PSI Moissan 2013 D´ ecembre 2013 Soit un champ vectoriel qui prend la forme d’une onde plane en notation complexe

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PSI Moissan 2013 D´ ecembre 2013 Soit un champ vectoriel qui prend la forme d’une onde plane en notation complexe

Ý Ñ E “ Ý Ñ

E

₀

exppipωt ´ ~ k ¨ ~ rqq “ Ý Ñ

E

₀

exppipωt ´ k

x

x ´ k

y

y ´ k

z

zqq On exprime la divergence du champ en coordonn´ ees cart´ esiennes

div Ý Ñ E “ B

Bx pE

_0x

exppipωt ´ ~ k ¨ ~ rqqq ` B

By pE

_0y

exppipωt ´ ~ k ¨ ~ rqqq ` B

Bz pE

_0z

exppipωt ´ ~ k ¨ ~ rqqq ce qui donne apr` es d´ erivation

div Ý Ñ E “ ´ik

_x

E

_0x

exppipωt ´ ~ k ¨ ~ rqq ´ ik

_y

E

_0y

exppipωt ´ ~ k ¨ ~ rqq ´ ik

_z

E

_0z

exppipωt ´ ~ k ¨ ~ rqq soit en regroupant

div Ý Ñ

E “ exppipωt ´ ~ k ¨ ~ rqq “

´ik

x

E

_0x

´ ik

y

E

_0y

´ ik

z

E

_0z

‰ o` u l’on reconnait le produit scalaire ~ k ¨ Ý Ñ

E donc div Ý Ñ

E “ ´i~ k ¨ Ý Ñ E

On calcule le rotationnel en coordonn´ ees cart´ esiennes Ý Ñ

rot Ý Ñ E “

ˆ BE

_z

By ´ BE

_y

Bz

˙

~ e

_x

`

ˆ BE

_x

Bz ´ BE

_z

Bx

˙

~ e

_y

` ˆ BE

_y

Bx ´ BE

_x

By

˙

~ e

_z

Chaque d´ eriv´ ee est de la forme

BE

_i

Bj “ ´ik

j

E

_i

o` u i et j prennent les valeurs x, y, z. On a alors

Ý Ñ rot Ý Ñ

E “ `

´ik

y

E

_z

` ik

z

E

_y

˘

~ e

x

` p´ik

z

E

_x

` ik

x

E

_z

q ~ e

y

` `

´ik

x

E

_y

` ik

y

E

_x

˘

~ e

z

En factorisant par ´i Ý Ñ rot Ý Ñ

E “ p´iq “`

k

_y

E

_z

´ k

_z

E

_y

˘

~ e

_x

` pk

_z

E

_x

´ k

_x

E

_z

q ~ e

_y

` `

k

_x

E

_y

´ k

_y

E

_x

˘

~ e

_z