Evaluation numérique des intégrales de Sommerfeld du type Fourier dans le plan complexe

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4 pp. 4-10

Evaluation

Abdelkader AMRI * Abde Ahman M A A O U N I *

num6rique du type

des integrales de Sommerfeld Fourier dans le plan complexe

R r s u m 6

Pour remddier aux difficultds assocides ft l' dvaluation numOrique des intOgrales de Sommerfeld du type Fourier p a r intdgration sur l'axe rdel, les auteurs proposent une nouvelle mdthode prdcise basde sur l'intdgration numdrique le long du chemin de descente rapide dans le plan complexe.

Mots clrs : Electromagnrtisme, Int~grale, Intrgration numrri- que, Ligne transmission, Ligne multiconducteur, Onde plane, Courant lnduit, Plan complexe.

N U M E R I C A L E V A L U A T I O N O F S O M M E R F E L D T Y P E F O U R I E R I N T E G R A L S

I N A C O M P L E X P L A N E

A b s t r a c t

To avoid difficulties associated with numerical eva- luation o f Sommerfeld-type Fourier integrals by inte- gration over real axis, we propose a new and accu- rate method, based on the numerical integration on the steepest descent path in complex plane.

K e y w o r d s : Electromagnetism, Integral, Numerical integration, Transmission hne, Plane wave, Induced current, Complex plane.

S o m m a i r e

I. Introduction.

II. Position du problOme.

III. Intdgration sur l'axe rdel.

IV. Intdgration dans le plan complexe.

V. Contribution des branches de coupure.

VI. Contribution des poles.

VII. Conclusion.

Bibliographie (21 rdf ).

I. I N T R O D U C T I O N

La plupart des probl&nes d'61ectromagnrtisme rela- tifs ~ la rrflexion d'ondes par une terre plane prrsentant des pertes conduisent h l'6valuation des intrgrales du type Sommerfeld [1]. De telles intrgrales ont fait l'objet de nombreuses recherches h cause de leur caract6re fon- damental et de leur importance croissante dans de nom- breux drveloppements rrcents de l'61ectrornagnrtisme.

Les techniques proposres peuvent 8tre classres en trois catrgories [11] : analytique, serni-analytique et numr- rique. Les techniques analytiques sont fondres sur les drveloppements en s6ries [2, 3, 4, 5, 6] dont les domaines de validit6 sont trrs restreints. Les techniques numrriques utilisent l'intrgration sur l'axe rrel [7, 8], ou l'intrgration sur diffrrents contours darts le plan complexe [9, 10, 11]. Les techniques semi-analytiques com- binent les m6thodes analytiques et num6riques [12, 13].

La drtermination de la rrponse / t u n e onde plane, d'une ligne de transmission multifilaire de longueur infinie et placre au-dessus d'une terre plane avec pertes, nous a conduit ~t deux intrgrales du type Sommerfeld.

Leur 6valuation le long de l'axe rrel se heurte a des difficultrs pour les hautes et les basses frrquences. La mrthode dans le plan complexe que nous proposons nous permet de s'en affranchir. Elle est valable pour toutes les frrquences et elle est rapidement convergente.

* Laboratoire d'61ectronique, d'61ectromagnrtisme et d'hyperfr6quences, Universit6 Hassan-lI, Facult6 des Sciences Ain-chock, BP 5366 Mafirif, Casablanca, Maroc.

ANN. TI~LI2COMMUN., 51, n ~ 1-2, 1996 1/7

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A. AMRI. -- INTI~GRALES DE SOMMERFELD DU TYPE FOURIER

II. POSITION DU PROBL~:ME

L'onde plane de polarisation quelconque arrive sur l'ensemble des N conducteurs sous un angle 0. r est l'angle azimutal. La figure 1 illustre la g6om6trie d'une telle structure. Cette onde plane induit un courant sur chaque conducteur cylindrique. L'utilisation de l'approximation des ills minces [21], des 6quations de Maxwell ainsi que l'application des conditions aux limites sur la surface plane de la terre et sur la surface lat~rale de chaque conducteur nous permettent de d6terminer les courants induits sur la ligne de transmission multifilaire. Ces courants induits s'expriment en fonction des int6grales de Sommerfeld du type Fourier suivantes :

(1) G - - f ~ e x p ( - u o y + j A x ) dA,

n 2 u o + Ug J - ~

j = f ~ e x p ( - u 0 y + jAx) dA.

(2)

J ~ UO -~- Ug

q

./

# O , D&O {3

4 ~ . , # [ # / j / / /

Z og,gg, tz o / \§

X

a x

/

/ ":3

~2 '1

\

. I

o N

x 9

it. ~ x n

o q x

1~6. 1. - - E x c i t a t i o n d ' u n e ligne de t r a n s m i s s i o n h N c o n d u c t e u r s p a r u n e i m p u l s i o n 61ectromagn6tique (raM) :

(a) i n c i d e n c e d ' u n e o n d e plane sur la structure ; (b) g 6 o m 6 t r i e de la ligne de transmission.

EMP excitation o f an N conductor transmission line : (a) plane wave incidence ; (b) transmission line geometry.

Ces int6grales sont analogues h celles utilis6es dans les r6f6rences [12] et [13].

Avec w = 27r f , w e s t la pulsation de l'onde et f est la fr6quence de cette m~me onde.

k 0 = O ) / C , k g = l W 2 e g ] - t 0 "~ j f f g l t O W , n : k g / k O ,

ko est le module du vecteur d'onde dans le vide; kg est l'exposant lindique de propagation darts la terre, n e s t l'indice de r6fraction de la terre.

kz = kor r = cos(0)cos(C),

q = k o ~ / 1 - ~2o,r

. g : 7o = - j q ,

r0 et Tg sont les exposants lin6iques de propagation transversale dans l'air et dans la terre respectivement.

R e ( k g ) > 0 et I m ( k g ) > 0 , j 2 _ _ _ 1 , R e ( u g , u o ) ~ 0,

condition de rayonnement R ~ ( ~ ) _> 0.

Re et Im indiquent respectivement la partie r6elle et la pattie imaginaire.

eg, #0 et a a d6signent respectivement la permittivit6, la perm6abilit6 et la conductivit6 du sol. c est la c616rit6 de la lumibre dans le vide.

Nous posons :

c~ 0 = a r c t a n ( x / y ) ,

Y = ]Yn + y.~l,

(x,~, Yn) repbre la position transversale du n-bme conducteur.

En ne consid6rant que des conducteurs cylindriques plac6s au-dessus de la terre :

,~o ~ [0, ~/2[.

IlL INTI~GRATION SUR L'AXE RI~EL

Dans ce paragraphe, nous pr6senterons les difficult6s rencontr~es lorsqu'on a h calculer les int6grales de Sommerfeld par int6gration num6rique le long de l'axe r6el. Pour les basses fr6quences, nous allons comparer les r6sultats issus de l'int6gration le long de l'axe r6el avec ceux issus de l'int6gration dans le plan complexe.

2/7 A N N . T I ~ L I ~ C O M M U N . , 51, n ~ 1-2, 1996

(3)

6

L'intEgrant I c admet, dans le plan complexe A, une paire de pEles symEtriques par rapport h l'origine donnEe par :

(3) Ap = d=jT"o V/1 - s 2, off :

jko s = 7.0 V/T _k n2 9

Pour la bande de frEquences allant jusqu'h l0 MHz, la partie imaginaire du pEle Ap est quasi nulle (Fig. 2).

Par consequent, l'intEgrant de G prdsente une variation brusque lorsque A tend vers la pattie rdelle de Ap.

100 0

80 0

6 0 . 0

v 4 0 0

20 0

0.0

/

0.0 2 0 4 0 6 0 8 0 100

I o g , o ( f ) (Hz)

FIG. 2. - - Variation de la pattie imaginaire du p61e ~,p en fonction de la frEquence de l'onde.

Og = 0,01 mho/m, erg = 15, 0 = 30 ~ r = 0 ~ Imaginary part of the pole ~,p as function of frequency.

L'intEgration numErique suivant l ' a x e reel A (A reel) devient difficile au voisinage de Re(Ap), puisque les parties rEelle et imaginaire de l'intEgrant ne peuvent pas Etre approximEes par des polynEmes. D'autre part, le nombre d'oscillations des intEgrants de G e t J augmente au fur et h mesure que la frEquen~e de l'onde cro~t. La figure 3 montre que les oscillations deviennent de plus en plus nombreuses au voisinage du point de branchement (A = q). L'amplitude de telles oscillations augmente pour A tendant vers q.

Dans le but de rendre les oscillations des intEgrants du type Sommerfeld un peu plus espacEes et faciliter ainsi l'intEgration entre leurs zeros, nous proposons le changement de variable suivant :

Pour A compris entre 0 et q :

(4) A = q s i n ( c 0 a e [0,7r/2].

L'intEgrant de G devient :

2q cos(q s i n ( a ) x ) A G ( a ) ,

(5)

o f f :

(6) A a ( a ) -- c o s ( a ) exp(jq c o s ( a ) y ) - j n 2 q c o s ( a ) + ? q 2 sin2(a) + 7g 2

A N N . T ~ L ~ C O M M U N . , 51, n ~ 1-2, 1 9 9 6

~ j

A. AMRI. -- INTt~GRALES DE S O M M E R F E L D D U TYPE F O U R I E R

0 0 5

0 0 2

0 0 1

0 O0

- 0 0 1

- 0 0 2

- 0 03

O0 10 2 0 3 0 4 0

Z ( X < q )

F i G . 3 . - - Allure de l'intEgrant pour ~, appartenant h l'intervalle [0, q].

f = 4 0 0 ,MHz, y = 4 0 m , x = 0 , r = 0 ~ 30 ~ ,a g = 15 %, ag = 0,01 mho/m.

Integrand behavior in the A interval [0, q].

Dans l'intervalle [0, zc/2], AG ne prEsente plus de singularitE.

L'ensemble V des zeros des parties rdelle et imaginaire du numdrateur commun aux intdgrants de G e t J peut s'Ecrire :

(7) V = { a ~ r E d / a n = a r c c o s ( n ~ / 2 q y )

n = 0, 1 , 2 , " . , N m a x } U { a n r E e l / a n = arcsin(n~r/2qx) n = 1, 3, 5 , . . . , Mmax }, pour : qx >> 1 et qy >> 1, oh :

Nmax = E(2qy/~r) et Mmax = E(2qx/Tr), E ( x ) indique la partie enti~re de x.

La figure 4 illustre l'effet du changement de variable donne par l'expression (4) sur l'intEgrant du type Sommerfeld. Au voisinage de ~r/2, l'amplitude des oscillations dEcroit rapidement. A c e stade, nous sommes en mesure &6valuer les intEgrales de Sommer- feld par integration numErique. Pour ce faire, on classe les ElEments de V par ordre croissant, puis nous posons :

(8) [0, /21 = [0, u M , 2]u

9 "" [ a z , a z + l ] . . - Oi I < a 2 < a 3 ' ' "

et sur chaque intervalle, on applique la mdthode de Romberg modifiEe [19]. Cependant, puisque le nombre d'oscillations des intEgrales crolt au fur et h mesure que la frEquence f de l'onde augmente, cette mdthode prend beaucoup de temps machine et ne nous permet donc pas la determination de la rEponse impulsionnelle h l'onde plane de la ligne de transmission. Moyennant le changement de variable prEcEdent (passage de A h a reel) pour une frEquence f n'excEdant pas 100 MHz, nous arrivons h de bons rEsultats.

3/7

(4)

A I AMRI. -- INTEGRALES DE SOMMERFELD DU TYPE FOURIER

0 06

0 04

0 02

////1///

<I~ 000 - 0 0 2

- 0 04

- - 0 0 6 , i , i I . . . . ~ . . . . ~ . . . . I . . . . i i i , 1 i ~ , i I . . . .

O0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 0 12 1 4

FIG. 4. - - Allure de l ' i n t 6 g r a n t apr~s transformation de la variable X ~ la variable ~t dans [0, n/2].

f = 400 M H z , y = 40 m , 0 = 30 ~ eg = 15 e 0, t~g = 0,01 m h o / m ,

r = 0 o.

Behavior o f the transformed integrand in ot interval [0, ~ 2 ] .

IV. INTI~GRATION D A N S L E P L A N C O M P L E X E

Les deux int6grales donn6es par (1) et (2) peuvent s'6crire sous la forme :

[ H ( a ) exp(jqr* cos(a - a0)) da,

(9) P J r

(10) x = r* sin(ao) A = q sin(a)

y ⁼ cos(ao) u0 = - j q c o s ( a ) , F est le contour donn6 par la figure 5. La mise des int6grales G e t J sous la forme (9) est souvent utilis6e pour en d6duire un d6veloppement asymptotique pour les grands arguments (qr* >> 1) [14, 15, 145]. Dans cette 6tude, la forme donn6e par l'expression (9) nous permettra de calculer G e t J avec pr6cision pour toutes les fr6quences.

H(a) s'6crit :

(11) H(a) = q cos(a)

-jq oos(a)x + /q2 sin (a) +

Posons : (12)

n pour G } X = 1 pour J

F(a) = jqr* cos(a - ao).

4//

1500

7

E 10 O0

5 O0

0 O0

- b O0

- 1 0 0 0

ao=O ~ [ ao=50~ I

Re(G)

- 1 5 O0

- 3 14 - 2 ' 5 6 ~-1'57 - 0 ' 7 9 -0~00 0 79 1 57 2,36 5 14 FIG. 5. - - Cas o~ la d 6 f o r m a t i o n de c o n t o u r d'int6gration

intercepte la b r a n c h e de cotipure : t~g = 10 -4, erg --- 15, 0 = 30 ~ ~ = 0 ~ 1 M H z . Case w h e r e the branch cut is intercepted by the deformation

o f the integration contour :

~g = 1 0 - 4 , erg = 1 5 , 0 = 30 ~ , O= O ~ = l MHz.

La d6riv6e de F par rapport h a est nulle pour a 6gale a0. Le d6veloppement en s6rie de Taylor de F au voisinage de a0, point oO la phase de la fonction expo- nentielle dans (9) est stationnaire, montre qu'en choi- skssant Re(cos(a - a0)) 6gale h 1, e x p ( F ( a ) ) d6cro~t rapidement lorsqu'on s'61oigne du point a = a0. La m6thode qu'on va aborder consiste h changer de contour d'int6gration et h choisir le chemin de descente rapide C (CDR) passant par le col ( a ---- a0) et tel que : (13) cos(a - a0) = 1 +j/32 /3 r6el.

La r6ciproque de la restriction de la fonction cosinus la bande {~7 complexe/-Tr/2 < Re(y) < 7r/2} d6finie dans le plan c.omplexe coup6 par les deux demi-droites r6elles allant de - o o ~t - 1 et de 1 ~t +c~ [17] : (14) arccos(z) = - j log(z + jv/-i - - z2),

et l'expression (13) conduisent h l'6quation param6trique du chemin de descente rapide :

(15)

aCDR = 4- ~ --jlog(/3 2 - j + 1 / 3 1 ~ ) + a 0 , le signe + est relatif h /3 positif et le signe -- & /3 n6gatif. Les fonctions logarithme et racine carr6e sont des d6terminations principales. La figure 5 montre F et C pour diff6rentes valeurs de a0.

L'insertion de (13) dans l'expression de l'int6grale (9) conduit & :

(16) P = - 2 j e x p ( j q r * )

~ H ( a c D R ( / 3 ) ) exp(--qr * /3 2) d/3.

Cette formule de P e s t exacte tam que l'aire balay6e par le changement de chemin d'int6gration ne contient

ANN. TI~LI~COMMUN., 51, n ~ 1-2, 1996

(5)

pas de singularitEs (p61es, points de branchement). Lors- que c'est le cas, h la formule (16) on doit ajouter la contribution des p61es (rEsidus) ainsi que l'intEgration le long des branches de coupure. P a 6t6 calculEe en utilisant la quadrature adequate.

V. C O N T R I B U T I O N DES BRANCHES DE C O U P U R E

Dans l'expression (10), puisque la fonction cos(a) est une fonction uniforme, il en rEsulte que, dans le plan complexe a , on n ' a ni point de branchement, ni branche de coupure pour completer la definition de u0. Par contre, l'intEgrant dans (9) est une fonction multiforme de a h cause de la fonction Ug qui poss6de deux points de branchement. A cet effet, lorsque les points de branchement sont interceptEs par la deformation du contour d'intEgration, le plan complexe a doit ~tre coup6 par deux branches issues des points de branchement et allant jusqu'h l'infini afin de rendre l'intEgrant uniforme.

Les points de branchement vErifient l'6quation sui- vante :

(17) sin2(aB) + "r2/q 2 = O.

Le choix des branches de coupure est arbitraire.

Dans notre article, nous nous intEressons aux coupures qui sEparent le plan complexe en feuillets de Riemann suivants.

Le premier feuillet de Riemann est le feuillet dans lequel la condition de rayonnement (Re(ug) > 0) est satisfaite, et le second correspond ~ une violation de cette condition.

En tenant compte des contraintes physiques dEjh cREes, les points de branchements sont donnEs par : (18) a B = ( i j l o g ( e l + X2B + X B ) ,

XB = r J q .

Le signe supErieur ( + ) correspond h ~ Egale h 0 et le signe infErieur ( - ) h { Egale h 7r. Les deux coupures qui nous intEressent ont donc pour Equation paramEtrique : (19) a s c = ( + j l o g ( r

t e s t un parametre reel positif et ( est dEfinie prdcEdem- ment. La figure 6 donne les deux branches de coupure pour diffErentes frEquences f de l'onde.

Pour ao compris entre 0 et 7r/2, on montre que seul le point de branchement correspondant h ( Egale h 7r peut

&re capture par la deformation du contour d'intEgration (Fig. 5).

Cette capture ne peut avoir lieu que si l'angle a0 est supErieur h l'angle a m pour lequel le chemin de descente rapide passe exactement par le point de branchement.

Tout calcul fait, on montre que 9

ANN. TI~LgCOMMUN., 5 1 , n ~ 1 - 2 , 1 9 9 6

A . A M R I . - - I N T I ~ G R A L E S D E S O M M E R F E L D D U T Y P E F O U R I E R

15 O0

10 O0

5 O0

" • ⁰^O0

~5

E

5 O0

- I 0 0 0

f = 10 KHz

_ J : o 5MH~

f = ] O MH2

- 1 5 0 0 I

0 O0 0 79

f = 1 MHz

I 57

R e ( a a c

2 .~o 3 1 4

FIG. 6. - - Branches de coupure en fonction de la frEquence dans le plan 0t p o u r Og = 0,01, Erg = 15, 0 = 5 ~ 0 = 0~

Branch cuts as a function o f frequency

in t~-plane for trg = 0.01, erg = 15, 0 = 5 ~ r = 0%

(20) a m = 7r + a r c t a n ( I / R ) - arccos

I = I m (XB).

I1 s'ensuit que la contribution de la coupure, une fois le point de branchement intercept6, peut &re dEterminEe en dEformant le chemin de descente rapide initial de mani~re h contoumer la coupure. Cette contribution est donnEe par :

fo

(21) P B c = 2t 2

exp(jqr* {j sin(ao) v/X--~B+t2--COS(a0 ) ~ / x 2 + t 2 + l } ) dt.

((1 - x 2 ) t 2 ^- X2(1 + x 2 ) ) V/x~ + t 2

Le point OZBC(to), darts le plan complexe a , est le point

&intersection entre la branche de coupure et le chemin de descente rapide. Le param&tre /30 qui correspond h

(a(/30) = a B c ( t o ) ) est donne par l'expression : (22) / 3 o = V / 2 e x p ( j 4 ) s i n ( a B c ( t 2 ) - - a ~ ) , ou d'une mani~re dquivalente :

(23) /30 = v / I m ( c o s ( a B C ( t o ) - a o)).

Nous soulignons que to est dEterminE en rEsoNant l'Equation non lineaire :

(24) R e ( c o s ( a B c ( t o ) -- a o ) ) -- 1 = O,

5/7

(6)

A . A M R I . - - I N T t ~ G R A L E S D E S O M M E R F E L D D U T Y P E F O U R I E R

~t l'aide d'un algorithme de recherche de z6ros de fonc- tions h variables r6elles, telle que la m6thode de Mueller [ 18] dont l a convergence s'apparente ~t une convergence quadratique.

L'int6grant dans l'expression (16) pr6sente une dis- continuit6 e n / 3 = / 3 0 . Pour s'en affranchir, nous avons partag6 l'intervalle semi infini [0,+c~z[ en [0,/30] et [/30, + e ~ [ , puis ramen6 l'int6gration sur ces deux inter- valles ~ une int6gration sur l'intervalle [0, 1] :

L 3~ fO ⁱ

(25) p(v) dv =/30 p(/3oV) dv,

(26) p(v) dv = P /30 + dv,

o

p est l'int6grant de P. L'int6grale (26) dont l'int6grant pr6sente une singularit6 en t --- 0 en plus de la disconti- nuit6 en t = 1 a 6t6 calcul6 par la m6thode iMT-Legendre [19, 20].

9

VI. C O N T R I B U T I O N D E S P O L E S Aux deux p61es de G, dans le plan complexe A, donn6s par (3) correspondent les p61es suivants dans le plan complexe a :

i - n2~2 ~

(27) ap = + { T r - j ( l o g ( 1 - j n 2 - ff2,r o,r

1 l o g ( 1 - + n -

2

E n s e b a s a n t s u r l e s c o n t r a i n t e s p h y s i q u e s p r 6 c 6 d e n t e s , o n m o n t r e q u e l e s p 6 1 e s n e s o n t p a s i n t e r c e p t 6 s p a r l e c h e m i n d e d e s c e n t e r a p i d e e t e n c o n s 6 q u e n c e l e s i n t 6 g r a l e s G e t J s e r a m ~ n e n t h l ' i n t 6 g r a t i o n l e l o n g d u CDR e t R l a c o n t r i b u t i o n d e l a b r a n c h e d e c o u p u r e ( u n e f o i s l e p o i n t d e b r a n c h e m e n t c a p t u r 6 p a r l a d 6 f o r m a t i o n d u c o n t o u r d ' i n t 6 g r a t i o n ) . N o u s p r 6 s e n t o n s c i - d e s s o u s q u e l q u e s r 6 s u l t a t s n u m 6 r i q u e s d a n s l e b u t d e c o n f i r - m e r l a v a l i d i t 6 d e l a m 6 t h o d e d a n s l e p l a n c o m p l e x e ( T a b l . I).

T A B L . I . - - R6sultats num6riques de l'int6gration sur l'axe r6el et de l'int6gration darts le plan complexe

(calculs effectu6s sur un Compaq Prolinea 3/25s (microprocesseur 386) et sans coprocesseur arithm6tique).

Numerical results o f the integration over real axis and integration in a complex plane.

a) erg = 16, Cg = 0,01, 0 = 5 ~ ~ = 0 ~ y = 12 rn.

Int6grale Integration le long Integration le long Int6gration Int6gration r6elle

J de la branche de coupure du chemin de descente rapide dans le plan complexe ~ (s)

f = 10 kHz 1,97878 10 -2 1,40200 + 1,42178 + 1,42178 +

~0 = 50~ - j 2,11207 10- 2 j 6,61817 10-1 j 6,40696 10-1 j 6,40696 10-1

cPu : 9,99 cPu : 30,92

f = 10 kHz [ pas de 1,83674 + 1,83674 + 1,83674 +

~3 = 10 ~ ~ contribution de la BC j 6,62302 10-1 j 6,62302 10-1 j 6,62302 10 -1

cPu : 6,37 cPo : 27,79

f = 100 kHz 6,96720 10- 3 5,90682 10-1 + 5,97649 10-1 + 5,97649 10 --1 +

o~ 0 = 50 ~ - j 6,67412 10- 3 j 4,36540 10-1 j 4,29866 10-1 j 4,29866 10-1

ceu : 10,10 cPu : 29,00

f = 10 kI~z pas de 9,53795 10-1 + 9,53795 10-1 + 9,53795 10-1 +

~q3 = 10~ contribution de la BC j 5,02282 10-1 j 5,02282 10-1 j 5,02282 10-1

cPu : 5,33 cpu : 23,34

b) ~rg = 15, ~g = 10-'4, 0 = 5~ ~ = 0 ~ = 1 2 m .

Int6grale Int6gration le long Integration le long Int6gration Int6gration r6elle

G de la branche de coupure du chemin de descente rapide dans le plan complexe ot (s)

f = 10 kHz - 1,71744 10 -6 + 2,93229 10- 2 2,93212 10- 2 + 2,93212 10- 2 +

oq3 = 50 ~ j 1,49146 10 -6 - j 7,84803 10- 2 - j 7,84788 10 -2 - j 7,84788 10 -2

cl~o : 10,38 cPw : 31,58

f = 10 kHz pas de 2,97404 10- 2 2,97404 10- 2 2,97404 10- 2

~x 0 = 10 ~ contribution de la BC - j 8,31884 10- 2 - j 8,31884 10- 2 - j 8,31884 10 -2

cPu : 6,48 cPu : 26,80

f = 100 kHz -4,72959 10 -4 3,49931 10-1 3,49458 10-1 3,49458 10-1

ot 0 = 50 ~ - j 6,37056 10 -4 - j 1,64067 10-1 - j 1,64704 10-1 - j 1,64704 10-1

cPU : 9,62 cPu : 32,51

f = 10 kHz pas de 3,73077 10-1 + 3,73077 10-1 3,73077 10-1

ot 0 = 10 ~ contribution de la BC - j 1,91205 10 --1 - j 1,91205 10-1 - j 1,91205 10 -1

cPv : 5,44 cPu : 26,08

6/7 ANN. TI~LI~COMMUN., 51, n ~ 1-2, 1996

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VII. CONCLUSION

Notre mdthode pr6sente des avantages sur l'intdgration le long de l'axe r6el. Elle nous a permis de contour- ner les difficultds qu'il y a ~t intdgrer le long de l'axe r6el.

Ces difficultds sont les fortes oscillations des int6grants pour la bande des hyperfr6quences et leur singularit6.

D'autre part, le choix du contour d'int6gration dans le plan complexe est fait de faqon telle que les int6grants d6croissent rapidement. I1 en rGsulte donc une convergence rapide et par consdquent des dconomies en temps de calcul. La mdthode dans le plan complexe a aussi le mdrite de faire ddcro~tre la longueur de l'intervalle effectif d'intGgration au fur et h mesure que la fr6quence de l'onde augmente. La contribution essentielle provient donc du voisinage du point oh la phase est stationnaire.

I1 est aussi possible, ?a l'aide de la mdthode de la phase stationnaire usuelle, de substituer aux intdgrants du type Sommerfeld leurs ddveloppements asymptotiques lorsque la longueur d'onde dans le di61ectrique est trbs petite par rapport aux dimensions transversales de la structure.

Manuscrit refu le 10 novembre 1994, accepM le 15 fOvrier 1995.

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