nombre f(x) soit toujours inférieur à 1 : en effet, la courbe est toujours en dessous de la droite d’équation y = 1.

Corrigé Exercice II-2 :

1. D’après l’étude précédente, f(x) ≥ ½ ⇔ ∈ −x [ 1;1].

De même, après avoir tracé la droite d’équation y = ¾, on obtient f(x) 3

≤4 ⇔ ∈ −x [ 0.6; 0.6]

Corrigé Exercice II-3 :

1. y = x-1 est l’équation d’une droite, donc deux points suffisent pour la tracer.

Pour x = 2, y = 1 donc D passe par (2 ;1).

Pour x = 1, y = 0 donc D passe par (1 ;0).

2. On lit graphiquement que le point d’intersection a pour abscisse environ x = 1.3, et que pour x > 1.3, la courbe Cf est sous la droite.

Ainsi S = ]1.3 ;4].

-1 0 1

1

x y

2 3 4

-1 -2

-3 0 1

1

x y

III – Maximum - Minimum d’une fonction

Corrigé Exercice III-1 : 1. f est définie sur [-1 ;2].

2. a. f est majorée par 2, 3… en fait par tout nombre supérieur à 2.

b. 2 est même le maximum : en effet, c’est un majorant, et il est atteint en -1.

3. a. -2, -2.1… tout nombre inférieur à -2 est un minorant de f.

b. -2 est même le minimum de f : il minore f et il est atteint en 1.

4. Oui, puisqu’elle est minorée et majorée ! Pour tout x de Df, − ≤2 f x( )≤2.

5. Graphiquement, f(x) = 0 pour x≈ −0.4 et f(x) = -1 pour x = 0.

6.

a. On a : (x-1)² - 2 = x²-2x+1 - 2 = x² -2x -1 donc f(x) = (x-1)² - 2.

b. Un carré est toujours positif donc (

^x−1

)

^{2 ≥0}

^{et donc} (

^x−1

)

^{2− ≥ −2 2}

^. On a donc prouvé que -2 est un minorant de f.

Comme f(1) = 0² - 2 = -2, -2 est un minorant atteint : c’est donc le minimum de f.

IV – Sens de variation d’une fonction.

Correction Exercice IV-1.

1. Non, f n’est pas monotone sur IR, « sa courbe monte et descend ».

2. Par contre, sur ]− ∞ −; 2] f est croissante et sur [2;+∞[ f est décroissante.

Correction Exercice IV-2.

La fonction représentée par cette courbe convient.

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Outils graphiques : tracer une ou deux fonctions et résoudre des équations ou inéquations.

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-1 -2 -3 -4

2

-1

-2

-3

0 1

1

x y