Sur le caractère du nombre 2 comme résidu ou non-résidu quadratique

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B ULLETIN DES SCIENCES

MATHÉMATIQUES ET ASTRONOMIQUES

S TIELTJES

Sur le caractère du nombre 2 comme résidu ou non-résidu quadratique

Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques 2^e série, tome 8, n^o1 (1884), p. 175-176

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SUR LE CARACTÈRE DU NOMBRE 2 COMME RÉSIDU OU NON-RÉSIDU QUADRATIQUE;

PAR M. STIELTJES.

Soit/? un nombre premier impair et considérons la suite des p — î nombres

( A ) i , % 3 , . . . , / ? — i .

Nous dirons que deux nombres consécutifs A~, À*H-i présentent une variation lorsque l'un d'eux est résidu, l'autre non-résidu qua- dratique de /?.

Cela posé, on voit facilement que le nombre total des variations dans la suite (A) est égal à £-^i . En effet, deux nombres A*, A' H- i, présentent une variation ou non, selon que le nombre r# défini par

est non-résidu ou résidu. Mais il est évident que les nombres

>'l, >*2> ^ 3 , • o > > - 2

sont tous différents et qu'aucun d'eux n'est égal à l'unité, en sorte que ces nombres sont

a, 3 , 4 , . . . , / > — i ,

en faisant abstraction de l'ordre. Le nombre des non-résidus parmi eux, c'est-à-dire le nombre des variations dans la suite (A), est donc bien égal à —

Supposons maintenant/? = i (mod. 4). Le nombre des variations dans la suite (A) étant pair, et le premier nombre i de cette suite étant résidu, il s'ensuit que le dernier/? — i ou — i est aussi résidu.

Deux nombres k et p — A* sont donc en même temps résidus ou

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i⁷6 PREMIÈRE PARTIE.

non-résidus : d'où il suit que le nombre des variations dans la suite

(B) i , 2 , 3 , . . . ,£- =l 1

est égal à ^ "T" * = n.

Si n est pair, c'est-à-dire p = t (mod. 8), le dernier nombre - — - sera donc nécessairement résidu, et partant 2 est résidu.

Si n est impair, c'est- à-dire p = 5 (mod. 8 ), et 2 seront non- résidus.

Soit en second lieu p == 3 (mod. 4)» Le nombre des variations dans la suite (A) étant impair, p — 1 ou' — 1 sera non-résidu et le nombre des variations dans la suite (B) sera égal à^-^— = n.

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Si /lest pair,c'est-à-dire/? = 3 (mod. 8), —— sera résidu, partant 2 sera non-résidu.

Si n est impair, c'est-à-dire/) = 7(mod. 8 ) , ^ ^ - sera non-résidu et 1 résidu quadratique de/?.