Fonction Exponentielle
I. D´ efinition de la fonction exponentielle
Soit (E) l’´equation diff´erentielle f1pxqfpxqavecfp0q1. On admet qu’il existe une fonction solution de cette equation.
Lemme
Si f est une fonction solution de (E), alors pour toutx,fpxq0.
Propri´ et´ e et d´ efinition :
Il y a une unique fonction solution de (E).Cette solution est appel´e fonction exponentielle et est not´ee exp.
D´emonstration :
Soitf une fonction solution de (E) et on posegpxqfpxqfpxq g est d´efini surR, d´erivable et :
g1pxqf1pxqfpxq fpxqf1pxq g’(x) = f(x) f(-x) - f(x) f’(- x) g’(x) = 0
doncgestconstantesurR.
g(0) = f(0)fp0q1
Pour toutxr´eel,fpxqfpxq1 donc pour tout r´eelx,fpxq0 etfpxq 1 fpxq. Cons´equence :
pexpq1exp expp0q1
exp est une fonction strictement positive.
La derni`ere cons´equence vient du fait que cette fonction est continue sur (car d´erivable) et ne s’annnule pas.
II. Propri´ et´ e alg´ ebrique de l’exponentielle
Propri´ et´ e 1
Pour tous r´eelsaetb exppa bqexppaqexppbq
D´emonstration de la propri´et´e 1 : Soit la fonctiongpxq exppa xq
exppaq g est d´erivable surR.
g1pxq 1exppa xq
exppaq gpxqet gp0qexppaq exppaq1 d’o`u exppa xq
exppaq exppxqcar exppa xqexppaqexppxqpour tout r´eelxdoncexppa xq exppaq
exppaqexppxq exppaq exppxq
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Propri´ et´ e 2
Pour tous r´eelsaetb exppaq 1
exppaq exppabqexppaq
exppbq exppnaqpexpaqn
D´emonstration de la propri´et´e 2 :
exppabqexppaq exppbq
exppabqexpra pbqsexppaq 1 exppbq
exppaq exppbq
exppnaqpexpaqn (On proc`ede par raisonnement par r´ecurrence) aPR, nPZ
Pour n2, expp2aqexppa aqexppaqexppaqrexppaqs2
Pour n3, expp3aqexpp2a aqexpp2aqexppaqrexppaqs2exppaqrexppaqs3 Pour nPN, exppnaqrexppaqn
exprpn 1qasexppna aqexppnaqexppaqrexppaqsnexppaqrexppaqsn 1 Notations simplifi´ees :expp1q2,7182
en’est pas rationnel (eRQ), il est transcendant et irrationnel.
alors exppnqexppn1qpexp 1qnen,nPN
Propri´ et´ es
Par extension, si xPR, exppxqsera not´eex alors les propri´et´es vues s’´ecrivent : e01
ea beaeb ea 1
ea eabea
eb enapeaqn Remarque :
exe2x2 ex22¡0 donc pour tout r´eelx, ex¡0
III. ´ Etude de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est d´efinie et d´erivable sur R.
exp1pxqex
x 8 0 8
ex 0 %1%
8
La courbe admet une tangente de coefficient directeur 1 au point de coordonn´ees (0 ; 1) et de coefficient directeur e au point de coordonn´ees (1 ; e).
Limites de e
xaux bornes de son ensemble de d´ efinition
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Propri´ et´ es
xÑlim8
ex 8
xÑ8lim ex0
D´emonstrations :
lim
x
Ñ8
ex 8
Montrons que pour toutx¥0,ex¥x 1
Soitgpxqexx,g1pxqex1 et pourx¥0 on aex¥e0ñex¥1 d’o`u g1pxq¥0 (g est croissante sur R ).
x 0 8
gpxq1 %
8
Pour toutx¥0,gpxq¥1ñexx¥1 d’o`uex¥x 1¥xdonc lim
xÑ8
ex 8
lim
xÑ8
ex0
xlim
Ñ8
ex lim
t
Ñ8
et lim
t
Ñ8
1 et 0
Propri´ et´ es
Pour toutnPN,
xlim
Ñ8
ex xn 8
xÑ8lim
xnex0
D´emonstration :
lim
x
Ñ8
ex xn 8
Montrons d’abord que lim
xÑ8
ex
x8
Pour cela, on ´etablit que pourx¥0,ex¥x2 2 Posonshpxqexx2
2 ,h1pxqexx
x 0 8
hpxq1 %
8
Pour toutx¥0,exx2
2 ¥1 doncex¥1 x2 2 ¥
x2 2 x¥0ñex¡ x2
2 x¡0ñ ex
x ¡ x
2 d’o`u lim
xÑ8
ex
x 8
exnnex pour toutnPN ex
xn enxn
xn
enx
x n n
n
exn
x n
n
1 nn
or lim
XÑ8
eX
X 8 d’o`u limx
Ñ8
exn
x n
8(avecX x n) D’autre part : lim
t
Ñ8
tn 8et 1
nn ¡0 d’o`u lim
x
Ñ8
ex xn
lim
xÑ8
xnex0
On posetx(lorsquextend vers 8,ttend vers8)
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xnexptqnetp1qtn et d’o`u limx
Ñ8
xnextlim
Ñ8
tn et = 0 IV.D´eriv´eedeeu - Primitive associ´ee
Si u est d´efinie et d´erivable sur I de R, la fonction fpxq eupxq est d´efinie et d´erivable sur I et f1pxq eupxq
1
u1pxqeupxq
De mani`ere g´en´erale :peuq1 u1eu (Fonction compos´ee)
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