• 5 % des articles conformes aux normes sont refus´ es par le test ;

Devoir de math´ ematiques n ^o 11 - 1` ereS

30 avril 2013 - 1 h

Exercice 1 (8 points)

Une entreprise fabrique un article qui doit r´ epondre ` a des normes pr´ ecises. On consid` ere que 8 % des articles produits ne sont pas conformes aux normes. Un test de contrˆ ole en fin de fabrication est cens´ e rep´ erer les articles non conformes. Cependant le test comporte une certaine marge d’erreur ; une ´ etude a ´ etabli que :

• 5 % des articles conformes aux normes sont refus´ es par le test ;

• 10 % des articles non conformes aux normes sont accept´ es par le test.

On consid` ere un article pris au hasard au moment de passer le test. On note : C l’´ ev´ enement

l’article est conforme aux normes

;

T l’´ ev´ enement

l’article est accept´ e par le test

.

C et T d´ esignent les ´ ev´ enements contraires respectifs de C et T.

La partie 4 est ind´ ependante des questions pr´ ec´ edentes.

1. Compl´ eter le tableau ` a double entr´ ee ci-dessous (on donnera les r´ esultats en pourcentages) :

C C Total

T

T

Total 100

2. Que signifie l’´ ev´ enement C ∩ T ? Calculer sa probabilit´ e.

3. Calculer la probabilit´ e p(T ) que la pi` ece soit accept´ ee par le test.

4. On suppose pour la suite que la probabilit´ e que l’article soit accept´ e par le test est de 0,882.

On pr´ el` eve successivement 20 articles dans la production et on suppose que le nombre d’articles est suffisamment grand pour que le tirage puisse ˆ etre assimil´ e ` a un tirage avec remise. On donnera les r´ esultats arrondis aux milli` emes si n´ ecessaire.

On note X la variable al´ eatoire donnant le nombre d’articles accept´ es par le test parmi les 20 articles pr´ elev´ es au hasard.

(a) Quelle est la loi de probabilit´ e suivie par X ? Pr´ eciser ses param` etres.

(b) D´ eterminer la probabilit´ e que 18 des 20 articles soient accept´ es par le test.

On ´ ecrira le calcul effectu´ e.

Pour la suite, on pourra donner directement les r´ esultats obtenus ` a la calculatrice.

(c) Comment peut-on noter la probabilit´ e que au maximum 18 articles soient accept´ es par le test ? Calculer cette probabilit´ e.

(d) Quelle est la probabilit´ e que 5 articles ou moins soient refus´ es par le test ?

(e) D´ eterminer l’esp´ erance de la variable al´ eatoire X et en donner une interpr´ etation.

1

Exercice 2 (7 points) Soit un d´ e cubique ´ equilibr´ e. On consid` ere le jeu suivant : obtenir 1 ou 2 ou 3 fait perdre 1 point, obtenir 4 ou 5 fait gagner 2 points et obtenir 6 fait gagner 5 points.

Soit X la variable al´ eatoire qui ` a chaque r´ esultat associe le nombre de points obtenus.

1. D´ eterminer la loi de probabilit´ e de X.

2. Calculer l’esp´ erance et la variance de X en d´ etaillant les calculs (valeurs exactes), puis la valeur arrondie au centi` eme de l’´ ecart-type de X. Ce jeu est-il ´ equitable ? Si non, est-il perdant ou gagnant ? 3. Cet algorithme simule le jeu pr´ ec´ edent jou´ e 100 fois. Compl´ eter les lignes 9 et 11.

Peut-on pr´ evoir la valeur approximative qu’affichera cet algorithme ? Si oui laquelle ?

Exercice 3 (5 points)

En France, les courses de chevaux ´ etant populaires, des paris sont organis´ es sur les r´ esultats. Il est habituel de parier sur les trois premiers chevaux arriv´ es dans l’ordre (tierc´ e dans l’ordre) ou dans le d´ esordre (tierc´ e dans le d´ esordre). Une course est organis´ ee ` a laquelle participent 12 chevaux. Tous les chevaux ont la mˆ eme chance d’arriver. Tous les r´ esultats seront donn´ es sous forme de fraction irr´ eductible.

1. Chlo´ e a jou´ e un seul ticket et a pari´ e sur trois chevaux dans l’ordre.

Quelle est la probabilit´ e que le ticket de Chlo´ e soit gagnant ?

2. Quelle est la probabilit´ e que le ticket de Chlo´ e soit gagnant dans le d´ esordre ? 3. Le cheval pr´ ef´ er´ e de Chlo´ e s’appelle ”Vol de Nuit”.

Quelle est la probabilit´ e qu’il arrive dans le tierc´ e de tˆ ete ?

4. Pour c´ el´ ebrer l’ann´ ee Saint Exupery, Chlo´ e est certaine que ”Vol de Nuit” sera premier (et il arrive premier). Quelle est la probabilit´ e qu’elle joue le tierc´ e gagnant (dans l’ordre) ?

2