Sur l'écart quadratique moyen des diviseurs d'un entier normal, 2

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Sur l’écart quadratique moyen des diviseurs d’un entier normal, 2

Gérald Tenenbaum

To cite this version:

Gérald Tenenbaum. Sur l’écart quadratique moyen des diviseurs d’un entier normal, 2. Mathematical

Proceedings, Cambridge University Press (CUP), 2005, 138, pp.1-8. �hal-00091189�

38 (2005), 1–8.

Sur l’´ ecart quadratique moyen des diviseurs d’un entier normal, 2

par G´ erald Tenenbaum

Institut ´ Elie Cartan, Universit´ e Henri Poincar´ e–Nancy 1, BP 239, 54506 Vandœuvre Cedex, France

1. Introduction et ´ enonc´ e des r´ esultats

Consid´ erons la fonction arithm´ etique D

(n, t) :=

d|n, d|n 0<|log(d/d)|t

1 (n > 1, t > 0),

qui g´ en´ eralise la fonction T

(n, α) := D

(n, (log n)

), ´ etudi´ ee dans la premi` ere partie de cet article [7]. Les variations de D

(n, t) au voisinage de l’origine permettent de mesurer, en moyenne quadratique, la propension des diviseurs de l’entier n ` a s’agglutiner autour de certaines valeurs. Nous nous proposons ici de donner une majoration essentiellement optimale de cette fonction de t sur [0, 1] lorsque n est astreint ` a parcourir un ensemble d’entiers non exceptionnels en un certain sens quantitativement pr´ ecis´ e.

Conform´ ement ` a l’usage, nous d´ esignons dans ce travail par τ(n) le nombre des diviseurs, et par Ω(n) le nombre des facteurs premiers compt´ es avec multiplicit´ e, d’un entier naturel n.

Th´ eor` eme 1.1. Soit β < β

:= (log 2)/ log { 2/(e − 1) } ≈ 4, 5655. Il existe des constantes positives = (β ) et C = C(β) telles que, pour tous z > 1, t ∈ ]0, 1], l’in´ egalit´ e

D

(n, t)/2

zt

(1 · 1)

ait lieu pour tous les entiers n x sauf au plus Cx(t/z) exceptions.

La constante β

de cet ´ enonc´ e est optimale : pour

0 < α (1 − 1/e) log { 2/(e − 1) } ≈ 0, 09597, x → ∞ , t := (log x)

, le th´ eor` eme 1 de [7] fournit

D

(n, t) = 2

t

pour x + o(x) entiers n x.

En choisissant z = z(x) tendant vers l’infini arbitrairement lentement et, par exemple, t = 1/z, β = 2, dans le Th´ eor` eme 1.1 nous obtenons un nouveau renseignement de nature quadratique sur la proximit´ e des diviseurs de presque tout entier. Ici et dans la suite, nous convenons de d´ esigner par pp (presque partout) une relation satisfaite pour tous les entiers d’une suite de densit´ e naturelle unit´ e.

Corollaire 1.2. La relation

d|n, d|n 0<|log(d/d)|<ε(n)

1 = o τ(n)

pp, (1 · 2)

est valable pour toute fonction ε(n) qui tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

2 ^G´ erald Tenenbaum

Le Th´ eor` eme 1.1 permet ´ egalement de contrˆ oler les petits rapports de diviseurs cons´ ecutifs d’un entier normal. D´ esignons par { d

(n) }

la suite croissante des diviseurs d’un entier n et posons, pour α 0, n > 1,

B(n, α) :=

1j<τ(n)

{ log

d

(n)/d

(n) }

.

Cette fonction mesure en moyenne la taille des petits rapports d

(n)/d

(n). Nous obtenons le r´ esultat suivant o` u nous notons d A la densit´ e naturelle sup´ erieure d’une suite d’entiers A .

Th´ eor` eme 1.3. Pour tout α ∈ [0, β

[, la fonction arithm´ etique B(n, α)/τ (n) admet une loi de r´ epartition limite. De plus, il existe une constante c(α) > 0 telle que

d { n : B(n, α) > zτ (n) } 1/z

(z > 1).

Nous appliquons ensuite ce r´ esultat ` a l’´ etude de la fonction τ(n, ϑ) :=

d|n

d

qui est, ` a une normalisation pr` es, la transform´ ee de Fourier–Stieltjes de la fonction de r´ epartition des log d pour d | n. Hall a montr´ e dans [2] que l’on a pour tout ϑ = 0 fix´ e

| τ(n, ϑ) | < ξ(n)

√

et, dans [5] ( § 3.2), Hall et Tenenbaum ont soulev´ e la question de d´ eterminer, pour a > 0, b > 0, la borne inf´ erieure λ(a, b) de l’ensemble des nombres r´ eels λ tel que

max

aϑa+b

| τ(n, ϑ) | < τ (n)

pp.

Dans cette perspective, Hall [4] a ´ etabli que, pour tout α > 0 et tout intervalle I(n) de longueur | I(n) | := (log n)

, on a

1

| I(n) |

I(n)

| τ(n, ϑ) |

dϑ ∼ τ(n) pp. (1 · 3) Nous obtenons ici une forme

finie

de cette formule.

Th´ eor` eme 1.4. Il existe une constante c > 0 telle que l’on ait pour z > 1 sup

a,b∈R

a

| τ (n, ϑ) |

dϑ − bτ (n) zτ (n)

pour tous les entiers n > 1 sauf au plus ceux d’une suite de densit´ e sup´ erieure 1/z

. Ce r´ esultat est une cons´ equence imm´ ediate du Th´ eor` eme 1.3, au vu d’une formule g´ en´ erale de Montgomery et Vaughan (voir [6], formule (28) p. 140) relative aux polynˆ omes de Dirichlet et qui implique, dans le cas de τ(n, ϑ),

| τ(n, ϑ) |

dϑ − bτ(n)

3B(n, 1).

Nous d´ eduisons ensuite du Th´ eor` eme 1.4 une extension de (1 · 3) et une minoration

de λ(a, b).

Corollaire 1.5. Soient L(n) une quantit´ e tendant vers l’infini avec n et I(n) un intervalle arbitraire de longueur L(n). Alors on a

1 L(n)

I(n)

| τ(n, ϑ) |

dϑ ∼ τ(n) pp. (1 · 4)

Corollaire 1.6. Il existe un nombre r´ eel b

> 0 tel que inf

a>0, bb₀

λ(a, b)

. (1 · 5)

Corollaire 1.7. Soit λ

(b) := sup

λ(a, b). Alors on a inf

λ

(b)

. Ce dernier r´ esultat d´ ecoule du pr´ ec´ edent en remarquant que

λ

(b

+ b

) max { λ

(b

), λ

(b

) } (b

> 0, b

> 0).

Posons F (u) := 2

Γ(

+

u)/ { √

πΓ(1 +

u) } . Il est ` a noter, dans ce contexte, que Hall a ´ etabli dans [3] la majoration

sup

a>0, b>0

λ(a, b) F

(v)

F(v) log 2 ≈ 0, 94119 o` u v est l’unique solution de l’´ equation vF

(v)/F (v) = 1 + log F(v).

L’auteur tient ` a exprimer ici ses plus chaleureux remerciements ` a Michel Balazard pour ses questions et suggestions, ` a l’origine de ce travail.

2. D´ emonstration du Th´ eor` eme 1.1

Nous utiliserons ` a plusieurs reprises le lemme 50.1 de [5], relatif ` a la fonction

Ω(n, w) :=

p^νn, pw

ν,

et qui stipule que, pour chaque ε ∈ ]0,

[, on a sup

w3

{ Ω(n, w) − (1 + ε) log

w } T (2 · 1)

sauf pour au plus (1 + ε)

ε

x entiers n x.

Nous posons

∇ (n; t, y) :=

dd|n,(d,d)=1 0<|log(d/d)|t

y

.

Le r´ esultat suivant compl` ete le th´ eor` eme 4 de [7] qui fournit une majoration de ∇ (n; t, y)

pour

(e − 1) y 1, t > 0, lorsque n est

normal

.

4 ^G´ erald Tenenbaum

Lemme 2.1. Soient 0 < y <

(e − 1), z > 1, 0 < t 1, x 2. Il existe un nombre r´ eel κ = κ(y) > 0 tel que l’on ait

∇ (n; t, y) zt log(1 + 1/t) (2 · 2)

pour tous les entiers n x sauf au plus

x/z

.

D´ emonstration. Nous employons la m´ ethode utilis´ ee pour ´ etablir le th´ eor` eme 50 de [5].

Comme les d´ etails techniques sont tr` es voisins, nous nous contentons ici d’indications relativement succinctes.

Observons d’abord que nous pouvons restreindre l’´ etude au cas t > x

: en effet, dans la circonstance oppos´ ee, la majoration triviale

nx

∇ (n; t, y) 2

1dde^t

x

dd

xt log x xt log(1/t) (x 2) permet imm´ ediatement de conclure.

Supposons donc, dans toute la suite de cette d´ emonstration, que x est assez grand et que x

< t 1. Nous avons, pour toutes valeurs consid´ er´ ees des variables,

∇ (n; t; y) 2

1<de^t

y

+ 2

1<d<de^td

y

. (2 · 3)

La premi` ere somme est vide si t < log 2 et n’exc` ede pas 1 dans le cas contraire. Nous pouvons donc nous borner ` a estimer la seconde lorsque, disons, x

< t

. Pour tout couple (d, d

) compt´ e dans cette sommation, nous avons

e

/d < 1/d

< log { d

/(d

− 1) } log(d

/d) t, donc d d

(t) := max(1, e

/t). Posons

I

:= [d

(t), 1/t

], I

:=

1/t

, x

, I

:=

x

, √ x

,

et d´ esignons par ∇

(n) la contribution ` a la somme double de (2 · 3) des couples (d, d

) tels que d ∈ I

. Nous avons d’abord, en majorant y par 1 dans ∇

(n),

nx

∇

(n)

d₀(t)d1/t²

d<dde^t

x

dd

xt log(1/t).

Cela implique que ∇

(n) zt log(1/t) sauf peut-ˆ etre pour x/z entiers n exceptionnels.

Soient ε, v des param` etres satisfaisant ` a 0 < ε <

, 0 < v < 1. En appliquant (2 · 1) avec T :=

(log z)/ | log v | , nous obtenons que, pour j = 2 ou 3, l’in´ egalit´ e

∇

(n) √

z ∇

(n) (2 · 4)

a lieu pour tous les entiers n x sauf au plus x/(ε

z

) avec κ = κ(ε, v) :=

log(1 + ε)/ | log v | et

∇

(n) :=

d|n d∈I_j

d|n/d d<dde^t

v

(log d

)

y

.

Nous choisirons plus loin la valeur des param` etres ε et v en fonction de y.

Consid´ erons d’abord le cas j = 2. Nous pouvons ´ ecrire S

: =

nx

∇

(n)

=

d∈I₂

d<dde^t

(yv)

(log d

)

nx/dd

v

.

Pour tout couple (d, d

) apparaissant dans cette sommation, on a dd

e

d

2 √ x. La somme int´ erieure est donc

x

dd

(log d

)

. Il suit

S

x

d∈I₂

(yv)

d

d<dde^t

(yv)

(log d

)

d

. (2 · 5)

Comme (e

− 1)d > td > √

d pour tout d ∈ I

, nous pouvons majorer la somme int´ erieure par sommation d’Abel en faisant appel au th´ eor` eme de Shiu [8]. Posant

A = A(ε, y, v) := v(y + 1) − 2 − (1 + ε) log v,

nous obtenons que cette somme int´ erieure est t(log d)

. En reportant dans (2 · 5), il suit

S

xt

d

(yv)

(log d)

d xt

d

(log d)

d .

Nous choisissons v = (1 + ε)/(2y + 1), de sorte que, notant Q(z) := z log z − z + 1 0, A + yv − 1 = (1 + ε) log(2y + 1) − 2 − Q(1 + ε).

Si y <

(e − 1), cette expression est < − 1 pour ε = ε(y) > 0 assez petit. D’o` u S

tx.

Compte tenu de (2 · 4), cela implique ∇

(n) zt sauf pour au plus x/ √

z entiers n x.

Proc´ edons de mani` ere semblable pour majorer S

:=

nx

∇

(n). Nous obtenons d’abord

S

x

(log x)

d∈I₃

(yv)

d

d<dmin(e^td,x/d)

(yv)

d

log 2x

dd

. (2 · 6)

Comme t > x

, nous pouvons de nouveau faire appel au th´ eor` eme de Shiu pour estimer la somme int´ erieure : elle est

t(log d)

log 2x d

. En reportant dans (2 · 6), nous parvenons finalement ` a

S

tx(log x)

tx,

6 ^G´ erald Tenenbaum

pour le choix v = (1 + ε)/(2y + 1) avec y <

(e − 1) et ε = ε(y) convenablement choisi dans ]0,

[. Nous concluons comme pr´ ec´ edemment que ∇

(n) zt avec au plus x/ √

z exceptions.

En regroupant nos estimations, nous obtenons bien que (2 · 2) est valable avec la

majoration annonc´ ee pour le nombre d’exceptions.

Nous sommes maintenant en mesure de compl´ eter la d´ emonstration du Th´ eor` eme 1.1.

Nous avons

D

(n, t) =

dd|n,(d,d)=1 0<|log(d/d)|t

τ(n/dd

)

d’o` u

τ (n) max

1kΩ(n)

V

(n, t)/2

D

(n, t) 2

1kΩ(n)

V

(n, t)/2

, (2 · 7) avec

V

(n, t) :=

dd|n,(d,d)=1 0<|log(d/d)|t

Ω(dd)k

1.

Soit β ∈ ]0, β

[. Lorsque t

z > 1, nous nous contentons d’ins´ erer l’in´ egalit´ e

V

(n, t) ∇ (n; t, y)/y

(k 0) (2 · 8) dans la majoration de (2 · 7). Grˆ ace au Lemme 2.1, nous obtenons que l’on a, pour

1

2

< y <

(e − 1), Z 1, D

(n; t)

2

2y

2y − 1 ∇ (n; t, y) Zt log(1 + 1/t)

pour tous les entiers n x sauf au plus

x/Z

. Le r´ esultat annonc´ e en d´ ecoule en choisissant Z := zt

/ log(1 + 1/t) : le nombre des entiers exceptionnels est alors

x { log(1 + 1/t) }

z

t

x(t/z)

.

Lorsque t

z 1, nous d´ eduisons de (2 · 8) et du Lemme 2.1 que, pour

< y <

(e − 1),

W 1,

V

(n, t) W ty

log(1 + 1/t) (k 0)

pour tous les entiers n x sauf au plus

x/W

. Donnons-nous un param` etre ε ∈ ]0, 1[

et choisissons

W := z

t

log(1 + 1/t) (z/t)

1.

Nous obtenons que

V

(n, t) z

t

y

(k 0)

pour tous les entiers n x sauf au plus x(t/z)

. Comme V

(n, t) est entier, cela implique en particulier que V

(n, t) = 0 pour 0 k < k

avec

k

:=

log

z

t

| log y |

log z 4 | log y |

,

et donc t

z

y

< t

z

y

. Pour les entiers n non exceptionnels, nous avons donc, en vertu de (2 · 7),

D

(n, t)

2

kk₀

z

t

(2y)

2yz

t

(2y − 1)(2y)

2y

(2y − 1)2

4yt

2y − 1 (2 · 9) avec u := (1 − ε)(log 2)/ | log y | . Choisissons ε et y de sorte que u > β . Il existe alors un t

= t

(ε, y) tel que, pour tout t t

, le majorant de (2 · 9) n’exc` ede pas t

. Nous obtenons donc bien que, pour t t

, z t

, le nombre des entiers n x contrevenant

`

a (1 · 1) est

x(t/z) avec = εκ/4. Comme le r´ esultat est trivialement v´ erifi´ e lorsque t

< t 1, z t

, cela termine la d´ emonstration.

3. D´ emonstration du Th´ eor` eme 1.3

Lemme 3.1. Soit 0 < α < β

. Il existe κ = κ(α) > 0 tel que, pour tout z > 1, on ait d { n > 1 : B(n, α) zτ(n) } 1/z

.

D´ emonstration. On a clairement

B(n, α)

d|n, d|n 0<|log(d/d)|1

1

| log(d

/d) |

− 1

+ T (n, 0)

= J(n) + T (n, 0), avec J (n) := α

0

D

(n, t) dt/t

et T (n, 0) := D

(n, 1) +τ (n). Comme T (n, 0) zτ(n) sauf au plus pour les entiers n d’une suite de densit´ e (log 2z)/z (cf. [5], chapitre 4), on voit qu’il suffit d’´ etablir l’assertion de l’´ enonc´ e avec J (n) ` a la place de B(n, α). En scindant l’intervalle d’int´ egration en intervalles dyadiques, nous pouvons ´ ecrire

J(n)

k0

D

(n, 2

)2

. (3 · 1)

D’apr` es le Th´ eor` eme 1.1, on a, pour tout β < β

, sup

k0

D

(n, 2

)2

z2

sauf peut-ˆ etre pour les entiers n d’une suite de densit´ e sup´ erieure

k0

1 2

z

1 z .

Choisissons, par exemple, β = (α + β

)/2, et posons K := 2

k0

2

= 2

2

− 1 .

Nous obtenons que J (n) Kz2

pour tous les entiers n sauf peut-ˆ etre ceux d’une suite de densit´ e sup´ erieure

1/z . Comme

2

/τ (n)

est de valeur moyenne

born´ ee, cela implique bien le r´ esultat annonc´ e.

8 ^G´ erald Tenenbaum Le Th´ eor` eme 1.3 est une cons´ equence facile du Lemme 3.1.

Pour ε > 0, d´ esignons par B

(n, α) la sous-somme de B(n, α) restreinte aux indices j tels que log

d

(n)/d

(n)

> ε. D’apr` es le th´ eor` eme 1 de [1], B

(n, α)/τ (n) poss` ede une loi de r´ epartition limite F

. Bien entendu, F

est une fonction croissante de ε.

Soit δ ∈ ]0, β

− α[. Alors

0 B(n, α) − B

(n, α) ε

B(n, α + δ) (ε > 0, n > 1),

donc, d’apr` es le Lemme 3.1, il existe une constante positive κ = κ(α, δ) > 0 telle que la densit´ e sup´ erieure de l’ensemble des entiers n satisfaisant ` a

B(n, α) − B

(n, α) > ε

τ (n) soit

ε

. Cela implique, lorsque x → ∞ ,

F

(z − ε

) + O ε

+ o(1) 1 x

nx B(n,α)zτ(n)

1 F

(z) + o(1).

On en d´ eduit le r´ esultat annonc´ e en faisant tendre x vers l’infini puis ε vers 0.

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