Propri´ et´ e et d´ efinition :

Fonction Exponentielle

I. D´ efinition de la fonction exponentielle

Soit (E) l’´equation diff´erentielle f^1px^qf^px^qavecf^p0^q1. On admet qu’il existe une fonction solution de cette equation.

Lemme

Si f est une fonction solution de (E), alors pour toutx,f^px^q0.

Propri´ et´ e et d´ efinition :

Il y a une unique fonction solution de (E).Cette solution est appel´e fonction exponentielle et est not´ee exp.

D´emonstration :

Soitf une fonction solution de (E) et on poseg^px^qf^px^qf^px^q g est d´efini surR, d´erivable et :

g^1px^qf^1px^qf^px^q f^px^qf^1px^q g’(x) = f(x) f(-x) - f(x) f’(- x) g’(x) = 0

doncgestconstantesurR.

g(0) = f(0)f^p0^q1

Pour toutxr´eel,f^px^qf^px^q1 donc pour tout r´eelx,f^px^q0 etf^px^q 1 f^px^q. Cons´equence :

pexp^q1exp exp^p0^q1

exp est une fonction strictement positive.

La derni`ere cons´equence vient du fait que cette fonction est continue sur (car d´erivable) et ne s’annnule pas.

II. Propri´ et´ e alg´ ebrique de l’exponentielle

Propri´ et´ e 1

Pour tous r´eelsaetb exp^pa b^qexp^pa^qexp^pb^q

D´emonstration de la propri´et´e 1 : Soit la fonctiong^px^q exp^pa x^q

exp^pa^q g est d´erivable surR.

g^1px^q 1exp^pa x^q

exp^pa^q g^px^qet g^p0^qexp^pa^q exp^pa^q1 d’o`u exp^pa x^q

exp^pa^q exp^px^qcar exp^pa x^qexp^pa^qexp^px^qpour tout r´eelxdoncexp^pa x^q exp^pa^q

exp^pa^qexp^px^q exp^pa^q exp^px^q

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Propri´ et´ e 2

Pour tous r´eelsaetb exp^pa^q 1

exp^pa^q exp^pab^qexp^pa^q

exp^pb^q exp^pna^qpexpa^qn

D´emonstration de la propri´et´e 2 :

exp^pab^qexp^pa^q exp^pb^q

exp^pab^qexp^ra ^pb^qsexp^pa^q 1 exp^pb^q

exp^pa^q exp^pb^q

exp^pna^qpexpa^qn (On proc`ede par raisonnement par r´ecurrence) a^PR, n^PZ

Pour n2, exp^p2a^qexp^pa a^qexp^pa^qexp^pa^qrexp^pa^qs2

Pour n3, exp^p3a^qexp^p2a a^qexp^p2a^qexp^pa^qrexp^pa^qs2exp^pa^qrexp^pa^qs3 Pour n^PN, exp^pna^qrexp^pa^qn

exp^rpn 1^qa^sexp^pna a^qexp^pna^qexp^pa^qrexp^pa^qsnexp^pa^qrexp^pa^{qsn 1} Notations simplifi´ees :exp^p1^q2,7182

en’est pas rationnel (e^RQ), il est transcendant et irrationnel.

alors exp^pn^qexp^pn1^qpexp 1^qneⁿ,n^PN

Propri´ et´ es

Par extension, si x^PR, exp^px^qsera not´ee^x alors les propri´et´es vues s’´ecrivent : e⁰1

e^{a b}e^ae^b e^a 1

e^a e^abe^a

e^b e^nape^aqn Remarque :

e^xe^2x2 e^x22¡0 donc pour tout r´eelx, e^x¡0

III. ´ Etude de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est d´efinie et d´erivable sur R.

exp^1px^qe^x

x ⁸ 0 ⁸

e^x 0 %1%

8

La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonn´ees (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonn´ees (1 ; e).

Limites de e

aux bornes de son ensemble de d´ efinition

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Propri´ et´ es

xÑlim8

e^{x 8}

xÑ8lim e^x0

D´emonstrations :

lim

x

Ñ8

e^{x 8}

Montrons que pour toutx^¥0,e^x¥x 1

Soitg^px^qe^xx,g^1px^qe^x1 et pourx^¥0 on ae^x¥e^0ñe^x¥1 d’o`u g^1px^q¥0 (g est croissante sur R ).

x 0 ⁸

g^px^q1 %

8

Pour toutx^¥0,g^px^q¥1^ñe^xx^¥1 d’o`ue^x¥x 1^¥xdonc lim

xÑ8

e^{x 8}

lim

xÑ8

e^x0

xlim

Ñ8

e^x lim

t

Ñ8

e^t lim

t

Ñ8

1 e^t 0

Propri´ et´ es

Pour toutn^PN,

xlim

Ñ8

e^x x^{n 8}

xÑ8lim

xⁿe^x0

D´emonstration :

lim

x

Ñ8

e^x x^{n 8}

Montrons d’abord que lim

xÑ8

ex

x⁸

Pour cela, on ´etablit que pourx^¥0,e^x¥x² 2 Posonsh^px^qe^xx²

2 ,h^1px^qe^xx

x 0 ⁸

h^px^q1 %

8

Pour toutx^¥0,e^xx²

2 ^¥1 donce^x¥1 x² 2 ^¥

x² 2 x^¥0^ñe^x¡ x²

2 x^¡0^ñ e^x

x ^¡ x

2 d’o`u lim

xÑ8

e^x

x ⁸

e^xnne^x pour toutn^PN e^x

xⁿ e^nxn

xⁿ

e^nx

x n n

n

e^xn

x n

n

1 nⁿ

or lim

XÑ8

e^X

X ⁸ d’o`u lim_x

Ñ8

e^xn

x n

8(avecX x n) D’autre part : lim

t

Ñ8

t^{n 8}et 1

n^{n ¡}0 d’o`u lim

x

Ñ8

e^x xⁿ

lim

xÑ8

xⁿe^x0

On posetx(lorsquextend vers ⁸,ttend vers⁸)

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xⁿe^xpt^qne^tp1^qtⁿ e^t d’o`u lim_x

Ñ8

xⁿe^x_tlim

Ñ8

tⁿ e^t = 0 IV.D´eriv´eedee^u - Primitive associ´ee

Si u est d´efinie et d´erivable sur I de R, la fonction f^px^q e^upxq est d´efinie et d´erivable sur I et f^1px^q e^upxq

1

u^1px^qe^upxq

De mani`ere g´en´erale :^pe^uq1 u¹e^u (Fonction compos´ee)

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