Loi de réciprocité quadratique.

Loi de réciprocité quadratique.

2013 – 2014

Référence : Jean-Yves Mérindol, Nombres et algèbre, EDP Sciences, 2006.

Il s’agit ici de démontrer la loi de réciprocité quadratique : Théorème.

Sipetq sont deux nombres premiers impairs distincts, alors q

p

= (−1)^{p−12 q−12} p

q

.

On commence par deux résultats préliminaires.

Définition. Soit A un anneau commutatif. On appelle polynôme de Laurent toute fraction rationnelle de la forme P

i∈Za_iXⁱ ∈ A(X) telle que les a_i ∈ A soient presque tous nuls. Les polynômes de Laurent forment un sous-anneau de A(X).

Proposition.

Tout polynôme de Laurent de la formeP :=Pn

i=−naiXⁱaveca_−i=aipour tout iet an6= 0 s’écrit de manière unique sous la forme Q(X+_X¹)avec Q∈A[X]

de degrén.

Démonstration. SiQ=b0+b1X+· · ·+bnXⁿ avecbn6= 0, alorsQ(X+_X¹) = bnX⁻ⁿ+· · ·+bnXⁿ où les monômes dans les· · · ont un exposant compris entre

−(n−1) etn−1. On en déduit que siQest non nul, alorsQ(X+_X¹) aussi, ce qui montre l’unicité deQ.

Montrons l’existence deQpar récurrence surn.

SiP =a₀,Q:=a₀ convient.

Supposons le résultat connu pour des polynômes de Laurent faisant intervenir des exposants compris entre −(n−1) et n−1. Soit P := Pn

i=−na_iXⁱ avec a_−i=aietan 6= 0. Le polynôme de LaurentP−an(X+_X¹)ⁿ a des coefficients symétriques donc, par hypothèse de récurrence, il existe R ∈ A[X] de degré inférieur à n−1 tel que P −an(X + _X¹)ⁿ = R(X+ _X¹). Le polynôme Q :=

R+anXⁿ vérifieP =Q(X+_X¹) et est de degré n.

Proposition.

Pourpun nombre premier impair, on noteVp∈Z[X]le polynôme de degré ^p−1₂

1

tel que

Vp

X+ 1

X

=

p−1 2

X

i=−^p−1₂

Xⁱ.

Son existence et son unicité sont garanties par la proposition précédente.

Siq est un autre nombre premier impair distinct de p, alors q

p

=Res(Vp, Vq).

Démonstration. Montrons que ces deux quantités sont congrues modulop. Pour cela, établissons d’abord queVp est congru à (X−2)^p−12 modulop.

Vp étant unitaire, un représentant Vp de la classe de Vp dans Fp[X] est un polynôme unitaire de degré ^p−1₂ . Pour montrer queVp = (X −2)^p−12 , il suffit de montrer que si K est un corps de décomposition deVp sur Fp, alors 2 est l’unique racine deVp dansK.

Soitx∈K tel queVp(x) = 0. Dans une certaine extensionL deK, il existe ζ tel quex=ζ+¹_ζ (ζ vérifieζ²−xζ+ 1 = 0). On a alors

V_p(x) =V_p

ζ+1 ζ

=

p−1 2

X

i=−^p−1₂

ζⁱ= 0.

D’où p−1

X

i=0

ζⁱ= 0 et

p

X

i=1

ζⁱ = 0,

d’oùζ^p−1 = 0. On en déduit (ζ−1)^p= 0 et doncζ= 1 etx= 2.

La réduction modulopde Res(Vp, Vq) donne Res(Vp, Vq) = Res(Vp, Vq)

=V_q(2)^p−12

=q^p−12

= q

p

dansFp.

Il reste à montrer que Res(Vp, Vq) est égal à±1. Pour cela, il suffit de montrer que pour tout nombre premierl,l ne divise pas Res(V_p, V_q), c’est-à-dire queV_p etV_q n’ont pas de racine commune dans une extension finieK deFl.

Soitx∈K une racine commune de V_p et V_q dans K. Comme précédemment, on peut écrirex=ζ+¹_ζ avecζappartenant à une extensionLdeK.V_p(x) = 0 doncζ^p = 1 etV_q(x) = 0 donc ζ^q = 1. Orpetq sont premiers entre eux donc

2

ζ= 1. Quitte à échanger les rôles de pet q, on peut supposer que p6=l, on a alors

Vp(x) =

p−1 2

X

i=−^p−1₂

ζⁱ=p6= 0

dansF^l.

Par la formule Res(Vq, Vp) = (−1)^{p−12 q−12} Res(Vp, Vq), on en déduit la loi de réciprocité quadratique.

3