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CCP Maths 2 PC 2007 — Énoncé 1/4

Les calculatrices sont interdites

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, la précision et à la conci- sion de la rédaction ; si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Dans tout l’énoncé de ce problème,Idésigne un intervalle ouvert de IR symétrique par rapport

`a l’origine, etϕune fonction paire, de classeC^∞surI.

Toutes les fonctions considérées dans ce problème prennent leurs valeurs dans IR.

On note (E) l’équation différentielle linéaire homogène du second ordre en la fonction inconnue yde la variable réellexsuivante :

(E) y^′′(x) +ϕ(x)y(x) = 0.

On notef0l’uniquesolution de (E) surIv´erifiant les conditions initialesf0(0) = 1 etf₀^′(0) = 0, etf1l’uniquesolution de (E) surIv´erifiant les conditions initialesf1(0) = 0 etf₁^′(0) = 1.

PARTIE I

I.1. Montrer que siy est une solution de (E) surI, alorsyest de classeC^∞ surI.

I.2. Montrer que siyest une solution de (E) surI, alors la fonctionx7→y(−x) est aussi solution de (E) surI.

I.3. Montrer quef0est une fonction paire etf1une fonction impaire.

Exprimer la solution générale de (E) surIà l’aide def0etf1.

D´eterminer parmi les solutions de (E) surIcelles qui sont paires et celles qui sont impaires.

I.4. On suppose quef0ne s’annule pas surI, et l’on poseu=f1

f0

. I.4.1.Montrer queu^′ne s’annule pas surI, et exprimeru^′′

u^′ en fonction de f₀^′ f0

.

I.4.2.En d´eduire qu’il existe une constante r´eelleB, que l’on calculera, telle queu^′= B f0²

. I.4.3.On noteu0la primitive de 1

f₀² qui s’annule enx= 0. Exprimerf1`a l’aide def0etu0.

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I.5. Dans cette question, on suppose queI=i

−π 2,+π

2

het que la fonctionx7→cos²xest solution de (E) surI.

I.5.1.D´eterminerϕ(x) etf0(x) pour toutx∈I.

I.5.2.D´etermineru0(x) pour toutx∈I. On pourra utiliser l’identit´e : 1

cos⁴x=1 + tan²x cos²x . et exprimeru0(x) comme fonction de tanx.

I.5.3. En déduire la valeur def1(x) pour toutx∈Iet expliciter la solution générale de (E) surI.

PARTIE II

Dans cette partie on suppose queI = IR et qu’en plus des conditions imposées au début de l’énoncé,ϕest 2π-périodique.

On s’intéresse aux éventuelles solutions 2π-périodiques de l’équation (E).

II.1. Soityune solution de (E) sur IR.

Montrer que la fonctionx7→y(x+ 2π) est solution de (E) sur IR.

II.2. En déduire qu’il existe des constantes réellesw00,w01,w10,w11, que l’on déterminera en fonction des valeurs prises parf0,f₀^′,f1,f₁^′en 2π, telles que pour toutx∈IR on ait :

f0(x+ 2π) =w00f0(x) +w10f1(x), f1(x+ 2π) =w01f0(x) +w11f1(x).

II.3. SoitW la matrice carr´ee d’ordre 2 d´efinie parW =

w00 w01

w10 w11

.

Montrer que pour que (E) admette sur IR des solutions non identiquement nulles 2π-périodiques, il faut et il suffit queW admette 1 pour valeur propre. On pourra exprimer une telle solutiong en fonction def0etf1puis utiliser la périodicité deg.

II.4. Montrer que si (E) admet sur IR des solutions non identiquement nulles 2π-périodiques, alors l’une au moins des deux fonctionsf0etf1est 2π-périodique. On pourra,gétant une telle solution, considérer les fonctionsx7→g(x) +g(−x) etx7→g(x)−g(−x).

II.5. On suppose dans cette question que la fonctionϕest d´efinie par :

∀x∈IR, ϕ(x) =a−k²sin²x,

oùaetksont des constantes réelles choisies de telle sorte que la solutionf0sur IR de l’équation : (E) y^′′(x) + (a−k²sin²x)y(x) = 0

soit 2π-périodique (on ne cherchera pas à démontrer l’existence de telles constantesaetk).

SoitF la fonction d´efinie pour toutx∈IR parF(x) = Z +π

−π

e^k^cost^cosxf0(t)dt.

On noteKla fonction d´efinie pour tout (x, t)∈IR²parK(x, t) =e^k^cost^cosx. II.5.1.Montrer queF est de classeC²sur IR et paire.

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II.5.2.V´erifier que pour tout couple (x, t)∈IR²on a :

∂²K

∂x²(x, t) + (a−k²sin²x)K(x, t) =∂²K

∂t² (x, t) + (a−k²sin²t)K(x, t).

En d´eduire que pour toutx∈IR on a : F^′′(x) + (a−k²sin²x)F(x) =

Z +π

−π

∂²K

∂t²(x, t)f0(t)dt+ Z +π

−π

(a−k²sin²t)K(x, t)f0(t)dt, puis, au moyen d’une double int´egration par parties, queF est solution de (E) sur IR.

II.5.3.Déduire de ce qui précède qu’il existe une constante réelleλtelle que pour toutx∈IR on ait :

Z +π

−π

e^k^cost^cosxf0(t)dt=λf0(x).

PARTIE III

Dans cette partie, on suppose queI =i

−π 2,+π

2

het queϕest une fonction constante sur I,

´egale `aω², avecω >0.

III.1. Déterminer dans ce cas la solution générale de l’équation (E) surI, ainsi que ses solutions f0etf1.

III.2. Soitzune fonction de classeC^∞sur ]−1,+1[. Montrer que la fonctionyd´efinie pour tout x∈Ipary(x) =z(sinx) est solution de (E) surIsi et seulement sizest solution sur ]−1,+1[

de l’´equation diff´erentielle :

(E^′) (1−X²)z^′′(X)−Xz^′(X) +ω²z(X) = 0.

III.3. Soitzune solution de (E^′) sur ]−1,+1[, admettant sur ]−1,+1[ un développement en série entièrez(X) =

+∞

X

n=0

a_nXⁿ.

III.3.1.Déterminer une relation de récurrence relianta_n+2àa_npour toutn∈IN. En déduire pour toutp∈IN^∗les expressions dea_2pen fonction dep,ωeta0, et dea_2p+1en fonction dep,ω eta1.

Pour quelles valeurs deωl’´equation (E^′) admet-elle des solutions polynomiales non identiquement nulles ?

Montrer que quelles que soient les valeurs dea0,a1etω, le rayon de convergence de la s´erie enti`ere

+∞

X

n=0

anXⁿest supérieur ou égal à 1.

III.3.2.On notez0la solution de (E^′) développable en série entière sur ]−1,+1[ correspondant au choixa0 = 1, a1 = 0, etz1 la solution de (E^′) développable en série entière sur ]−1,+1[

correspondant au choixa0= 0,a1= 1.

Donner une expression, surI, des fonctions x7→cosωxetx7→sinωx`a l’aide des fonctions z0,z1et sin.

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III.3.3.Soitmun nombre entier strictement positif.

Exprimer cos 2mxet sin(2m+ 1)x, pour toutx∈i

−π 2,+π

2 h

, sous la forme : cos 2mx=P_m(sinx), sin(2m+ 1)x=Q_m(sinx),

oùP_mest une fonction polynomiale de degré 2metQ_mune fonction polynomiale de degré 2m+ 1.

Ces expressions sont-elles valides sur IR tout entier ?

Fin de l’´enonc´e