D141 Variations angulaires dans un triangle [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon (uniquement par la trigonométrie)
Dans 1 et 2, nous utilisons la loi des sinus dans plusieurs triangles pour obtenir : DB/DC = sin(180 – (CBD + ABD + ACD + BAC)) / sin(CDB)
(DB/DA)*(DA/DC) = (sin(BAD)/sin(ABD))*(sin(ACD)/sin(BAC-BAD)) Notons 0<= t=CDB <= 180
1/ sin(80-t)/sin(t) = (sin(10)/sin(20)*(sin(30)/sin(40)) D’où sin(80)/tan(t) – cos(80) = cos(80)/(2sin(20)sin(40)) Soit tan(80)/tan(t) – 1 = 1/(cos(20)-cos(60))
D’où tan(t) = (2sin(80)cos(20)-sin(80))/(2cos(80)cos(20)+cos(80)) Soit tan(t) = (sin(100)+sin(60)-sin(80))/(cos(100)+cos(60)+cos(80)) Enfin tant(t) = tan(60), ou encore t = 60 modulo 180, et donc CDB = 60°
2/ sin(100-t)/sin(t) = (sin(10)/sin(20)*(sin(20)/sin(30)) = sin(10)/sin(30) D’où sin(80+t)/sin(t) = 2cos(80) = sin(80)/tan(t) + cos(80)
Soit tan(t) = tan(80), ou encore t = 80 modulo 180 et donc CDB = 80°
3/ Même si cela n’est pas demandé, je me résous à l’usage de la trigonométrie ici encore.
Notons 0 <= t=ADC <= 180
Toujours la même loi des sinus nous donne :
AD/DB = sin(10)/sin(t-65) = -2cos(5)sin(5)/cos(t+25)
(AD/DC)*(DC/DB) = (sin(5)/sin(175-t))*(sin(25)/sin(30)) = 2sin(5)sin(25)/sin(t+5) D’où -cos(5)/cos(t+25) = sin(25)/sin(t+5)
Soit cos(5)*sin(t+5)+sin(25)cos(t+25)=0
Ou encore sin(t)(cos²(5)-sin²(25))+cos(t)(cos(5)sin(5)+cos(25)sin(25))=0
cos²(5)-sin²(25) = sin²(85)-sin²(25)
cos²(5)-sin²(25) = (sin(85)-sin(25))(sin(85)+sin(25)) cos²(5)-sin²(25) = 2cos(55)sin(30)*2sin(55)cos(30) cos²(5)-sin²(25) = sin(110)cos(30)
cos²(5)-sin²(25) = cos(20)cos(30)
cos(5)sin(5)+cos(25)sin(25) = (sin(10)+sin(50))/2 = sin(30)cos(20)
D’où tan(t) = -tan(30) = tan(150), ou encore t = 150 modulo 180 et donc ADC = 150°
4/ Notons 0 <= t=ACB <= 180
Une fois encore la loi des sinus nous permet d’écrire : PC/PB = sin(120-t)/sin(t) = 2PA/PB = 2sin(15)/sin(45) Or sin(15) = sin(45-30) = sin(45)cos(30)-cos(45)sin30
D’où 2sin(15)/sin(45) = sqrt(3) – 1 = sin(120)/tan(t) – cos(120) Soit sqrt(3)/tan(t) = 2sqrt(3) – 3
Enfin tan(t) = sqrt(3)(2sqrt(3)+3)/3 = 2+sqrt(3)
tan(75) = tan(30+45) = (tan(30)+tan(45))/(1-tan(30)tan(45) = (1+sqrt(3))/(sqrt(3)-1) Soit tan(75)=2+sqrt(3)=tan(t), ou encore t = 75 modulo 180 et donc ACB = 75°
