Enoncé C224 (Diophante) Cryptarithmes d’actualité
Solutions de Jean Moreau de Saint-Martin
• CORON A+V IRU S=V AIN CU, nombre premier
On a V =C+ 1, avec une retenue venant des dizaines de milliers.
Les deux I en chiffres des milliers donnent deux possibilités :
– si R= 9, on a deux retenues, vers les dizaines de milliers et vers les mil- liers ; pas de retenue vers les centaines pour que N 6=O (et N =O−1) ; éventuellement une retenue vers les dizaines ;
– si R = 0, pas de retenues vers les dizaines de milliers ni vers les mil- liers ; une retenue vers les centaines pour que N 6= O (et N = O+ 1) ; éventuellement une retenue vers les dizaines.
Cas R= 0
Soit δ = 1 s’il y a retenue vers les dizaines, 0 sinon. En fonction de V et O, on a
C =V −1 ; N =O+ 1 ;A=V +O−10 ;U =V −O+ 8−δ; S = 9(δ+ 2)−2·O.
Cette dernière relation montre que, pour que δ = 1, il fautS = 9 =O, ce qui ne convient pas ; ainsi δ = 0 et 5≤O ≤8 pour que 2≤S ≤8. Mais o= 8 entraîneU =V, doncO ≤7.
A≥1 etU ≤9 donnent 11−O ≤V ≤O+ 1 =N, et en faitV < O, d’où O = 6 ou 7. L’examen des diverses valeurs deV ne donne aucune solution.
Cas R= 9
Soit δ = 1 s’il y a retenue vers les dizaines, 0 sinon. En fonction de V et O, on a
C =V −1 ; N =O−1 ; A=V +O−9 ; U =V −O−δ; S = 9(δ+ 1)−2·O.
Comme 9−V =O−A, 8−V =N −A, il faut V <8.
PourV = 7, le balayage des valeurs deOconduit aux solutions (I pouvant être 0 ou 2)
6 5 9 5 4 3
+ 7 0 9 1 8
= 7 3 0 4 6 1
,
6 5 9 5 4 3
+ 7 2 9 1 8
= 7 3 2 4 6 1
A la différence de 730461 = 3×243487, seul le second résultat 732461 est premier et est la solution unique.
En effet, les autres valeurs de O avec V = 7, de même que les autres valeurs deV, ne m’ont pas fourni de solution.
•Peut-on avoirM ASQU E+T EST =Y EN AP AS?
La différenceY EN −M Ase réduit à la retenue venant de l’addition des milliers ; ce n’est possible qu’avec 100−99, en contradiction avec la règle qu’un même chiffre doit être représenté par la même lettre. Problème im- possible
Variante : M ASQU ES+T EST S =Y EN AP AS
La différence Y E−M A se réduit à la retenue venant de l’addition des dizaines de milliers ; alorsY =M+ 1,E =A−9, entraînantE = 0, mais l’addition des unitésS+S =S à 10 près entraîne S = 0 =E. Problème impossible.
Variante : M ASQU E+T EST =Y EN AP A
La différenceY E−M Ades dizaines de milliers se réduit à une retenue, et pour que les chiffres des centaines de milliers (M etY) soient différents, il faut A = 9, E = 0, mais alors A = T dans l’addition des unités. Ce problème est donc impossible.
•DIX+N EU F =V IRU S,DIX étant multiple de 13.
Pour que la somme ait 5 chiffres, il faut V = 1, I = 0, N = 9, D+E = R+ 10, X+F =S.Det E sont interchangeables, de même queX etF.
Le choix de R (de 2 à 5) fixe la paire (D, E) et les 4 chiffres restants ne peuvent fournirX+F =S quand R= 2 ou 3.
Si R = 4, (D, E) = (6,8), X+F = S donne (X, F) = (2,3) ou (2,5) ; DIX serait 602, 603, 802, 803, 605, ou 805 : aucun n’est multiple de 13.
Si R = 5, (D, E) = (7,8), (X, F) = (2,4), S = 6, U = 3 ; DIX peut être 802, 804, 704 ou 702, seul multiple de 13. D’où la solution
702 + 9834 = 10536.
• H∗HY P OXIES=Y Y Y Y Y Y Y Y Y
H ne divise pasY, le quotient aurait 9 fois le même chiffre.H a au moins un facteur commun avec 111111111 = 32·37·333667. H = 3 ne fournit pas de solution, à la différence de H= 9 : 9∗98765432 = 888888888.
• GU ERI+T EST =M ASQU E
La longueur inégale des nombres entraîne M A= 10,G= 9, et l’addition des milliers donne S + 10. Soient a, b, c les retenues vers les milliers, les centaines et les dizaines. On a
U +T +a=S+ 10 ; 2.E+b=Q+ 10a;R+S+c=U+ 10b.
Il en résulte R+T+a+c= 10 + 10b, orR+T ≤7 + 8 = 15 car G= 9, a+c≤2, d’où b= 0, et Qest pair.
A chaque hypothèse surS j’associe les paires{T, U}qui lui correspondent compte tenu que la retenue a= 0 si E = 2, 3 ou 4, et a= 1 si E = 6, 7 ou 8.{T, U}, E, Qdoivent être distincts. Le dernier paramètre achevant la détermination des chiffres R, I de l’addition est la retenue c, qui permet de maintenir I entre 0 et 9. Le critère est alors que tous les chiffres soient distincts.
Si S= 5, {T, U}, E, Qest{8,6},7,4 ; {8,7},2,4 ; {8,7},3,6. Pas de solu- tion.
Si S= 4, {T, U}, E, Qest {8,5},6,2. Pas de solution.
Si S = 3, {T, U}, E, Q est {7,5},8,6 ; {8,5},2,4 ; {7,6},2,4 ; {7,6},4,8.
Pas de solution.
Si S = 2, {T, U}, E, Q est {7,5},3,6 ; {7,5},4,8 ; {7,4},8,6 ; {6,5},7,4.
Seule solution : (T, U, E) = (5,7,3), soit 97348 + 5325 = 102673.
•AH+L+EP IDEM IE+P AT IN E =P HILIP P E A H
+ L
+ E P I D E M I E
+ P A T I N E
= P H I L I P P E
La différenceP H−EP se réduit à une retenue, d’oùP =E+1,H=P−9, P = 9,H= 0,E = 8, l’additionD+A+ retenue éventuelle donne L+ 10, l’addition des unités donneL+E = 10, soitL= 2.
M+I ≤7 + 6 = 13, compte tenu des chiffres déjà pris, donc même avec une retenue des dizaines vers les centaines, il n’y a pas de retenue des centaines vers les milliers,E+T = 8 +T > I (qui n’est pas 8 ou 9) donc
=I+ 10,T =I + 2 puis D+A =L+ 9 = 11.D peut être 4, 5, 6 ou 7.
A+I+N est 8 ou 18 selon la retenue vers les centaines.
SiD= 4, A= 7, reste 1,3,5,6 pour I, M, N, T; T est 3 ou 5, I 1 ou 3, N 0 ou 8 déjà pris, cas à écarter.
SiD= 5, A= 6, reste 1,3,4,7 pour I, M, N, T;T = 3, I = 1, N = 1 déjà pris, cas à écarter.
SiD= 6, A= 5, reste 1,3,4,7 pour I, M, N, T;T = 3, I = 1, N = 2 déjà pris, cas à écarter.
Si D = 7, A = 4, reste 1,3,5,6 pour I, M, N, T; T est 3 ou 5, I 1 ou 3, N = 3 =T, cas à écarter, ou N = 1,I = 3, T = 5,M = 6.
4 0
+ 2
+ 8 9 3 7 8 6 3 8
+ 9 4 5 3 1 8
= 9 0 3 2 3 9 9 8
