REPERAGE DANS LE PLAN

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REPERAGE DANS LE PLAN

I) REPERAGE S UR UNE DROITE EX 1 introduction

Soit d une droite munie d'un repère (O, I) : O s'appelle l'origine et la distance OI est l'unité.

Définition :

Soit A un point de d

Si A ∈ [OI) alors on appelle abscisse de A dans le repère (O, I) le réel xA = OA Si A ∉ [OI) alors on appelle abscisse de A dans le repère (O, I) le réel ^xA = - OA

Propriété :

Soit A et B deux point de d

Si xAx_B alors AB = xA– x_B Si ^xAx_B alors AB = ^xB– x_A

Rq : la distance entre deux points est l'abscisse la plus grande moins l'abscisse la plus petite.

Mais si on ne s'occupe pas de l'ordre alors on dit que AB =

∣

^xA– x_B

∣

(valeur absolue de xA– x_B ), en sachant par exemple que ∣5∣=5 et que ∣– 7∣=7

faire calculer

√

⁷²^puis

√

⁽⁻⁵⁾² Remarque :

√

^a²⁼^∣^a^∣

II) REPERAGE DANS LE PLAN EX 2 introduction 1) repère

Pour définir un repère du plan , il faut trois points non alignés. On note (O, I , J) O s'appelle l'origine du repère

(OI) s'appelle l'axe des abscisses et (OJ) l'axe des ordonnées.

Différents types de repère :

si OIJ est isocèle en O on dit que le repère est normé si OIJ est rectangle en O on dit que le repère est orthogonal

si OIJ est isocèle rectangle en O on dit que le repère est orthonormé ou orthonormal 2) Coordonnées dans un repère orthonormé

Le plan est muni d'un repère orthonormé ( O, I , J ).

Soit M un point du plan, K le projeté orthogonal de M sur (OI) et L celui de M sur (OJ).

Définition :

On appelle coordonnées de M dans le repère (O, I , J) le couple ( xM; yM) de réels où x_M est l'abscisse de K sur (OI) et ^yM est l'abscisse de L sur (OJ)

x_M s'appelle l'abscisse de M et yM s'appelle l'ordonnée de M dans le repère (O, I , J)

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Act 4 p 117

Propriété :

Si A ^x^A^{; y}^A^ et B ^x^B^{; y}^B^ alors les coordonnées du milieu I de [AB] sont



^x^A^2^x^B; y_Ay_B

2



Démonstration :

1° cas : yA=y_B ou xA=x_B

supposons y_A=y_B et x_Bx_A on alors y_I=y_A=y_B donc y_Ay_B 2 =y_I Or AI = IB donc x_I– x_A=x_B– x_I donc x_Ax_B

2 =x_I On ferait de même dans les cas

« ^yA=y_B et ^xBx_A » « ^xA=x_B et ^yBy_A » « ^xA=x_B et ^yBy_A »

2° cas : xA≠x_B et yA≠y_B supposons ^xBx_A et ^yBy_A

On note C le point tel que xC=x_B et yC=y_A donc le triangle ABC est rectangle en C et on note K et L les milieu de [AC] et [BC].

Donc d'après le théorème des milieux on a (IK)//(BC) et (IL)//(AC) donc x_I=x_K=x_Ax_C

2 =x_Ax_B

2 d'après le 1° cas et y_I=y_L=y_By_C

2 =y_Ay_B 2

On ferait de même dans les 3 autres cas

Rq : cette propriété reste valable si le repère est quelconque

EX : Ex 1 fp

Propriété :

Si A ^x^A^{; y}^A^ et B ^x^B^{; y}^B^ alors AB =



^^x^B^{– x}^A^²^y^B^{– y}^A^²

supposons xBx_A et yBy_A

On note C le point tel que ^xC=x_B et ^yC=y_A donc le triangle ABC est rectangle en C.

Donc d'après le théorème de Pythagore on a :

AB²=AC²BC²=xC– xA²yC– yB²=xB– xA²yB– yA² On ferait de même dans les 3 autres cas.

Ex 2 fp ( centre du cercle circonscrit) ex 3 – 4 – 5 fp Ex 68 p 126 ( rectangle calcul de ̂EDF)

Ex 35 p 123 ( alignement par calcul distances ou rappel coefficient directeur)

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EXERCICES D'INTRODUCTION

EXERCICE 1 : A l'aide de la droite donner ci-dessous, répondre aux questions suivantes : 1) Dans le repère (O, I) :

a) Donner les abscisses de O , I , A , B , C et D.

b) Placer les points E(-2) et F(4).

c) Lire graphiquement les distances BD, AC, DC, AB puis conjecturer la formule de la distance à partir des abscisses.

2) Dans le repère (B,O)

a) Donner les abscisses de O , I , A , B , C et D.

b) Placer les points G(-2) et H(4).

c) Calculer les distances BD, AC, DC, AB.

EXERCICE 2 :

Le plan est muni du repère (O, I , J)

1) Donner les coordonnées de A, B, C et D.

2) Placer les points E(3;4) , F(-2;5) , G(2;-3) , H (-1;-3) , K(0;-2) et L(5;0)

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EXERCICES

Dans tous les exercices, le plan est muni du repère orthonormé (O, I , J) EXERCICE 1 :

On donne les points A ( -3 ; 3 ) B ( 0 ; 5 ) C ( 1 ; 1 ) et D ( -2 ; -1 ).

Faire le dessin, ABCD est-il un parallélogramme?

EXERCICE 2 :

On donne les points A ( -2 ; 3 ) B ( 3 ; 6 ) C ( 1 ; -2 ) et E ( 2 ; 2 ).

1) Montrer que E est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC puis donner le rayon de ce cercle.

2) Montrer que [BC] est un diamètre de ce cercle.

EXERCICE 3 :

On donne les points A ( 4 ; 2 ) B ( 7 ; 4 ) et C ( 9 ; 1 ) . 1) Montrer que ABC est isocèle en A.

2) ABC est-il équilatérale ? 3) ABC est-il rectangle?

EXERCICE 4 :

On donne les points A ( 2 ; -3 ) L ( 1 ; 1 ) C ( -2 ; 2 ) et D ( 4 ; 0 ).

1) Déterminer les coordonnés du milieu de [CD].

2) Déterminer les coordonnées du point B symétrique de A par rapport à L.

3) Quelle est la nature du quadrilatère ADBC.

EXERCICE 5 :

On donne les points A ( -1 ; 3 ) B ( 1 ; 0 ) C ( -2 ; -2 ) et D ( -4 ; 1 ).

Montrer que ABCD est un carré.

EXERCICES

Dans tous les exercices, le plan est muni du repère orthonormé (O, I , J) EXERCICE 1 :

On donne les points A ( -3 ; 3 ) B ( 0 ; 5 ) C ( 1 ; 1 ) et D ( -2 ; -1 ).

Faire le dessin, ABCD est-il un parallélogramme?

EXERCICE 2 :

On donne les points A ( -2 ; 3 ) B ( 3 ; 6 ) C ( 1 ; -2 ) et E ( 2 ; 2 ).

1) Montrer que E est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC puis donner le rayon de ce cercle.

2) Montrer que [BC] est un diamètre de ce cercle.

EXERCICE 3 :

On donne les points A ( 4 ; 2 ) B ( 7 ; 4 ) et C ( 9 ; 1 ) . 1) Montrer que ABC est isocèle en A.

2) ABC est-il équilatérale ? 3) ABC est-il rectangle?

EXERCICE 4 :

On donne les points A ( 2 ; -3 ) L ( 1 ; 1 ) C ( -2 ; 2 ) et D ( 4 ; 0 ).

1) Déterminer les coordonnés du milieu de [CD].

2) Déterminer les coordonnées du point B symétrique de A par rapport à L.

3) Quelle est la nature du quadrilatère ADBC.

EXERCICE 5 :

On donne les points A ( -1 ; 3 ) B ( 1 ; 0 ) C ( -2 ; -2 ) et D ( -4 ; 1 ).

Montrer que ABCD est un carré.