Chapitre 10
Matrices
Sommaire
10.1 L'ensemble des matrices et son vocabulaire. . . 94
10.1.1 Dénitions . . . 94
10.1.2 Quelques cas particuliers. . . 95
10.2 Opérations élémentaires sur les matrices . . . 95
10.2.1 Somme et multiplication par un scalaire . . . 96
10.2.2 Transposition . . . 97
10.3 Produit matriciel. . . 98
10.3.1 Produit d'une matrice par une matrice colonne . . . 98
10.3.2 Produit d'une matrice par une matrice. . . 99
10.3.3 Propriétés du produit matriciel . . . 100
10.3.4 Puissances de matrices carrées . . . 100
10.4 Matrices carrées inversibles . . . 103
10.4.1 Dénition . . . 103
10.4.2 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée . . . 104 Dans ce chapitre, nous allons découvrir ce que sont les matrices et apprendre à calculer avec ces nou- veaux objets. Le calcul matriciel nous permettra, par la suite, de résoudre des problèmes mathématiques, notamment issus de la théorie des probabilités.
Dans tout le chapitre, on notera Kle corpsCouR.
10.1 L’ensemble des matrices et son vocabulaire
10.1.1 Dénitions
Soient n et p deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice à n lignes, p colonnes à coecients dansKoumatrice(n, p)à coecients dansKun tableau denlignes etpcolonnes, rempli par des éléments deK. Cet objet mathématique se présente de la manière suivante :
A=
a1,1 a1,2 · · · a1,p
a2,1 a2,2 · · · a2,p
... ... ... ...
an,1 an,2 · · · an,p
Dénition 10.1 (Matrice à n lignes, pcolonnes et coecients dans K)
10.2. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES MATRICES
Les(ai,j)(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,p} sont appelés lescoecientsde la matrice.
On peut noter la matrice à partir de ses coecients :A= (aij)1≤i≤n
1≤j≤p.
On trouve également la notation[A]i,j pour désigner les coecients.
Le couple (n, p)est appelé taillede la matrice.
Enn, l'ensemble des matrices de taille(n, p)à coecients dansKse noteMn,p(K). Dénition 10.2 (Vocabulaire et notation)
SoitA= (aij)1≤i≤n 1≤j≤p
∈ Mn,p(K). Pour(i, j)tel que 1≤i≤net 1≤j≤p, on appelle :
jeme` vecteur colonnedeAle vecteurCj =
a1,j
a2,j
. . . ap,j
∈ Kp
ieme` vecteur lignedeAle vecteurLi= (ai,1, ai,2, . . . , ai,n) ∈ Kn. Dénition 10.3 (vecteurs ligne et colonne)
Exemple 10.1. 1.
1 e 3 ln 2 5 6
est une matrice2×3à coecients réels.
2.
0 −2 +i
0 i
1−i −1
est une matrice3×2à coecients complexes.
Exercice 10.1. Écrire la matrice M = (i−j)1≤i≤3
1≤j≤4.
10.1.2 Quelques cas particuliers
On adopte le vocabulaire suivant :
1. Mn(K) =Mn,n(K)est l'ensemble desmatrices carréesde taillenà coecients dansK.
2. M1,p(K)est l'ensemble desmatrices lignesde taillepà coecients dansK.
3. Mn,1(K)est l'ensemble desmatrices colonnesde taillenà coecients dansK.
4. A= (ai,j)∈ Mn(K)est unematrice triangulaire supérieuresiai,j = 0dès quei > j. 5. A= (ai,j)∈ Mn(K)est unematrice triangulaire inférieuresiai,j= 0dès quei < j. 6. A= (ai,j)∈ Mn(K)est unematrice diagonalesiai,j = 0dès quei6=j.
7. 0n,p ∈ Mn,p(K)est la matrice nulle, dont tous les coecients valent 0. On note 0n la matrice carrée nulle de taille n.
8. Idn∈ Mn(K), ou plus simplement In est lamatrice identité: de taillen, dont tous les coecients sont nuls, sauf ceux diagonaux qui valent1.
Dénition 10.4
Exercice 10.2. Pourn= 3, donner des matrices triangulaire supérieure (resp. inférieure) et diagonale.
10.2 Opérations élémentaires sur les matrices
Commençons par donner la dénition intuitive suivante.
Soient A= (aij)etB= (bij)deux matrices deMn,p(K). On dit queAet B sontégales(et on noteA=B) si :
∀(i, j)∈J1, nK×J1, pK, ai,j =bi,j. Dénition 10.5
10.2.1 Somme et multiplication par un scalaire
Soient Aet B deux éléments de Mn,p(K)etλun élément deK(on appelle tous les éléments deKdesscalaires.) Par dénition, on a
A+B= (ai,j+bi,j)1≤i≤n1≤j≤p
λA= (λai,j)1≤i≤n1≤j≤p.
Dénition 10.6 (Somme et multiplication par un scalaire)
Cela signie que ,par dénition, pour sommer deux matrices, on somme leurs coecients et pour multiplier une matrice par un scalaire, on multiplie les coecients par ce scalaire.
Il est possible d'additionner deux matrices uniquement lorsqu'elles ont les mêmes dimensions !
Remarque 10.1
Exercice 10.3. Calculer A+B et 3AavecA=
1 e 3 ln 2 √
5 6
etB =
−2 −e 1
0 π −6
Puisqu'on sait additionner deux matrices et multiplier une matrice par un scalaire, on est capable de faire descombinaisons linéairesde matrices.
Exercice 10.4. SiA=
1 2 3
−2 5 6 11 4 3
,combien vautA−3I3?
Soient (α, β)∈K2et soit(A, B, C)∈ Mn,p(K)3.On a : 1. A+B=B+A(commutativité de la somme)
2. (A+B) +C=A+ (B+C)(associativité de la somme) 3. α(βA) = (αβ)A(associativité de la multiplication), 4. (α+β)A=αA+βA (distributivité),
5. α(A+B) =αA+αB (distributivité).
Propriété 10.1
10.2. OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES MATRICES
La preuve est directe parce que le corpsKpossède toutes ces propriétés.
Remarque 10.2
Exercice 10.5. PourA= (ai,j)(i,j)∈
J1,nK∈ Mn(K), on dénit la trace deApar Tr(A) =
n
X
i=1
ai,i.
Que dire alors de Tr(A+B) et Tr(λA) pour(A, B)∈ Mn(K)2 etλ∈K?
10.2.2 Transposition
SoitA∈ Mn,p(K). On appelletransposée de A et on notetA, la matriceB ∈ Mp,n(K)dont les coecients vérient :
∀(i, j)∈J1, pK×J1, nK, bi,j =aj,i.
Autrement dit, siA=
a1,1 a1,2 · · · a1,p
a2,1 a2,2 · · · a2,p ... ... ... ...
an,1 an,2 · · · an,p
, alorstA=
a1,1 a2,1 · · · an,1
a1,2 a2,2 · · · an,2 ... ... ... ...
a1,p a2,p · · · an,p
Dénition 10.7 (Transposée d'une matrice)
En fait, transposer une matrice, c'est seulement échanger ses lignes et ses colonnes.
Remarque 10.3
1. On notera bien que siAest une matricen×m, sa transposée est une matricem×n.
2. La transposée d'une matrice ligne est une matrice colonne et vice-versa.
3. La transposée de 0n est 0n et celle de In est In. Plus généralement, toute matrice diagonale est égale à sa transposée.
4. Pour une matrice carrée, la transposition est équivalente à une symétrie par rapport à la diagonale.
Remarque 10.4
Exemple 10.2. Calculer la transposée de T =
2 1 8 −1 0 −2 1 5
Exercice 10.6. Que dire de Tr(tA)pourA∈ Mn(K)?
1. ∀A∈ Mn,p(R), t (tA) =A.
2. ∀λ∈K, ∀A, B∈ Mn,p(R), t(λA+B) =λtA+tB. Propriété 10.2
Exercice 10.7. Montrer que la transposition est une bijection involutive de Mn(K)dans lui-même.
A partir de cette opération, on peut dénir un ensemble de matrices particulières.
Une matriceA∈ Mn(K)est dite :
symétriquesitA=A.
antisymétriquesitA=−A.
On note Sn(K)l'ensemble des matrices symétriques etAn(K)l'ensemble des matrices antisy- métriques.
Dénition 10.8 (Matrices symétriques ou antisymétriques)
Les coecients diagonaux d'une matrice antisymétriques sont forcément nuls. Pourquoi ? Remarque 10.5
Exemple 10.3. 1. In est symétrique.
2. 0n est symétrique et antisymétrique.
3.
1 2 −1
2 0 −1
−1 −1 5
est symétrique.
4.
0 12 −e
−12 0 −2
e 2 0
est antisymétrique.
10.3 Produit matriciel
Si la somme est une opération facile et intuitive dans l'ensemble des matrices, c'est un peu diérent pour le produit. Voyons maintenant comment multiplier deux matrices entre elles.
10.3.1 Produit d'une matrice par une matrice colonne
Soient A= (ai,j)∈ Mn,p(K)et X = (xj)∈ Mp,1(K). Le produit de ces deux matrices est la matrice colonneAX= (yi)∈ Mn,1(K)avec, pour touti∈ {1, . . . , n} :
yi=
p
X
j=1
ai,jxj. Dénition 10.9 (Produit matrice × matrice colonne)
On insiste sur le fait qu'on multiplie une matrice deMn,p par une matrice de Mp,1 pour obtenir une matrice deMn,1.
Remarque 10.6
10.3. PRODUIT MATRICIEL
Exercice 10.8. Calculer ABet CD pour A=
1 2 3 0 4 −2
,tB = 3 −1 0, C=
7 1 −3 2 −1 2
,
tD= a b c
10.3.2 Produit d'une matrice par une matrice
Soient A = (ai,j) ∈ Mn,p et B = (bj,k) ∈ Mp,q(K). Le produit de ces deux matrices est la matriceAB= (ci,k)∈ Mn,q(K), avec pour tout(i, j)∈J1, nK×J1, qK:
ci,k=
p
X
j=1
ai,jbj,k. Dénition 10.10 (Produit matriciel)
On insiste sur le fait qu'on multiplie une matrice deMn,p par une matrice de Mp,q pour obtenir une matrice deMn,q.
Remarque 10.7
Évidemment, si q = 1, on retrouve la dénition précédente. Finalement, la kième colonne de AB est la produit deApar la kième colonne deB.
Remarque 10.8
Exemple 10.4. On peut disposer les calculs ainsi :
1 2 3 1 0 2
=B
A=
1 0 0 0 3 1 1 1 3
×
1 2 9 5 4 9
=AB
Pour obtenir le coecient à la 2ème ligne et 2ème colonne, on fait le calcul :0×2 + 3×1 + 1×2 = 5
Exercice 10.9. Calculer les produitsABet BApourA=
1 2 3 0
−1 0 0 −1 1 1 −1 −1
etB=
1 −1 1
2 0 1
0 0 1
2 −1 1
.
Insistons encore une fois :
Le produitAB de Apar B a donc le nombre de lignes deA et le nombre de colonnes de B.La multiplication agit donc sur les formats comme la relation de Chasles :
”(n, p)×(p, q) = (n, q)”.
On ne peut calculer le produitABque sile nombre de colonnes deA est égal au nombre de lignes de B. Cette dénition n'a un sens que si A est de type (n, p)et B de type (p, q). Ainsi, le produitAB peut être déni, sans que BA ne le soit !
Exemple 10.5. 1. SiA=
1 −2 3 5 0 −1
etB=
0 −2 7
0 5 6
1 −1 −2
,alorsAB=
3 −15 −11
−1 −9 37
, mais le produitBA n'existe pas !
2. SiA= 2
1
et B= 1 2
,alorsAB= 2 4
1 2
etBA= 4 .
On vient de démontrer que le produit de matricen'est PAS commutatif.
Remarque 10.9
10.3.3 Propriétés du produit matriciel
Le produit matriciel
1. estassociatif: ∀A∈ Mn,p(K), ∀B∈ Mp,q(K), ∀C∈ Mq,r(K), (AB)C=A(BC).
2. estdistributif à gauche par rapport à+:∀A∈ Mn,p(K), ∀(B, C)∈ Mp,q(K)2, A(B+C) =AB+AC.
3. estdistributif à droite par rapport à +: ∀(A, B)∈ Mn,p(K)2, ∀C∈ Mp,q(K), (A+B)C=AC+BC.
4. commute avec le produit externe:∀λ∈K, ∀(A, B)∈ Mn,p(K)× Mp,q(K), (λA)B=λ(AB) =A(λB).
5. vérie∀A∈ Mn,p(K), .
AIp=A etInA=A.
6. passe à la transposition de la manière suivante :
∀A∈ Mn,p(K)∀B∈ Mp,q(K), t(AB) =tBtA.Attention à l'ordre ! Propriété 10.3 ( Propriétés du produit)
Attention nous avons déjà vu que le produit matriciel n'est pas commutatif.
Par ailleurs,il ne vérie pas non plus la propriété du produit nul : la propriété AB= 0,⇒[A= 0ouB= 0]est fausse ! Il existe des matrices non nulles dont le produit est nul. (On dit queMn(K) n'est pas intègre) Dans le cas général, il est donc interdit de simplier un terme dans un produit matriciel ! On peut avoirAB=AC maisB6=C.
Exercice 10.10. Montrer que Tr(AB) =Tr(BA)pour(A, B)∈ Mn(K)2.
10.3.4 Puissances de matrices carrées
Lorsqu'on considère des matrices carrées, on n'a pas besoin de faire attention à la compatibilité des tailles pour faire des produits. En particulier, on peut multiplier une matrice par elle-même. Cela permet, en itérant, de dénir les puissances de matrice.
10.3. PRODUIT MATRICIEL
SoitA∈ Mn(K). On dénit la matriceAk pour k∈N∗ par Ak=A× · · · ×A(k fois). On a également A0=In.
Dénition 10.11 (Puissances d'une matrice carrée)
Exemple 10.6. Pour la matrice A=
−9 7 3
−13 10 4
4 −3 −1
,on aA3= 03. A vérier.
Exercice 10.11. CalculerAn pour toutn∈N, pour la matriceA=
1 −1
−1 1
.
Exercice 10.12. CalculerAk pourA=diag(λ1, . . . , λn).
Le produit matriciel ne commutant pas en général, la puissance de matrice garde seulement certaines propriétés des réels :
Soient k, l, ntrois entiers naturels etAune matrice deMp(K). 1. AkAl=Ak+l.
2. (Ak)l=Akl Propriété 10.4
Pour obtenir d'autres propriétés intéressantes, on se restreint aux matrices sur lesquelles le produit est commutatif.
Si (A, B)∈ Mn(K)2, on dit queAetB commutent siAB=BA. Dénition 10.12
Exercice 10.13. Soient A= 1 0
2 1
, B= 1 0
1 1
,ces matrices commutent-elles ?
Deux exemplesfondamentauxde matrices qui commutent.
Pour toutA∈ Mn(K), pour toutλ∈K:Aet λIn commutent.
En particulier la matrice identité commute avec toutes les matrices.
Pour toute matrice carrée A: toutes les puissances deAcommutent entre elles :
∀A∈ Mn(K),∀(k, p)∈N2, ApAk=Ap+k=AkAp. Remarque 10.10
Exercice 10.14. Déterminer toutes les matrices qui commutent avec la matriceN =
0 1 0 0 0 1 0 0 0
. L'ensemble des matrices qui commutent avec une matrice donnée s'appelle lecommutantde cette matrice.
Si AetB commutent alors pour toutk∈N,A commute avecBk. Lemme 1
Lorsque AetB commutent, on a : 1. pour toutk∈N,(AB)k =AkBk 2. (A−B)(A+B) =A2−B2 3. (A+B)2=A2+ 2AB+B2 4. (A−B)2=A2−2AB+B2 Propriété 10.5
Exercice 10.15. Calculer, si possible :
1. A2 pourA=
1 1 2 2 1 0
2. M0,M1,M2,M3,M4,M100 pourM =
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
Enn, la formule importante du binôme de Newton se généralise à la somme de deux matrices dès lors que celles-ci commutent.
Soient AetB deux éléments deMn(K)telles queAB=BA. On a alors pour toutp∈N,
(A+B)p=
p
X
k=0
p k
AkBp−k. Théorème 10.1 ( Binôme de Newton )
Application : si on veut calculer la puissance n-ième d'une matrice carrée A, on peut écrire A = B+C, avec B et C qui commutent (en général B = λIn) et appliquer la formule du binôme.
Exemple : calculerAn avecA=
2 1 0 0 2 1 0 0 2
.
Méthode 10.1
10.4. MATRICES CARRÉES INVERSIBLES
Bilan : Précautions calculatoires à retenir
Les défauts de commutativité et d'intégrité du produit matriciel ainsi que la conventionA0=In
obligent à prendre quelques précautions calculatoires. Ainsi,
lorsqu'on factorise une expression, il faut, d'une part, tenir compte de l'ordre et, d'autre part, ne pas oublier les termes In qui peuvent apparaître, comme par exemple dans l'égalité
AB+A=A(B+ In);
une matriceA non nulle peut avoir l'une de ses puissances qui est nulle ;
la quantité (AB)pn'est pas égale à ApBp (sauf lorsqueAet B commutent) ;
le développement de(A+B)2donne(A+B)2=A2+AB+BA+B2et rien ne dit, sans hypothèse de commutativité, que l'expression AB+BA soit égale au double-produit 2AB;
plus généralement, on retiendra que la formule du binôme de Newton n'est utilisable que si les matrices commutent.
Remarque 10.11
10.4 Matrices carrées inversibles
10.4.1 Dénition
Nous avons vu plus haut, qu'il n'est en général pas possible de simplier par une matrice. Nous allons maintenant étudier un ensemble très particulier de matrices qui nous permettra ce genre de simplications.
Une matriceA∈ Mn(K)est diteinversible s'il existeB∈ Mn(K)telle que AB=BA=In.
Lorsqu'une telle matrice existe, elle est unique et on l'appellel'inverse deA. On la noteA−1. L'ensemble des matrices inversibles est noté GLn(K).
Dénition 10.13 (Matrice inversible et inverse d'une matrice)
Pour être inversible, une matrice doit être carrée!
Il existe des matricesnon nulles et non inversibles.
SoitA= 1 1
0 0
. Pour toute matriceM = a b
c d
, on aAM =
a+c b+d
0 0
. En particulier,(AM)2,2= 0,donc(AM)2,26= 1.
Par conséquent, quelle que soit la matriceM ∈ M2(K),la matriceAM ne sera jamais égale à la matrice identité I2,doncAn'est pas inversible.
Remarque 10.12
Exemple 10.7. 1. La matrice identité In est inversible et l'on a clairement I−1n =In.
2. La matrice nulle0nn'est pas inversible (puisqu'il est évidemment impossible de trouver une matrice Atelle que0nA=In).
3. Soit A =
0 −1
−1 0
. Alors A2 =I2. De sorte que A est inversible : elle est sa propre inverse, A−1=A.
4. SiAvérieA2−2A+ 3In= 0, alorsA est inversible d'inverse 13(2In−A).
Pour en revenir à la simplication : si on a AB = AC et si A est inversible, alors on peut simplier par A, puisqu'en multipliant à gauche parA−1de chaque côté de l'égalité, on obtient B =C. On peut faire la même chose siBA=CAen multipliant parA−1à droite. En revanche, on ne peut rien dire dans le cas général si AB=CA.
Remarque 10.13
Soient A et B deux éléments deMn(K)vériant AB =In, alorsA et B sont inversibles et inverses l'une de l'autre.
Propriété 10.6 (Inversibilité à gauche ou à droite)
Soient (A, B)∈GLn(K)2. On a alors 1. A−1est inversible et(A−1)−1=A
2. ABest inversible et(AB)−1=B−1A−1 Attention à l'ordre !
3. Siλ∈K∗ est un scalaire non nul,λAest inversible et on a :(λA)−1= 1 λA−1. 4. tA est inversible ett(A−1) = (tA)−1.
5. pour toutp∈N, Ap est inversible et(Ap)−1= (A−1)p. Propriété 10.7
Exercice 10.16. 1. Vérier queB=
1 0 −1
−12 12 1
−1 0 2
est l'inverse de la matriceA=
2 0 1 0 2 −1 1 0 1
.
2. Soitn∈N. Montrer que siA2−A=In alorsAest inversible, et préciser son inverse.
La somme de deux matrices inversibles n'est pas inversible en général. Par exemple In et−In sont inversibles mais In−In= 0n ne l'est pas.
Remarque 10.14
Exercice 10.17. SoitA∈ Mp(K)etP ∈GLp(K). Simplier (P−1AP)2,(P−1AP)3.
Conjecturer une formule pour(P−1AP)nvalable pourn∈N∗et la prouver par récurrence. Est-elle encore valable pourn= 0?
Exercice 10.18. 1. SoientA, B telles queAB= 0. Montrer que siA6= 0etB6= 0alors niAni B ne sont inversibles.
2. SoitB=
−1 1 0 0
CalculerB2+B et déduire que B n'est pas inversible.
10.4.2 Calcul de l'inverse d'une matrice carrée
C'est cette propriété qui va nous permettre de calculer explicitement l'inverse d'une matrice.
10.4. MATRICES CARRÉES INVERSIBLES
SoitA∈ Mn(K). Les assertions suivantes sont équivalentes : i) Aest inversible.
ii) il existeB ∈ Mn(K), telle que pour tousX etY dansMn,1(K), AX=Y ⇐⇒X =BY.
Le cas échéantB est l'inverse deA. Propriété 10.8
Pour calculer l'inverse d'une matriceA, on utilise la caractérisationAX=Y ⇐⇒X=A−1Y. Ainsi, on xe deux vecteurs X etY deMn,1(K), on pose le systèmeAX=Y d'inconnu X et on le résout pour trouverA−1.
Méthode 10.2 (Calculer l'inverse d'une matrice)
Exercice 10.19. Montrer que la matriceA=
1 0 1 0 2 2 1 1 0
est inversible et calculer son inverse.
Lorsque la matrice est carrée de taille 2, on a une formule explicite pour trouver son inverse.
SoitA= a b
c d
, oùa, b, c, dsont quatre nombres réels. Alors, 1. Siad−bc= 0,An'est pas inversible.
2. Siad−bc6= 0,Aest inversible etA−1= 1 ad−bc
d −b
−c a
. Propriété 10.9 (Cas particulier - taille 2)
Exercice 10.20. Trouver une matrice carrée de taille 2 inversible et donner son inverse. Trouver une matrice de taille 2 non inversible.
Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coecients diagonaux sont non nuls.
Propriété 10.10 (Cas particulier - matrice triangulaire)
Exercice 10.21. Trouver une condition nécessaire et susante pour qu'une matrice diagonale soit inversible et donner son inverse.
