MathComp - Algèbre Loi de réciprocité quadratique

MathComp - Algèbre Loi de réciprocité quadratique

Pierre-Alain Fouque

Université de Rennes 1

Septembre 2020

Pierre-Alain Fouque MathComp - Algèbre Loi de réciprocité quadratique

Agenda

1 Symbole de Legendre

2 Le critère d’Euler

3 Le symbole _p²

4 Sommes de Gauss

5 Loi de réciprocité quadratique

6 Symbole de Jacobi

Symbole de Legendre

Soientm et n des entiers relatifs.m est un résidu quadratique modulon si m+nZest un carré dansZ/nZ : il existea∈Ztq m=a²modn.(m est un carré modulon)

Definition

Soientp un nombre premier et n un entier relatif. On note _pⁿ l’entier défini comme suit. On a :

1 n

p

=0 sip divise n

2 n

p

=1 sip ne divise pasn et sin est un carré modp

3 n

p

=−1 sin n’est pas un résidu quadratique modp

Example

1 n

2

=n mod2

2 n

3

=n mod3

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Critère d’Euler

Proposition

Soitp un nombre premier impair. On a

−1 p

= (−1)^p−12

(−1est un carré modulo p ssi on a p =1mod4)

Theorem (Critère d’Euler)

Soitp un nombre premier impair. Pour tout entier relatif n,

n p

=n^p−12 modp

Lemme

Soitp un nombre premier impair. L’ensemble des carrés de (Z/pZ)^∗ est un sous-groupe de (Z/pZ)^∗ d’ordre ^p−1₂

Symbole Legendre et plus petit non résidu quadratique

Corollary (Multiplicité)

Soitp un nombre premier. Quels que soient les entiers m etn,

mn p

= m

p n

p

De plus, sin n’est pas divisible par p,

mn² p

= m

p

Proposition

Soitp un nombre premier impair. Soit n le plus petit entier naturel qui ne soit pas un résidu quadratique modulop. On a

n <1+√ p

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Le symbole

Proposition

Soitp un nombre premier impair. On a

2 p

= (−1)^p

2−1 8

(2est un carré mod p ssi on a p =±1mod8)

Lemme (Gauss)

Soitaun entier relatif non divisible par p,

a p

=Y

s∈S

e_s(a)

Sommes de Gauss

Definition (Somme de Gauss)

Soientq un nombre premier impair,A un anneau commutatif, d’élément neutre multiplicatif 1=1_A, etα un élément deA tq 1+α+. . .+α^q−1=0 i.e.α^q =1 (α racineq-ième de l’unité) αⁱ et _qⁱ

ne dépendent que de la classe de i modq,

τ = X

i∈Z/qZ

i q

αⁱ =

q−1

X

i=0

i q

αⁱ

Theorem

1 τ² = (−1)^q−12 q

2 p nombre premier impair distinct deq. Sipα=0, τ^p =

p q

τ

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Loi de réciprocité quadratique

Montrer que

τ =

q−1

X

i=0

αⁱ²

Theorem (Conjecturée par Euler, 1783, montrée par Gauss, 1796) Soientp etq deux nombres premiers impairs distincts. On a

p q

= (−1)^{(p−1)(q−1)4} q

p

.

p q

= q

p

sip ou q est congru à 1 modulo 4,

p q

=− q

p

sinon.

Symbole de Jacobi

Definition

Soientm un entier relatif et n un entier naturel impair,

1 m

1

=1

2 Si n≥3 tqn =p1. . .p_r (pas nécessairement distincts)

m n

=

r

Y

i=1

m pi

, donc m n

=0,−1 ou 1

Proposition

1 m

n

=0ssi m etn ne sont pas premiers entre eux

2 m

n

ne dépend que la classe demmod n

3 mm⁰

n

= ^m_{n m}⁰

n

et _nn^m0

= ^m_{n m}

n⁰

4 Si met n sont premiers entre eux, ^m_n²

=1 et _n^m2

=1

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La loi de réciprocité quadratique aux symboles de Jacobi

Example

m n

=1 n’mplique pas que m soit un carré modn

Theorem

Soientm et n des entiers naturels impairs.

m n

= (−1)^{(m−1)(n−1)4} n

m

Autrement dit, on a

m n

= n

m

si m oun est congru à1mod 4,

m n

=− n

m

sinon.