• ´Ev´enement ´el´ementaire
•le r ´esultat d’uneexp ´erience incertaine
• Univers des possibles ( ´ev ´enement certain)
•l’ensemble detous les ´ev ´enements´el ´ementaires
• ´Ev´enement
•sous-ensemble de l’universdes possibles
•ensemble d’ ´ev ´enements´el ´ementaires
• ´Ev´enements A et B
•A∪B: soitAsoitBont lieu
•A∩B: les deux,AetBont lieu
•A⊆B: siAa lieu, alorsBaussi
•A:An’a pas lieu
•!": ´ev ´enement impossible
•!: ´ev ´enement certain
Probabilit ´es
3• Fr ´equence
•une exp ´erience est r ´ep ´et ´eenfois
•l’ ´ev ´enementAa lieurfois
•lafr ´equenceest
fn(A) =r n
•laprobabilit ´er ´ef `ere `a la fr ´equence en long terme P(A) =lim
n→"fn(A)
Probabilit ´es
4• Axiomes de probabilit ´e
•0≤P(A)≤1
•P(!) =1
•siA∩B=!"alorsP(A∪B) =P(A) +P(B)
• ´Ev´enements ind ´ependants
•l’occurrence deAne donneaucune informationsurB
•P(A∩B) =P(A)·P(B)
• ´Ev´enements exclusifs
•AetBn’ont pas au lieuen m ˆeme temps
•A∩B=!"
• La r `egle d’addition
•P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B)
•´ev ´enementsind ´ependants:P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A)P(B)
•´ev ´enementsexclusifs:P(A∪B) =P(A) +P(B)
• La probabilit ´e conditionnelle
•P(A|B) =P(A∩B) P(B)
•´ev ´enementsind ´ependants:P(A|B) =P(A)
Probabilit ´es
7• La r `egle de multiplication
•P(A∩B) =P(A|B)P(B) =P(B|A)P(A)
•´ev ´enementsind ´ependants:P(A∩B) =P(A)P(B)
• Le th ´eor `eme de Bayes
•P(A|B) =P(B|A)P(A) P(B)
• La loi de la probabilit ´e totale
•P(A) =P(A∩B) +P(A∩B)
Probabilit ´es
8• Variables al ´eatoires
•X: un ensemble (de valeurs possibles), par.ex.Ro `uZ
•unevariable al ´eatoireXassocie aux ´ev `enements al ´eatoires possibles une valeur dansX
•soit#⊆X
•P(X∈#): la probabilit ´equ’un des ´ev `enements al ´eatoires possibles corresponde `a une valeur qui soit dans#
• Distribution cumulative
•siX est un ensemble ordonn ´e (R,Z)
•P(X≤x):probabilit ´e cumulative
•FX(x) =P(X≤x):fonction de probabilit ´e cumulative
•casmultivari ´e:FX(x) =P(X≤x) =P(X1≤x1,···,Xn≤xn)
•F(x) =ˆ #(xi≤x)
n : distribution cumulativeempirique
• X est continue (par.ex. R ):
•FX(x)est une fonction continue
•on dit queXest unevariable al ´eatoire continue
• X est discret (par.ex. Z ):
•FX(x)est une somme de “pas” (constante par parties)
•on dit queXest unevariable al ´eatoire discr `ete
Probabilit ´es
11• Densit ´e d’une variable al ´eatoire continue
•f(x)est lafonction de densit ´edeX:P(X∈#) =Z
#f(x)dx.
•pourX⊆R: f(x) =dFX(x) dx
•pourX⊆Rn: f(x) = dnFX(x) dx1. . .dxn
• Distribution de probabilit ´e d’une variable al ´eatoire discr `ete
•X={x1,x2, . . .}
•p(xi) =P(X=xi)est la probabilit ´e queX=xi
Probabilit ´es
12• Union
•P(X∈#1ouX∈#2) =P(X∈#1) +P(X∈#2)−P(X∈#1etX∈#2)
•P(X∈#1ouX∈#2)≤P(X∈#1) +P(X∈#2)
• Probabilit ´e jointe
•P(X=x,Y=y) =P(X=xetY=y)avecx∈X,y∈Y
•pour la variable al ´eatoireZ= (X,Y), qui prend ses valeurs dansX× Y.
• Probabilit ´e conditionnelle
•P(X=x|Y=y) =P(X=x,Y=y)
P(Y=y) (siP(Y=y))=0)
• Ind ´ependance
•XetYsont ind ´ependants ssi
P(X∈#,Y∈$) =P(X∈#)P(Y∈$)
•distribution cumulative:FX,Y(X,Y) =FX(X)FY(Y)
•fonction de densit ´e: fx,y(x,y) =fx(x)fy(y)
•distribution de probabilit ´e:px,y(xi,yj) =px(xi)py(yj)
• Esp ´erance
•la“moyenne”d’une variable al ´eatoire
•µ=E[X] =Z Xx f(x)dx
•µ=E[X] =
%
i
xip(xi)
•E[aX+b] =aE[X] +b
Probabilit ´es
15• Variance
•la“largeur”d’une variable al ´eatoire
•&2=Var[X] =E[(X−E[X])2] =Z
X(x−E[X])2f(x)dx
•&2=Var[X] =E[(X−E[X])2] =
%
i
(xi−E[X])2p(xi)
•Var[aX+b] =a2Var[aX]
• ´Ecart-type
•&=#Var[X]
Probabilit ´es
16• Matrice de covariance
•la“largeur”d’une variable al ´eatoire multivari ´ee
•X= (X1, . . .,Xd)
•cov[X] =Z
X(x−E[X])(x−E[X])tf(x)dx
•cov[X]i,j=E!(Xi−E[Xi])(Xj−E[Xj])"
• Moments
•E[Xk]:k-i `ememomentdeX
•E[(X−E[X])k]:k-i `ememoment centr ´edeX
• Loi normale
•f(x) = 1
√2'&e−12(x−µ)2/&2
•µ: moyenne
•&2: variance
• Loi normale multivari ´ee
•f(x) = 1
(2')n/2|(|1/2e−12(x−µ)t(−1(x−µ)
•(: matrice de covariance
• Loi des grands nombres
•(X1,···,Xn):nvariables ind ´ependantes
•E[X1] =. . .=E[Xn] =µ
•Var[X1], . . .,Var[Xn]<"
•lim
n→"E[X] =¯ µ
• Th ´eor `eme de limite centrale
•La moyenneX¯d’une s ´equenceiidconverge en probabilit ´evers une loi Normaleavec esp ´eranceE[X]et varianceVar[X]/n
