GEOMETRIE PLANE - REPERAGE DANS LE PLAN 1

(1)

R2 - Repérage dans le plan (exercices)

www.famillefutee.com

GEOMETRIE PLANE - REPERAGE DANS LE PLAN 1

Cours

Calcul des coordonnées d’un milieu Soit I le milieu du segment [AB], alors

= +

Calcul d’une distance

= ( − )² + ( − )²

Calcul des coordonnées d’un vecteur Soit deux points ( ; ) et ( ; )

−

Exercice

1) Dans un repère orthonormé ; ; !", placer les points −6 ; 0" ; 0 ; −4" ; ' (10 ; −1) et ) (−2 ; 7)

2) Le triangle ACD est-il rectangle ?

3) Déterminer par le calcul les coordonnées des points P, Q, R et S, milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA] et placer les dans le repère

4) Montrer que le quadrilatère ABCD est un trapèze

5) Quelle est la nature du quadrilatère PQRS ?

(2)

2

Correction 1)

2)

Calcul des longueurs :

' = ( _,− )² + ( _,− )² ' = (10 + 6)² + (−1 − 0)² ' = (16)² + (−1)²

' = √257

) = ( _/− )² + ( _/− )² ) = (−2 + 6)² + (7 − 0)² ) = (4)² + (7)²

' = √65

)' = ( _,− _/)² + ( _,− _/)² )' = (10 + 2)² + (−1 − 7)² )' = (12)² + (−8)²

(3)

)' = (12)² + (−8)²

3

)' = √208 On a :

'² = √257"² = 257

)¹+ )'¹ = √65"¹+ √208"¹ = 65 + 208 = 273 '² ≠ )¹+ )'¹

donc d⁸après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADC n⁸est pas rectangle.

3)

K = +

2 =−6 + 0

2 = −3 LM _K = +

2 = 0 − 4 2 = −2

Donc N −3 ; −2"

O = + _,

2 =0 + 10

2 = 5 LM ^O = + _,

2 =−4 − 1 2 = −5

2 Donc P 5 ; −5

2

Q = ^,+ _/

2 =10 − 2

2 = 4 LM ^Q = ^,+ _/

2 =−1 + 7 2 = 3 Donc R (4 ; 3)

S = ^/+

2 = −2 − 6

2 = −4 LM _S = ^/+

2 =7 + 0 2 =7

2 Donc T −4;7

2

4) −

− 0 + 6

4 − 0 6 4 )' ^,− _/

,− _/ 10 + 2

−1 + 7 12 8 On calcule :

6 × 8 − 4 × 12 = 48 − 48 = 0

Les vecteurs et )' sont colinéaires donc les droites (AB) et (DC) sont parallèles.

On a calculé à la question 1) que )' = √208

(4)

4

Calcul de AB :

= ( − )² + ( − )²

= (0 + 6)² + (−4 − 0)²

= (6)² + (−4)²

= √36 + 16

= √52

On a ≠ )'

On peut conclure qu’ABCD est un trapèze car ses côtés opposés sont parallèles mais pas égaux.

5)

NP V ^O− _K

O− _KW NP X 5 + 3

− 52 + 2Y NP X 8

− 12Y TR ^Q − _S

Q − _S TR X4 + 4

3 − 72Y TR X 8

− 12Y

Les vecteurs NP et TR sont égaux donc les droites (PQ) et (SR) sont parallèles.

PQRS est un parallélogramme.